D ạy học theo lý thuyết tình huống
2.3. Năng lực mô hình hóa toán học
Các khái niệm chung
Trước tiên cần phân biệt hai thuật ngữ “mô hình” và “mô hình hóa”.
Frank Swetz (1991) định nghĩa mô hình là một mẫu, một kế hoạch, một đại diện, một minh họa được thiết kếđể mô tả cấu trúc, cách vận hành của một đối tượng, một hệ
thống hay một khái niệm.
Mason và Davis (1991) cho rằng mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật [42].
Tuy nhiên, các nghiên cứu của Swetz, Hartzler (1991) [49] và Verschaffel (2002) [51] lại cho thấy điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó. Mô hình ởđây còn có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơđồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính [51].
Theo Từđiển Tiếng Việt [23], mô hình là vật cùng hình dạng nhưng được làm thu nhỏ lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác để tiện trình bày, nghiên cứu.
Mô hình toán học là một cấu trúc toán học (đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ phương trình, biểu thức đại số, hàm số,…) gồm các kí hiệu và các quan hệ toán học biểu diễn, mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu. Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. Chẳng hạn, mô hình hình học được biểu diễn bởi các hình hình học.
Mô hình hoá toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [33].
Cụ thể: mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó: từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý.
Nói một cách ngắn gọn thì mô hình hóa toán học là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học.
Theo Từ điển bách khoa Việt Nam [23], Mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.
Dựa vào định nghĩa trên, ta thấy rằng mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều, vì vậy, đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau cũng như có kiến thức liên quan đến các tình huống thực tếđược xem xét.
kinh nghiệm, kĩ năng, thái độ và sự sẵn sàng để thực hiện quá trình mô hình hóa một cách thích hợp và có mục đích, có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống (Dẫn theo [38]).
Và năng lực mô hình hóa toán học là khả năng nhận ra những câu hỏi, biến số, mối quan hệ hoặc giả thiết liên quan trong một tình huống thực tếđược cho, chuyển đổi chúng sang ngôn ngữ toán học, giải thích và đánh giá kết quả toán học liên quan đến tình huống, cũng như khả năng phân tích hoặc so sánh các mô hình đã cho bằng cách đưa ra các giả thiết, kiểm tra thuộc tính và phạm vi của mô hình được cho [49].
Đồng thuận với Maab, Niss, Blum và Galbraith, chúng tôi cho rằng, năng lực mô hình hóa toán học là khả năng chuyển đổi một tình huống thực tế liên quan đến toán học sang mô hình toán học để giải quyết trong phạm vi toán học và trả lời cho tình huống thực tếđã đặt ra.
Các thành tố của năng lực MHH toán học của HS tiểu học
NL MHHTH 1. Sử dụng được các phép toán, công thức số học, sơđồ, bảng biểu, hình vẽđể trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, cách thức giải quyết vấn đề.
NL MHHTH2. Chuyển vấn đề thực tiễn liên quan đến toán học về vấn đề toán học, thiết lập MHHTN và giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập.
NL MHHTH 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp.
Khung đánh giá năng lực MHH toán học
Đểđánh giá được năng lực MHH toán học của học sinh trước tiên ta phải hiểu về quy trình thực hiện mô hình hóa toán học. Có nhiều sơ đồ khác nhau được sử dụng để biểu diễn quá trình mô hình hóa, ví dụ của Edwards & Hamson (1996), Galbraith, Gos, Renshaw & Geiger (2003), Stillman (1998) [47]. Các sơđồ này được xây dựng trên quá trình mà các nhà giải quyết vấn đề trong thế giới thực thực hiện, chúng minh họa các giai đoạn chính trong một quá trình lặp đi lặp lại bắt đầu với một vấn đề thực tế và kết thúc là trình bày cách giải quyết vấn đề hoặc quyết định xem lại các mô hình đểđạt được kết quả tốt hơn. Mục đích của các sơđồ là cung cấp một công cụ cơ bản giúp người làm mô hình hóa vượt qua các giai đoạn của quá trình giải quyết những nhiệm vụ thực tếđầy thách thức và mơ hồ, đồng thời giúp giáo viên hiểu rõ hơn về suy nghĩ của học sinh, những gì học sinh đã thực hiện khi giải quyết các nhiệm vụ mô hình hóa, là cơ sở để giáo viên đưa ra những dựđoán và can thiệp đối với quá trình này.
Tuy nhiên, như Blum và Leiβ (2007) đã chỉ ra, sơđồ hình 2.1 quan tâm nhiều hơn đến quá trình giải quyết các nhiệm vụ mô hình hóa cá nhân [30].
Bước 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó.
·Làm rõ bối cảnh của vấn đề, mô phỏng, biểu diễn, thảo luận tình huống
·Nhận ra các yêu cầu quan trọng.
Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được mô hình thực của tình huống.
Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán
·Đưa ra các giả thuyết liên quan đến việc giải quyết tình huống.
·Xác định các biến phụ thuộc và độc lập.
