D ạy học theo lý thuyết tình huống
2.3. Năng lực mô hình hóa toán học
Các khái niệm chung
ướ ần ệt hai thuật ngữ m m h .
S ) định nghĩa m h l một mẫu, một kế hoạch, một đại diện, một minh họa được thiết kếđể tả cấu c, ận của một đối tượng, một hệ
m đ ta thể thấ được đặc điểm đặc ưng của ật thể thực tế.
m h ta thể thao kh m thuộc của đối tượng m k cần đến
ật thật [42].
Tuy nhiên các nghiên cứu của Swet zler [49] và Verschaffel ) [51] lại cho thấ điều n n ụ thuộc đồ của người thiết kế m h bối cả ụng của h đ nh ởđ ể hiể h ẽ, bảng biểu, h m số, đồ thị, ương sơđồ, biểu đồ, biểu tượng ha thậm cả m ảo
m [51].
Theo Từđiển Tiếng Việt [23], mô hình ật dạng nhưng được m thu nhỏ lại nhiều lần, m ỏng cấu tạo hoạt động của một ật kh để tiện t b ,
ứu.
Mô hình toán h c một cấu c n học đồ thị, bảng biểu, ương nh, hệ ương biểu thức đại số, h m số gồm hiệu n hệ học biểu diễn, tả đặc điểm của một h huống, một hiện tượng ha một đối tượng thực
được cứu. h học một m ừu tượng sử dụng ngữ t học để m ả ề một hệ thố đ ẳng hạn, m h ọc được biểu diễn bởi
nh học.
Mô hình hoá toán h c ch ển đổi một ấn đề thực tế sang một ấn
đề học bằng thiết lậ giải ết m to n học, thể hiện đ
lời giải ngữ cảnh thực tế, cải tiến m nh nếu giải ết k thể chấ nhận [33].
Cụ thể m t học t bộ u ch ển đổi ấn đề thực tế
sang ấn đề n ngược lại c ng ới mọi thứ l n n đến u nh đ từ bước dựng lại h huống thực tế, ết định một m h n hợ m ệc t g m ườ , giải t đ nh gi kết ả uan đến nh huống thực tế đ
khi cần ải điều chỉn m h, lặ lại nh nhiều lần cho đến kh được một kế ả hợ .
một ngắn gọn to n học giải ết những ấn
đề thực tế bằng ụ ọc.
Theo Từ điển khoa Việt Nam [23], Mô hình hóa toán h c sự giải
ọc cho một hệ thố ọc ha n i ọc nhằm ả lời cho nhữ hỏi m người ta đặ hệ thống n .
Dựa định nghĩa n, ta thấ ằng m học một hoạt động ức tạ bao gồm sự ch ển đổi giữa t học thực tế theo cả hai chiều, ậ , đ hỏi học sinh ải c nhiều năng lực c nhau ong lĩnh ực to n học nhau cũng như ến thức li uan đế t ống thực tếđượ em
kinh nghiệm kĩ năn thái độ và sự sẵn sàng để thực hiện quá trình mô hình hóa một cách thích hợ và có mục đ có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống
ẫn theo [
Và năng l c mô hình hóa toán h c là khả năng nhận ra những câu hỏ biến số
mối quan hệ hoặc giả thiết liên quan trong một tình huống thực tếđược chuyển đổi chúng sang ngôn ngữ toán họ giải thích và đánh giá kết quả toán học liên quan đến tình huống cũng như khả năng hân tích hoặc so sánh các mô hình đã cho bằng cách
đưa ra các giả thiế ểm tra thuộc tính và ạm vi của mô hình được cho [49].
Đồng thuận với M Blum Gal th, i cho ằng, năng lực mô hình hóa toán học là khả năng chuyển đổi một tình huống thực tế liên quan đến toán học sang mô hình toán học để giải quyết trong phạm vi toán học và trả lời cho tình huống thực tếđã đặt ra.
Các thành tố của năng lực MHH toán học của HS tiểu học
NL MHHTH 1. Sử dụng được c n, thức số học, sơđồ, bảng biểu,
ẽđể , diễn đạt hoặc ết) được nội dung, tưởng, thức giải
ế ấn đề.
NL MHHTH2. Ch ển ấn đề thực tiễn li n đến n học ề ấn đề n học, thiết lậ ả ế ấn đề ọc t ong nh được thiết lậ .
NL MHHTH 3. Thể hiện đ g lời giải ngữ cảnh thực tế cải tiến
m ế giải ế n ợ .
