Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số phản cộng hưởng của thanh

(3.17) 13d2 (, e3, e1)  2 3d2 (, e3, e2 ) 21 2 3d3 (, e3, e2 , e1)  0 (3.18) Mặt khác, cũng từ phương trình (3.14), các xấp x bậc nhất, bậc hai và bậc ba của phương trình đặc trưng để xác định tần số phản cộng hưởng cho thanh có nhiều vết nứt là: n d 0( )   jd1( , ej )  0; j1 (3.19) n n j1 d 0 ( )   jd1( , ej )    d2 ( , e j , ek ) j k  0; (3.20) j1 j2 k 1 n n j1 d 0 ()   jd1( , e j )  j1  d2 (, e j , ek ) j k  j2 k 1 (3.21) n 2 j1 k 1d e(, e , , e )  0.    3 j3 k 2 r 1 j k r j k r

3.1.3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số phản cộng hưởng của thanh

Để kiểm chứng lý thuyết được đề xuất, nghiệm của phương trình (3.16) là tần số phản cộng hưởng của thanh hai đầu tự do được tính toán và so sánh với kết quả thực nghiệm nhận được trong [64]. Xét một thanh với các đặc trưng hình học và vật liệu như sau: EA = 5.454.108 (N); A = 20.4 (kg/m); L = 2.474 (m); kết quả được

Bảng 3.1. Tỷ số tần số phản cộng hưởng tính toán cho thanh không nứt và thanh nứt so với giá trị đo

Trị riêng

Thanh không nứt Giả thiết vết nứt D1 Giả thiết vết nứt D2

Đo đạc [64] Tính toán (sai số, %) Đo đạc [64] Tính toán (sai số, %) Đo đạc [64] Tính toán (sai số, %) 1 468.6 470.6 (0.42) 439.5 470.3 (7.0) 432.9 465.3 (7.48) 2 1411.7 1411.7 (0) 1409.3 1406.4 (0.2) 1365.6 1301.7 (4.67) 3 2328.4 2352.8 (1.05) 2337.0 2339.6 (0.1) 2324.4 2132.9 (8.23) 4 3265.8 3294.0 (0.86) – 3282.1 (–––) 3102.5 3134.1 (1.01) 5 4216.6 4235.1 (0.43) – 4232.9 (–––) 3722.1 4200.8(12.86) 6 5145.1 5176.3 (0.67) – 5173.3 (–––) 4866.6 5098.5 (4.76)

Vết nứt D1, D2 có chiều sâu tương ứng (0.6% and 15%) ở vị trí e = 0.55/2.747 = 0.2

Khảo sát kết quả cho trong Bảng 3.1 cho thấy giống như tần số cộng hưởng, khi vết nứt lớn thì tần phản cộng hưởng trong kết cấu thanh cũng giảm. Đối với các thanh không có vết nứt, các tần số phản cộng hưởng tính toán rất gần với giá trị đo đạc (độ chênh lệch giữa chúng nhỏ hơn 1%). Và điều này cũng đúng với vết nứt nhỏ theo giả thiết D1 trừ tần số đầu tiên có sai số lên đến 7%. Điều này xảy ra có thể là do mô hình tính toán không phù hợp với kết cấu trong thí nghiệm.

Bảng 3.2. Các hàm số và tham số của phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh với các điều kiện biên

Điều kiện biên Tham số biên d0 () L0 (x)

Một đầu ngàm

một đầu tự do 0 1  0, 0 0, 1 1 sin  sin  x

Hai đầu tự do 0 1 0, 0 1  1 cos  cos 

x L0 (x)  (0 sin x 0 cos  x); d0 ()  (0 sin   0 cos  )

Vì phương trình tần số phản cộng hưởng không xác định đối với thanh hai đầu ngàm, nên ở đây ch xét tần số phản cộng hưởng cho thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do.

Xây dựng phương trình tần số phản cộng hưởng xấp x bậc nhất cho thanh trong hai trường hợp điều kiện biên: thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do. Trước hết tính các hệ số theo các công thức (3.15) cho hai trường

hợp điều kiện biên nêu trên. Sử dụng hàm số L0(x) đã cho trong Bảng 3.2, tính được các hệ số

d0 () ,

d1(,e) như sau.

 Trường hợp thanh một đầu ngàm một đầu tự do d0 ()  sin ;

d1(, e) cos (1  e) cos  vì vậy

n

sin   j cos  (1 ej ) cos ej  0.

j1

 Trường hợp thanh hai đầu tự do

d0 () cos; d1(, e) 2cos(1 e)sin( e) (3.22) nên n

cos    j cos(1 ej )sin ej

 0;

j1

(3.23)

Xét trường hợp thanh không nứt, tần số cộng hưởng xác định từ phương trình (3.16) trong hai điều kiện biên là:

 Tần số phản cộng hưởng của thanh hai đầu tự do: d0 () cos  cos  0  k (2 k 1)  , 2  1, 2,3,.... (3.24)

 Tần số phản cộng hưởng của thanh một đầu ngàm một đầu tự do:

d0 ()  sin   0  sin  0  k  k ,  1, 2,3,.... (3.25) Xét trường hợp thanh có một vết nứt, phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh (3.16) trong hai trường hợp điều kiện biên nêu trên là:

 Phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh hai đầu tự do: cos 1cos (1 e)sin(e)  0

(3.26)

 Phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh một đầu ngàm một đầu tự do: sin 1cos (1 e)cos(e)  0

(3.27)

Trong các Hình 3.1 – 3.6 trình bày nghiệm của các phương trình (3.26) và (3.27), là tỷ số tần số phản cộng hưởng của thanh có một vết nứt so với tần số phản cộng hưởng của thanh không nứt ( / 0) phụ thuộc của vào vị trí và chiều sâu vết

nứt trong hai trường hợp điều kiện biên: thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do. Các đồ thị cho thấy sự thay đổi tần số phản cộng hưởng của thanh do có vết nứt không khác nhiều so với sự thay đổi tần số cộng hưởng do vết nứt. Cụ thể, các tần số phản cộng hưởng cũng c những điểm nút mà vết nứt xuất hiện tại đ không làm thay đổi tần số phản cộng hưởng (gọi là điểm nút tần số phản cộng hưởng). Những điểm nút của tần số phản cộng hưởng không trùng với các điểm nút của tần số cộng hưởng. Sự tồn tại các điểm nút tần số phản cộng hưởng cũng làm phức tạp thêm việc giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng các phương trình tần số phản cộng hưởng. Thậm chí là kết hợp việc sử dụng cả phương trình tần số cộng hưởng và tần số phản cộng hưởng.

Hình 3.1. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ nhất của thanh một đầu ngàm một đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt

Hình 3.2. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ hai của thanh một đầu ngàm một đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt

Hình 3.3. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ ba của thanh một đầu ngàm một đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt

Hình 3.4. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ nhất của thanh hai đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt

Hình 3.5. Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ hai của thanh hai đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt