a. Chẩn đoán một vết nứt
Vấn đề phát hiện một vết nứt trong thanh hai đầu tự do đã đƣợc nghiên cứu kỹ lƣỡng bởi Morassi và các cộng sự trong [21–27]. Tuy nhiên, cần phải lƣu ý rằng lời giải duy nhất trong việc xác định một vết nứt đã đạt đƣợc trong [63] bởi vì ch có tần số cộng hƣởng và tần số phản cộng hƣởng đầu tiên đã
1 2
2 2 2 2 2
đƣợc sử dụng. Nghiệm duy nhất không thể tìm đƣợc nếu sử dụng một cặp tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng thứ hai hoặc cao hơn. Điều này có thể đƣợc giải thích bởi thực tế là cả tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng đầu tiên đều không có điểm nút. Vì vậy, nếu sử dụng tần số cộng hƣởng hoặc tần số phản cộng hƣởng mà một trong số đ có một điểm nút thì không thể mang lại nghiệm duy nhất cho bài toán chẩn đoán vết nứt.
Do đ , khảo sát ở đây vấn đề chẩn đoán một vết nứt trong thanh một đầu ngàm một đầu tự do bằng tần số cộng hƣởng và tần số phản cộng hƣởng. Trong trƣờng hợp này, các tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng đƣợc xác định từ các phƣơng trình đặc trƣng chính xác
cos λ−λγ cos λe sin λ(1 −e) =
0;
sin λ +λγ cos λ(1−e) cos λe
= 0.
(3.50) Mặt khác, phƣơng trình chẩn đoán (3.37) trong trƣờng hợp này có
dạng
F (e, λ, λ) =λ cos λcos λecos λ(1−e) +λsin λsin λ(1−e) cos λe
= 0.
(3.51)
Nguyên lý chẩn đoán vị trí vết nứt: Tính tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng phụ thuộc vào một vị trí vết nứt cho trƣớc với các chiều sâu vết nứt khác nhau rồi thay chúng vào hàm chẩn đoán F (e, λ,
λ)
để c đƣợc các đồ thị hàm số chẩn đoán theo với các chiều sâu khác nhau tƣơng ứng; điểm cắt không, chung của tất cả các đồ thị nêu trên chính là vị trí vết nứt cần tìm.
Đồ thị của hàm chẩn đoán F (e, λ1, λ1) là hàm của vị trí vết nứt e với λ1,λ1 đƣợc tính toán cho ba vị trí vết nứt
(a) : e* = 0.75; (b) : e*=
0.5;
(c) : e*= 0.25 và
có chiều sâu khác nhau từ 10% đến 50% đƣợc thể hiện trong Hình 3.8 – 3.10. Đồ thị trên các hình vẽ cho thấy nghiệm duy nhất của bài toán xác định một vết nứt bằng tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng thứ nhất ch đạt đƣợc khi vết nứt xảy ra ở vị trí 0.5 (là điểm nút của tần số phản cộng hƣởng) và tại các vị trí gần với đầu tự do hơn so với đầu ngàm ( e ≥ 0.67 ).
Hình 3.8. Vị trí vết nứt cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do bằng phương trình tần số cộng hưởng và phản cộng hưởng tại vị trí 0.75
Hình 3.9. Vị trí vết nứt cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do bằng phương trình tần số cộng hưởng và phản cộng hưởng tại một vị trí 0.5
Hình 3.10. Vị trí vết nứt cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do bằng phương trình tần số cộng hưởng và phản cộng hưởng tại vị trí 0.25
Hình 3.10 cho thấy điểm cắt không, chung của hàm
F (e, λ, λ) với mọi chiều sâu vết nứt ch tồn tại ở vị trí vết nứt thực là 0.25, trong khi điểm cắt không, chung thứ hai của hàm
F (e, λ,
λ)
không tồn tại mà chúng bị xê dịch xung quanh vị trí 0.6375 khi chiều sâu vết nứt thay đổi. Rõ ràng, điểm cắt không, chung thứ hai của hàm chẩn đoán không phải là lời giải của bài toán chẩn đoán vết nứt và phải đƣợc bỏ qua khỏi các nghiệm của phƣơng trình (3.51).
Nếu sử dụng hai tần số cộng hƣởng thấp nhất của thanh một đầu ngàm một đầu tự do, thì phƣơng trình chẩn đoán vị trí vết nứt có dạng
F (e, λ1, λ2) =λ2 cos λ1 cos λ2e cos λ2(1 −e) −λsin λ2 cos λ1(1 −e) cos λ1e = 0.
(3.52) Tƣơng tự, trong trƣờng hợp này, bài toán chẩn đoán c nghiệm duy nhất khi vết nứt xảy ra tại điểm nút của tần số thứ hai (1/3) hoặc ở nửa bên phải (tự do) của thanh (e ≥ 0.5). Trong trƣờng hợp vết nứt nằm ở vị trí 0.25 xuất hiện một nghiệm không ổn định tại 0.64. Vì vậy, có thể kết luận rằng việc sử dụng tần số phản cộng hƣởng cũng không thể giải quyết vấn đề duy nhất nghiệm của bài toán chẩn đoán vết nứt trong thanh một đầu ngàm một đầu tự do. Rõ ràng, vấn đề tìm nghiệm duy nhất của bài toán chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng tần số cộng hƣởng hay phản
cộng hƣởng không phải do điều kiện đối xứng hay không mà nó liên quan đến các điểm nút của các tần số đƣợc sử dụng để chẩn đoán.
b. Chẩn đoán hai vết nứt
Vấn đề chẩn đoán hai vết nứt trên thanh bằng tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng đã đƣợc nghiên cứu ở [67] trong đ hai vết nứt đƣợc giả thiết là nhỏ và có cùng chiều sâu. Các giả thiết nêu trên khó thỏa mãn trong việc áp dụng các kết quả vào thực tế. Trong phần này, vấn đề phát hiện hai vết nứt trên thanh đƣợc kiểm tra bằng phƣơng pháp số mà không cần giả thiết các vết nứt có cùng chiều sâu để minh họa và xác nhận lý thuyết đƣợc phát triển ở trên.