Khung ánh giá năng l c MHH toán h c
Đểđ được năng lực t học của học sinh ước ti ta ải hiể ề
u nh thực hiện m h a n học. C nhiều sơ đồ c nhau được sử dụng để
biểu diễn h m , dụ của Edwards & Hamson (1996), Galbraith, Gos, Renshaw & Geiger (2003), Stillman (1998) [47]. Các sơđồ này được xây dựng trên quá trình mà các nhà giải quyết vấn đề trong thế giới thực thực hiện, chúng minh họa các giai đoạn chính trong một quá trình lặp đi lặp lại bắt đầu với một vấn đề thực tế và kết thúc là trình bày cách giải quyết vấn đề hoặc quyết định xem lại các mô hình đểđạt được kết quả tốt hơn. Mục đích của các sơđồ là cung cấp một công cụ cơ bản giúp người làm mô hình hóa vượt qua các giai đoạn của quá trình giải quyết những nhiệm vụ thực tếđầy thách thức và mơ hồ, đồng thời giúp giáo viên hiểu rõ hơn về suy nghĩ của học sinh, những gì học sinh đã thực hiện khi giải quyết các nhiệm vụ mô hình hóa, là cơ sở để
giáo viên đưa ra những dựđoán và can thiệp đối với quá trình này.
Tuy nhiên, như Blum và Leiβ (2007) đã chỉ ra, sơđồ hình 2.1 quan tâm nhiều hơn
đến quá trình giải quyết các nhiệm vụ mô hình hóa cá nhân [30].
Bước 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó.
·Làm rõ bối cảnh của vấn đề, mô phỏng, biểu diễn, thảo luận tình huống
·Nhận ra các yêu cầu quan trọng.
Bước Đơn giản huống đưa biến hợ để được m h thực củ huống. Bướ ển từ m ực sang m nh n ·Đư ả th ết li đến ệc giải ế huống. · đị c biến ụ thuộ độc lậ . ·Biểu diễn ếu tố thực tế sang ngữ to để thể dụng kiến thức học. T nh hu?ng th? c M h nh th?c M h nh to K?t u? th? c M h nh t nh hu?ng K?t u? to Th? gi?i th?c To n h?c 1 2 3 4 5 6
Hình 2.1. Sơđồ mô hình hóa theo Blum và Leiβ (2007)
Bướ àm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toá ả )
· ụng c thức, thuậ n u tắc to n họ hợ .
·Thực hiệ .
Bướ ể hiện kết ả ữ cảnh thực tế.
·Ch ển đổi kế ả to n học đểđư kế ả ợ ới thực tế.
· ậ ận để giả ết ả được.
·Nhận thức được sự cần thiết của to ọc khi đư ời giải .
Bướ em h ợ ủa kế ả ha ải thực hiện nh lần 2 ·Giả c ế ả hợ ới thực tế. ·Xem nghĩa của kế ả họ ng thực tế. ·L m h ợ giữa kế ả n họ thực tế ·Xem ệc giảm nhẹ ộc m ẫn cho một lời giải ợ ·Xem ự h ợ của thực tế t ộ . Bướ ực hiện lại ếu kh ng ợ ) Bướ nh b c ch giả ết
Khi ch ển từ giai đoạn n sang giai đoạn k của M người thực hiện M đ đạt đươc một sự tiến bộ nhất định khi ượt ua c ở ngại nhận thức [30].
30
Blom j Jensen 0 m tả hai tiế cận nhau đểđ năng
lực m h đ đ ổng thể đ ừ ần [ Đánh giá tổng thể NL MHH ọc sinh ải ải một h m n chỉnh đầ đủ), thực hiện tất cả bước của để giải ết từ ấn đề đơn giản đến ức tạ đ ỏ ả ề u n s u. Tu ếu học sinh thực hiệ n bộ t t ệc n c ch giải ết sẽ kh để đ nh năng lực
ần. Do c bước m h nh đan ới nhau, chất lượng của mỗi bước học sinh thực hiện sẽ ụ thuộc ất nhiều chất lượng của bước
ước đ ậ gần như thể đ gi năng lực ần một ng biệt nhiệm ụ tổng thể. dụ một người đơn giản một huống ng
đầ đủ th kh ng đạt đến một kết ả thực tế n kh ng thểđ nh g năng lực giải ch kế ả n của người đ
Từ sơ đồ của Blum Leiβ 0 Lud & Xu 0 [ đã xây dựng một thang đo gồm mức độđể đánh giá năng lực của học sinh mỗi giai đoạn M thành công được gắn với một mức độ của năng lự h ).