·Biểu diễn các yếu tố thực tế sang ngôn ngữ toán để có thể áp dụng kiến thức toán học. Tình hu?ng th? c Mô hình th?c Mô hình toán K?t qu? th? c Mô hình tình hu?ng K?t qu? toán Th? gi?i th?c Toán h?c 1 2 3 4 5 6 7
Hình 2.1. Sơđồ mô hình hóa theo Blum và Leiβ (2007)
Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán (giải toán)
·Áp dụng các công thức, thuật toán, quy tắc toán học thích hợp.
·Thực hiện tính toán.
Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế.
·Chuyển đổi kết quả toán học đểđưa ra kết quả phù hợp với thực tế.
·Dùng các lập luận để giải thích kết quả có được.
·Nhận thức được sự cần thiết của toán học khi đưa ra lời giải thích.
Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện quá trình lần 2
·Giải thích các kết quả không phù hợp với thực tế.
·Xem xét ý nghĩa của kết quả toán học trong thực tế.
·Làm cho phù hợp giữa kết quả toán học và thực tế
·Xem xét việc giảm nhẹ các ràng buộc mà vẫn cho một lời giải phù hợp.
·Xem xét sự phù hợp của thực tế trong toàn bộ quá trình. Bước 7a: Thực hiện lại quá trình (nếu không phù hợp) Bước 7b: Trình bày cách giải quyết
Khi chuyển từ giai đoạn này sang giai đoạn khác của quá trình MHH, người thực hiện MHH đã đạt đươc một sự tiến bộ nhất định khi vượt qua các trở ngại nhận thức [30].
Blomhøj và Hojgaard Jensen (2007) mô tả hai cách tiếp cận khác nhau đểđánh giá năng lực mô hình hóa, đó là đánh giá tổng thể và đánh giá từng phần [29]:
Đánh giá tổng thể NL MHH
Học sinh phải trải qua một quá trình mô hình hóa hoàn chỉnh (đầy đủ), thực hiện tất cả các bước của quá trình MHH, để giải quyết từ các vấn đề MHH đơn giản đến phức tạp, đòi hỏi phải có nhiều phân tích chuyên sâu. Tuy nhiên, nếu học sinh thực hiện toàn bộ quá trình MHH thì việc phân tích cách giải quyết sẽ khó để đánh giá các năng lực MHH thành phần. Do các bước quá trình mô hình hóa đan xen với nhau, nên chất lượng của mỗi bước học sinh thực hiện sẽ phụ thuộc rất nhiều vào chất lượng của các bước trước đó, vì vậy gần như không thể đánh giá các năng lực thành phần một cách riêng biệt trong các nhiệm vụ tổng thể. Ví dụ một người đơn giản hóa một tình huống không đầy đủ thì không đạt đến một kết quả thực tế nên không thểđánh giá năng lực giải thích kết quả toán của người đó.
Từ sơ đồ của Blum và Leiβ (2007), Ludwig & Xu (2008) [40] đã xây dựng một thang đo gồm 6 mức độđể đánh giá năng lực MHH của học sinh, mỗi giai đoạn MHH thành công được gắn với một mức độ của năng lực MHH (hình 2.2).
Hình 2.2. Sơđồ năng lực mô hình hóa của Ludwig & Xu
Mức độ 0: HS không hiểu tình huống hoặc không sẵn sàng để giải quyết. Không có hình vẽ hay chú thích nào trên phiếu trả lời.
Mức độ 1: HS hiểu tình huống thực tếđược cho, nhưng không thể xây dựng lại hay đơn giản hóa tình huống, cũng không thể tìm được mối liên kết giữa tình huống với các ý tưởng toán học. HS có một số ý tưởng (hình vẽ hay ghi chú) hợp lý, liên quan đến tình huống, trên phiếu trả lời nhưng không có sự đơn giản hóa hay thiết lập một mối quan hệ toán học nào được tìm thấy.
Mức độ 2: HS thiết lập được một mô hình thực bằng cách đơn giản hóa, đưa thêm các giả thiết và xây dựng lại tình huống thực tế, tuy nhiên không thể chuyển mô hình này sang mô hình toán học.
Mức độ 3: HS biết chuyển mô hình thực tế thành một mô hình toán học, nhưng chỉ làm việc với mô hình toán trong một phạm vi hạn chế, có thểđưa ra kết quả toán cho
tình huống nhưng chưa đưa ra cách giải quyết cụ thể.
Mức độ 4: HS có khả năng làm việc trong ngữ cảnh toán học và đưa ra kết quả toán cùng với quá trình giả quyết nhưng chưa phân tích hay đánh giá.
Mức độ 5: HS biết phân tích, đánh giá kết quả, lời giải của tình huống đã cho, từ đó đưa ra đề nghị để cải tiến quá trình giải quyết.
Đánh giá từng phần NL MHH
Học sinh chỉ tập trung vào một hoặc hai quá trình con của quá trình mô hình hóa nên có thểđánh giá một số năng lực mô hình hóa thành phần. Học sinh sẽ giải quyết các vấn đề MHH khác nhau, ởđó quá trình MHH đã được thực hiện đến một bước nào đó. Tuy nhiên, hạn chế của những nhiệm vụ này là không thể có được thông tin về khả năng thực hiện toàn bộ quá trình MHH của học sinh.