Xét bài toán chẩn đoán hai vết nứt trong thanh c hai đầu tự do. Để đánh giá khả năng ứng dụng của phƣơng trình gần đúng bậc nhất (phƣơng trình tần số và phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng), vấn đề đƣợc giải quyết bằng cách sử dụng cả phƣơng trình gần đúng tuyến tính (3.31) và phƣơng trình phi tuyến chính xác (3.38) – (3.39). Kết quả phát hiện vết nứt thu đƣợc bằng cách giải các phƣơng trình (3.34) và (3.46) với các tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng bậc nhất và bậc hai đƣợc tính toán cho hai vết nứt ở vị trí 0.5 và 0.75 trong các kịch bản khác nhau về chiều sâu vết nứt (xem Bảng 3.3). Rõ ràng, phƣơng trình đặc trƣng xấp x gần đúng bậc nhất ch cho kết quả chẩn đoán vị trí vết nứt chính xác khi chiều sâu nhỏ hơn hoặc bằng 10%, trong khi các phƣơng trình đặc trƣng chính xác phi tuyến cho phép chẩn đoán chính xác trong tất cả các trƣờng hợp chiều sâu vết nứt (từ 5% đến 40%).
Bảng 3.3. So sánh kết quả chẩn đoán hai vết nứt của thanh hai đầu tự do bằng các phương trình xấp xỉ bậc nhất và phương trình chính xác phi tuyến tính cho
các tần số cộng hưởng và phản cộng hưởng
Kịch bản chiều sâu vết nứt
Kết quả chẩn đoán vị trí
vết nứt thứ nhất Kết quả chẩn đoán vị trí vếtnứt thứ hai Xấp x bậc nhất Phƣơng trình chính xác Xấp x bậc nhất Phƣơng trình chính xác 5% 0.5 0.5 0.75 0.75 10% 0.5 0.5 0.75 0.75 15% 0.5 0.5 0.75 0.75 20% 0.498 0.5 0.75 0.75 25% 0.498 0.5 0.752 0.75 30% 0.498 0.5 0.755 0.75 35% 0.48 0.5 0.754 0.75
40% 0.479 0.5 0.758 0.75 Vị trí vết nứt
thực 0.5 0.75
Điều này một lần nữa xác nhận giá trị hiệu dụng của các phƣơng trình đặc trƣng phi tuyến đƣợc thiết lập ở trên để giải quyết không ch các bài toán thuận mà còn cả bài toán ngƣợc. Tuy nhiên, cần lƣu ý rằng ch có thể đạt đƣợc nghiệm duy nhất của phƣơng trình (3.46) nếu tất cả bốn phƣơng trình trong (3.46) đã đƣợc sử dụng (hai phƣơng trình đƣợc sử dụng để xác định vị trí và hai phƣơng trình khác đƣợc coi là điều kiện để loại bỏ các vết nứt giả).
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3
Kết quả chính của chƣơng này là:
1. Đã thiết lập các phƣơng trình để tính toán tần số phản cộng hƣởng của thanh có nhiều vết nứt, gọi là phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng. Các phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng đƣợc thiết lập ở dạng tƣờng minh (đa thức) đối với tham số vết nứt rất thuận tiện cho việc chẩn đoán vết nứt bằng tần số phản cộng hƣởng.
2. Đã nghiên cứu chi tiết ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số phản cộng hƣởng và cho thấy, tƣơng tự nhƣ các tần số cộng hƣởng, các tần số phản cộng hƣởng cũng c các điểm nút, vết nứt xuất hiện tại đ không làm thay đổi tần số phản cộng hƣởng.
3. Đã áp dụng phƣơng trình tần số và phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng để giải bài toán chẩn đoán một và hai vết nứt trong thanh bằng tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng. Đ ng g p mới quan trọng ở đây là đã giải trọn vẹn bài chẩn đoán hai vết nứt mà không cần phải giả thiết vết nứt nhỏ và cùng chiều sâu nhƣ trong các công bố trƣớc đ .
4. Việc sử dụng tần số phản cộng hƣởng cùng với tần số cộng hƣởng cho phép
ta giải trọn vẹn bài toán chẩn đoán hai vết nứt trong thanh. Điều này thực hiện đƣợc là do ta sử dụng đƣợc 2 tần số cộng hƣởng đầu và 2 tần số phản cộng hƣởng đầu, chúng đều nhạy cảm với vết nứt hơn hai tần số thứ ba và thứ 4, nếu sử dụng riêng rẽ 4 tần số cộng hƣởng đầu hoặc 4 tần số phản cộng hƣởng đầu.
CHƢƠNG 4. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM ĐÀN HỒI BẰNG TẦN SỐ PHẢN CỘNG HƢỞNG
Mục tiêu của Chƣơng này là thiết lập các phƣơng trình đặc trƣng tƣờng minh để tính toán các tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng trong dao động uốn của dầm có nhiều vết nứt (tƣơng tự nhƣ đã thực hiện trong Chƣơng 2 và 3 đối với dao động dọc trục trong thanh). Mối quan tâm đặc biệt đƣợc tác giả tập trung vào nghiên cứu ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số phản cộng hƣởng và giải bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng tần số phản cộng hƣởng.