Hình 2.2. Sơđồ năng lực mô hình hóa của Ludwig & Xu
Mức độ hiểu huống hoặc kh sẵn để giải ết. g
ẽ ha c hiế ả lời.
Mức độ 1 hiểu t nh huống thực tếđược cho, nhưng ng thể dựng lại ha đơn giản huống, cũng ng thể t m được mối li n kết giữa huống ới tưởng họ ột số tưởng ẽ ha ghi c hợ đến huống, hiếu ả lời nhưng sự đơn giản ha thiết lậ một mối
ệ to n học n o được t m thấ .
Mức độ 2 S thiết lậ được mộ h nh thực bằng ch đơn giản h a, đưa th giả thiết dựng lại huống thực tế, tu thể ch ển m h
n sang học.
Mức độ 3 biết ch ển m h nh thực tế th nh một t học, nhưng chỉ ệc ới m t một ạm i hạn chế, c thểđưa a kết ả to cho
ống nhưng chưa đư ải ết cụ thể. Mức độ 4 khả năng l m ệc ngữ cảnh học đưa kết ả ớ h giả ết nhưng chưa a đ . Mức độ 5 biết h n đ kết ả, lời giải của nh huống đ cho, từ đ đư đề nghị để cải tiế ải ết. Đánh giá từng phần NL MHH
ọc sinh chỉ tậ ung một hoặc hai u t con của nh m h thểđ một số năng lực m h ần. ọc sinh sẽ giải ết c
ấn đề M kh nhau, ởđ h đ được thực hiện đến một bước đ . Tu nhi n, hạn chế của những nhiệm ụ n l thể được th g tin ề khả năng thực hiệ bộ t của học sinh.
Nhiều ng cứu đ sử dụng c u kh nhau để đ nh gi từng giai đoạn lẻ của h điều n cho thấ ệc n cứu dạ học h
chỉ theo tổng thể m n g a cứu chi tiết ề c giai đoạn c nhau củ u n , từđ đư ững nhậ ọng đố ới học sinh.
đ gi dưới đ l dựa bả giai đoạn của nh m h h đ h
b ở .
vCác tiêu chí đánh giá của Hall [
Hall (1984), trong bài báo “Đánh giá các dự án mô hình hóa”, cho rằng các năng lực mô hình hóa của học sinh nên được đánh giá theo ba phạm vi:
- Nội dung – liên quan đến các kỹ năng thực hiện mô hình hóa - Trình bày kết quả
- Điều khiển quá trình
Đồng thời các phạm vi này được chia thành 14 tiêu chí, tương ứng với bảy giai
đoạn của quá trình mô hình hóa (chi tiết trong bảng 2.1), đó là:
Bảng 2.1. Các tiêu chí đánh giá của Hall
Tiêu chí Giai đoạn
Nội dung
Hiểu tình huống thực tế 1
Nhận ra các biến và tham số 2
Xác định mối quan hệ của các biến và tham số 2 Xây dựng các công thức toán học để mô tả hiện tượng/ tình huống 2 Thiết lập mô hình đại diện cho hệ thống và liên quan đến các biến số
quan trọng 2
Sử dụng các biểu thức toán học của mô hình để giải quyết 3 và 4
Trình bày
Biểu diễn và giải thích dữ liệu 7b
Chuyển đổi thông tin dưới dạng hình ảnh hoặc ngược lại 7b Có khả năng giao tiếp rõ ràng, đặc biệt là bằng ngôn ngữ viết 7b
32
Điều khiển quá trình
Khả năng định h huố dựng c ấn đề 3
Khả năng t m hiểu th m c ỹ thuậ h n uan 4
Biết khi n o cần tha đổi m h ương h ặc mục u
Biết giải kết ả huống thực tế - đ sự
củ h 6
Khả năng l ệc hiệ ả g nh m 1 đến
đ nh g của all cho thấ ệc tạo a một m h n học đoạn 2)
được em giai đoạn khăn nhất của t bao gồm ệc đưa những giả thiết
đểđơn giản huống, nhận a biến số, tham số định mối an hệ
giữa cạnh đ b kết ả cũng nội dung ọng của
đề ất một m nh để kết hợ điểm số củ ạm đ đ một
đ n ẽđược 1 điểm nếu thỏa m điểm nếu kh thỏa m .
