Để minh họa cho lý thuyết đƣợc đề xuất ở trên, tần số riêng trong dao động dọc của thanh có nhiều vết nứt với điều kiện biên: thanh hai đầu ngàm và thanh một đầu ngàm một đầu tự do đƣợc tính toán bằng cách sử dụng công thức Rayleigh cùng với các xấp x gần đúng thứ nhất và thứ hai của nó. Các tần số tính toán gần đúng đƣợc so sánh với tần số thu đƣợc bằng cách giải các phƣơng trình tần số chính xác cho phép đánh giá tính hiệu dụng của công thức Rayleigh để xác định tần số riêng đối với thanh có nhiều vết nứt. Kết quả thể hiện trong Hình 2.17 – 2.22 là tỷ số giữa tần số riêng của thanh có vết nứt với tần số riêng của thanh không nứt (λ/λ0) đƣợc tính nhƣ hàm của vị trí vết nứt dọc theo chiều dài thanh có chiều sâu vết nứt khác nhau. Đối với vết nứt đã cho chiều sâu, có bốn đƣờng cong đƣợc mô tả trong các hình vẽ, chúng biểu diễn tỷ số tần số (λ/λ0) đƣợc tính từ phƣơng trình tần số chính xác và các công thức Rayleigh xấp x (2.63) – (2.65) tƣơng ứng. Hình 2.17 – 2.19 lần lƣợt cho thấy ba tỷ số tần số đầu tiên của thanh một đầu ngàm một đầu tự do. Hình 2.20 – 2.22 trình bày các tỷ số tần số của thanh hai đầu tự do.
Hình 2.17. Tỷ số tần số cộng hưởng thứ nhất thanh một đầu ngàm một đầu tự do.
Hình 2.18. Tỷ số tần số cộng hưởng thứ hai của thanh một đầu ngàm một đầu tự do
Hình 2.20. Tỷ số tần số cộng hưởng thứ nhất của thanh hai đầu tự do.
Hình 2.22. Tỷ số tần số cộng hưởng thứ ba của thanh hai đầu tự do.
Các đồ thị đƣợc đƣa ra trong hình vẽ cho thấy:
1. Khi chiều sâu vết nứt nhỏ hơn 20% độ dầy thanh, tần số riêng đƣợc tính từ công thức Rayleigh hoặc phƣơng trình tần số chính xác gần nhƣ giống hệt nhau và tần số tính từ xấp x bậc nhất gần nhất với tần số chính xác. Thậm chí tần số tính từ công thức Rayleigh ban đầu (chƣa khai triển) cũng không chính xác bằng tần số tính từ công thức Rayleigh xấp x bậc nhất.
2. Đặc biệt, tần số tính từ các công thức Rayleigh xấp x đã không còn tính đối xứng nhƣ tần số chính xác của thanh c điều kiện biên đối xứng (Hình 2.21 và 2.22). Điều này rất bổ ích cho việc xác định nghiệm duy nhất của bài toán chẩn đoán vết nứt trong thanh c biên đối xứng bằng tần số riêng.
3. Cũng nhƣ các trƣờng hợp khác, tần số tính từ công thức Rayleigh luôn giảm khi chiều sâu vết nứt tăng.
Tóm lại, qua sự khảo sát trên có thể đƣa ra các kết luận sau: Công thức Rayleigh xấp x thứ nhất đƣợc sử dụng tốt nhất cho việc tính toán tần số của thanh có nhiều vết nứt, trong khi đ công thức Rayleigh xấp x bậc hai sẽ hiệu quả hơn khi sử dụng để chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng tần số riêng.
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2
Kết quả chính nhận đƣợc trong chƣơng này là thiết lập đƣợc phƣơng trình tần số ở dạng tƣờng minh (đa thức cấp n) đối với các tham số vết nứt, trong đ các phƣơng trình tần số gần đúng (xấp x bậc nhất và bậc hai) đã đƣợc kiểm chứng khả năng ứng dụng để tính toán tần số riêng của thanh có nhiều vết nứt và chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng tần số riêng.
Ngoài ra, trong chƣơng này cũng đã thiết lập một công thức hiển của tần số dao động riêng trong thanh có nhiều vết nứt dựa trên công thức Rayleigh mở rộng cho thanh có nhiều vết nứt. Kết quả đã ch ra rằng công thức xấp x bậc nhất mà nhiều tác giả trƣớc đ đã nhận đƣợc bằng phƣơng pháp tiệm cận là công cụ đủ chính xác để tính toán tần số riêng của thanh có nhiều vết nứt (bài toán thuận). Trong khi đ xấp x bậc hai sẽ hiệu quả hơn nếu sử dụng để giải bài toán ngƣợc: bài toán chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng.
Đây là hai đ ng góp mới của luận án trong việc tính toán và chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng tần số riêng.
CHƢƠNG 3. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH BẰNG TẦN SỐ PHẢN CỘNG HƢỞNG
Nội dung của chƣơng này là nghiên cứu tần số phản cộng hƣởng của thanh có nhiều vết nứt và sử dụng chúng cùng với các tần số riêng đã đƣợc nghiên cứu ở Chƣơng 2. Đầu tiên sẽ thiết lập phƣơng trình để tìm tần số phản cộng hƣởng tƣơng tự nhƣ phƣơng trình tần số đã đƣợc thiết lập trong Chƣơng 2 và gọi nó là phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng. Tiếp theo là sử dụng phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng của thanh có vết nứt để khảo sát sự phụ thuộc của tần số phản cộng hƣởng vào các tham số vết nứt. Cuối cùng là sử dụng cả phƣơng trình tần số đã thiết lập ở Chƣơng 2 và phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng đƣợc thiết lập ở chƣơng này để giải bài toán chẩn đoán một và hai vết nứt trong thanh bằng tần số cộng hƣởng và tần số phản cộng hƣởng.