Nhiều nghiên cứu đã sử dụng các tiêu chí khác nhau để đánh giá từng giai đoạn riêng lẻ của quá trình MHH, điều này cho thấy việc nghiên cứu dạy học mô hình hóa không chỉ theo cách tổng thể mà còn thông qua nghiên cứu chi tiết về các giai đoạn khác nhau của quá trình này, từđó đưa ra những nhận xét quan trọng đối với học sinh.
Các đánh giá dưới đây là dựa trên bảy giai đoạn của quá trình mô hình hóa đã trình bày ở trên.
vCác tiêu chí đánh giá của Hall [37]
Hall (1984), trong bài báo “Đánh giá các dự án mô hình hóa”, cho rằng các năng lực mô hình hóa của học sinh nên được đánh giá theo ba phạm vi:
- Nội dung – liên quan đến các kỹ năng thực hiện mô hình hóa - Trình bày kết quả
- Điều khiển quá trình
Đồng thời các phạm vi này được chia thành 14 tiêu chí, tương ứng với bảy giai đoạn của quá trình mô hình hóa (chi tiết trong bảng 2.1), đó là:
Bảng 2.1. Các tiêu chí đánh giá của Hall
Tiêu chí Giai đoạn Nội dung
Hiểu tình huống thực tế 1 Nhận ra các biến và tham số 2 Xác định mối quan hệ của các biến và tham số 2 Xây dựng các công thức toán học để mô tả hiện tượng/ tình huống 2 Thiết lập mô hình đại diện cho hệ thống và liên quan đến các biến số
quan trọng 2
Sử dụng các biểu thức toán học của mô hình để giải quyết 3 và 4
Trình bày
Biểu diễn và giải thích dữ liệu 7b Chuyển đổi thông tin dưới dạng hình ảnh hoặc ngược lại 7b Có khả năng giao tiếp rõ ràng, đặc biệt là bằng ngôn ngữ viết 7b
Điều khiển quá trình
Khả năng xác định tình huống và xây dựng các vấn đề 1 và 3 Khả năng tìm hiểu thêm các kỹ thuật và thông tin liên quan 1 và 4 Biết khi nào cần thay đổi mô hình, phương pháp hoặc mục tiêu 7a Biết cách giải thích kết quả toán trong tình huống thực tế - đánh giá sự
thành công của các mô hình 5 và 6 Khả năng làm việc hiệu quả trong nhóm 1 đến 7
Trong đánh giá của Hall cho thấy việc tạo ra một mô hình toán học (giai đoạn 2) được xem là giai đoạn khó khăn nhất của quá trình, bao gồm việc đưa ra những giả thiết đểđơn giản hóa tình huống, nhận ra các biến số, tham số và xác định các mối quan hệ giữa chúng. Bên cạnh đó, trình bày kết quả cũng là nội dung quan trọng của quá trình MHH. Hall đề xuất một mô hình để kết hợp điểm số của ba phạm vi đánh giá đó là một tiêu chí đánh giá sẽđược 1 điểm nếu thỏa mãn và 0 điểm nếu không thỏa mãn.
vCác tiêu chí đánh giá của Bery và Le Masurier [28]
Bảng 2.2. Các tiêu chí đánh giá của Bery và Le Masurier
Tiêu chí Giai đoạn Lý thuyết Hiểu vấn đề 1 Phát biểu vấn đề cần giải quyết 1 Tìm kiếm dữ liệu, thông tin 4 và / hoặc 6 Thiết lập mô hình thực 2 Đưa ra các giả thiết 2 Đơn giản hóa 2
Nhận biết các thông tin quan trọng 2
Mô hình toán ban đầu
Xác định các biến 2
Xây dựng mô hình toán (dựa vào các giả thiết) và giải quyết 2 và 4 Giải thích cách giải và nhận xét về mô hình ban đầu 5 và 6 Dữ liệu Thu thập như thế nào 4 và / hoặc 6 Sự liên quan giữa các dữ liệu 4 và / hoặc 6 Trình bày dữ liệu (ví dụ: biểu đồ, đồ thị, ….) 7b Chỉnh sửa mô hình
Chỉnh sửa mô hình dựa trên những nhận xét/ đánh giá về mô hình
ban đầu 7a
Giải thích và nhận xét các mô hình đã chỉnh sửa 5 và 6 Nhận xét mô hình cuối cùng 6
Kết luận
vCác tiêu chí đánh giá của ARG
Khoảng một thập niên sau, nhóm nghiên cứu đánh giá của Anh (Asessment Research Group – ARG) đã xây dựng bộ tiêu chí đánh giá cho các dự án mô hình hóa, trong đó nhấn mạnh đến kỹ năng giao tiếp (viết), gồm 11 tiêu chí được liên kết chặt chẽ với các giai đoạn từ 1 đến 7a của quá trình mô hình hóa và 9 tiêu chí dành cho phần