vCác tiêu chí ánh giá c a Bery và Le Masurier [
B ng 2.2. Các tiêu chí đánh giá của Bery và Le Masurier
Tiêu chí Giai đoạn
Lý thuyết ểu vấn đề 1 Phát biểu vấn đề cần giải quyết 1 Tìm kiếm dữ liệ ông tin 4 và / hoặc Thiết lậ mô hình thực 2 Đưa ra các giả thiết 2 Đơn giản hóa 2
Nhận biết các thông tin quan trọng 2
Mô hình toán ban đầu
Xác định các biến 2
Xây dựng mô hình toá ự giả thiết ả ết 4 Giải thích cách giải và nhận xét về mô hình ban đầu 6 Dữ liệu Thu thậ như thế o 4 và / hoặc Sự liên quan giữa các dữ liệu 4 và / hoặc Trình bày dữ liệ ụ ểu đồ, đồ thị, ) Chỉnh sửa mô hình Chỉnh sửa m h nh dựa những nhận đ ề m nh ban đầu Giả ận m h đ ỉnh sửa 6 Nhậ cuối g 6 Kết luận T m tắ kế ả ch nh củ t a
vCác tiêu chí ánh giá của ARG
Khoảng một thậ ni n sau, nh m cứu đ của Anh (Asessment Research Group – ARG) đã xây dựng bộ tiêu chí đánh giá cho các dự án mô hình hóa, trong đó nhấn mạnh đến kỹ năng giao tiếp (viết), gồm 11 tiêu chí được liên kết chặt chẽ
với các giai đoạn từ 1 đến 7a của quá trình mô hình hóa và 9 tiêu chí dành cho phần trình bày/báo cáo bằng văn bản (giai đoạn 7b). Mỗi tiêu chí được mô tả mức “thể hiện tốt nhất” và đánh giá theo thang mức từ 0 đến 4.
Bảng 2.3. Các tiêu chí đánh giá của ARG
Tiêu chí Giai đoạn
Mô hình hóa
Phát biểu mục tiêu của nhiệm vụ 1
Nhận ra các thông tin quan trọng của nhiệm vụ 2
Đưa ra các giả thiết để đơn giản hóa nhiệm vụ 2
Xác định các biến liên quan 2
Khám phá các mối quan hệ và phát triển một mô hình toán học 2
Phát biểu vấn đề toán học 3 Tìm giải pháp 4 Giải thích cách giải quyết 5 Đánh giá cách giải quyết 6 Cho thấy bằng chứng của nghiên cứu 2 Thể hiện sự sáng tạo, quyết tâm 1 đến 6 và 7a Kỹ năng giao tiếp (viết) Phần tóm tắt về báo cáo 7b
Phần giới thiệu về báo cáo 7b
Cấu trúc của báo cáo hợp lý 7b
Báo cáo được diễn đạt rõ ràng 7b
Ngôn ngữ phù hợp 7b
Trình bày và bố cục trực quan 7b
Sử dụng tài liệu tham khảo và phục lục thích hợp 7b
Phần kết luận trong báo cáo chính 7b
34
Các tiêu chí ánh giá của Haines, Crouch và Davis [
Bảng 2.4. Các tiêu chí đánh giá của Haines, Crouch và Davis
Năng lực mô hình hóa Giai đoạn
Đơn giản hóa các giả thiết 1 và 2
Làm rõ mục tiêu 1 và 2 Xây dựng vấn đề 2 và 3 Xác định các biến số tham số ằng số 2 và 3 Xây dựng mệnh đề toán học 3 Lựa chọn mô hình 2 Biểu diễn h bằng biểu đồ, đồ thị 5 Phả ở lại đố ới ống thực tế 5
Bằng chứng của nghi n cứu n cho thấ ằng sẽ ất ch nếu nh thời gian để
thực những kĩ năng n khi giảng dạ m a. Do đ gi thể giao cho học sinh một số i tậ chỉ tậ một bước cụ thể, chẳng hạn đơn giản a
ả thiết hoặ dựng m
luận ăn n , ch sử dụng thang mức độ đ nh NL a học của Blum Leiβ 0 g & Xu (2008) vừa nói đến ở trên đểđánh giá năng lực MHHTH của học sinh tiểu học.
Vai trò của NL MHH toán học
- Phát triển năng lực phân tích vấn đề:
Mô hình toán học là một quá trình toán học có liên quan đến năng lực quan sát tình hình, suy đoán mối quan hệ, phận tích toán học và diễn giải lại mô hình. Hoạt