Xét một dầm đàn hồi đồng chất thiết diện không đổi c mô đun đàn hồi E
(GPa); mật độ khối ρ (kg/m3), chiều dài L (m), diện tích mặt cắt ngang A (m2) và mô men quán tính hình học mặt cắt ngang I (m4) . Giả sử dầm có n vết nứt tại vị trí
ej , j = 1,...,
n
với (ej= xj/L). Giả thiết, vết nứt ngang và mở đƣợc mô hình bằng lò xo xoắn c độ cứng
K0 j ( j = 1,..., n) dƣới dạng hàm của độ lớn vết nứt (Hình 4.1).
h
h
Hình 4.1. Mô hình dầm có nhiều vết nứt.
Phƣơng trình dao động tự do của dầm Euler–Bernoulli có dạng
Φ(IV ) (x) +λ4Φ(x) = 0, x ∈(0,1), λ4 =ω2Lcùng với điều kiện biên tổng quát là Φ4 (p0 ) (0) =Φ(q0 ) (0) = 0;Φ(p1 ) (1) =Φ(q1 ) (1) = 0 (4.1) (4.2)
trong đ p0, q0, p1, q1 là bậc các đạo hàm theo biến không gian x và có thể nhận các giá trị nguyên 0, 1, 2, 3 tƣơng ứng với các điều kiện biên khác nhau (Xem Bảng 4.3).
Nếu trong dầm chứa n vết nứt tại các vị trí ej , j = 1,...., n và vết nứt đƣợc mô tả bằng các lò xo xoắn với độ cứng tƣơng đƣơng là Kj, thì điều kiện tƣơng thích tại các vết nứt là:
Φ(ej + 0) =Φ(ej − 0); Φ′(e j + 0) =Φ′(e j − 0);
Φ′(e + 0) =Φ′(e − 0); Φ′(e + 0) =Φ′(e − 0) +γ Φ′′(e ). (4.3)
j j j j j j
trong đ độ cứng của lò xo xoắn tƣơng đƣơng
K j =EI / Lγj , j = 1,...,
n
và γjlà tham số độ lớn vết nứt (gọi tắt là độ lớn vết nứt) phụ thuộc và chiều sâu aj của vết nứt, đƣợc tính bằng [69]: γj = 6π(1−ν2)(h / L) f2 (a j / h); z =a j / h; j = 1,..., n f2 (z) = 0, 6272z2−1, 04533z3+ 4,5948z4− 9,973z5+ 20, 2928z6− 33, 035z+ 47,106z7
8− 40, 7556z9+ 19, 6zvới νlà hệ số Poission của vật liệu dầm.
(4.4)
Xét n + 1 đoạn dầm (ej-1, ej), j = 1,...., n+1 đƣợc tạo thành do n vết nứt ej,
j = 1,.. ., n+1 và ký hiệu nghiệm của phƣơng trình (4.1) trong các đoạn dầm nêu trên
lần lƣợt là Φ0(x), Φ1(x),...,Φn(x). Khi đ điều kiện tƣơng thích tại các vết nứt (4.3) áp dụng cho các hàm Φ0(x), Φ1(x),...,Φn(x) có dạng: Φj (ej ) =Φj−1(ej ); Φ′j (ej ) =Φ′j−1(e j ); Φ′j′(e j ) =Φ′j′−1(ej ); Φ′j (ej ) =Φ′j−1(e j ) +γ jΦ′j−1(e j ); j = 1,..., n
Nếu L01(x, λ), L02(x, λ) là các nghiệm của phƣơng trình (4.1) thỏa mãn các điều kiện biên tại đầu trái dầm, tức
L10
(p0 ) (0) =L(q0 ) (0) = 0; r = 1, 2
thì nghiệm tổng
0r 0r
quát của phƣơng trình (4.1) thỏa mãn các điều kiện tƣơng thích tại các vết nứt (4.3) c thể biểu diễn ở dạng [70] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Φ(x) =CL1(x, λ) +DL2 (x,
λ)
với C, D là các hằng số và
n L1(x, λ) =L01(λ x) + ∑ µ1k K (x − ek ) ; k =1 n L2 (x, λ) =L02 (λ x) + ∑ µ2k K (x −ek ); k =1 (4.6) K (p) (x) = 0 khi x 0,1, 2,3; S (p) (x) khi x
S (x) =(sinh λx + sin λ x) / 2λ; S′′(x) =λ(sinh λx − sin λx ) / 2;
j−1
µrj =γ j[L0′r (λej ) +∑µ rk S ′(ej −ek )], r = 1, 2; j = 1,...,
n.
k =1