2.2.1. KHÁI QUÁT PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA CHÍNH XÁC
Khi khảo sát đặc tính động học của một đối tượng điều khiển, các đối tượng khảo
sát thường được xem gần đúng là tuyến tính. Điều này cho phép mô tả hệ thống bằng một phương trình vi phân tuyến tính .Với hệnhư vậy ta có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng vào việc tách các thành phần đặc trưng riêng cho từng chế độ làm việc để
nghiên cứu chúng bằng cách sử dụng những công cụ toán học chặt chẽ, chính xác. Do
đó, lý thuyết điều khiển tuyến tính và mô hình tuyến tính đã có nhiều ứng dụng trong khảo sát, thiết kế hệ thống điều khiển.
Thực tế phần lớn các đối tượng điều khiển lại mang đặc điểm cấu trúc phi tuyến mà sự khác biệt cơ bản giữa hệ phi tuyến và hệ tuyến tính là khảnăng áp dụng nguyên lý xếp chồng để phân tích hệ.Điều đó dẫn đến những kết quả phong phú của lý thuyết
điều khiển tuyến tính không thể áp dụng được .Nhưng vì mong muốn sử dụng những thành quả này để áp dụng vào hệ phi tuyến, ý tưởng xây dựng mô hình tuyến tính
tương đương cho hệ phi tuyến được đề xuất.
Việc tìm kiếm mô hình tuyến tính tương đương với một mô hình phi tuyến đã có
trong thực tế có thể bằng phương pháp tuyến tính hóa xấp xỉ (tuyến tính hóa tại lân cận điểm làm việc, tuyến tính hóa trong một chu kỳ trích mẫu). Tuy nhiên việc tuyến tính hóa hệ phi tuyến trong một miền hoặc trong một tập điểm của không gian trạng thái bằng phương pháp tuyến tính hóa xấp xỉ là khó thực hiện, nhất là khi số lượng
điểm trạng thái khảo sát là vô hạn .Từ đó mở ra hướng nghiên cứu có thể thiết kế bộ điều khiển tuyến tính hóa đảm bảo tính chất tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng
thái, đó là phương pháp tuyến tính hóa chính xác. Tuyến tính hóa chính xác có đặc điểm như sau:
• Tuyến tính hóa được chính xác hệ phi tuyến ở mọi điểm trong không gian trạng thái.
• Điều kiện để tồn tại phép tuyến tính hóa chính xác là chỉ cần hệ phi tuyến đó điều khiển được và phải có bậc tương đối bằng số biến trạng thái (đối với hệ SISO), hoặc có vector bậc tương đối tối thiểu bằng số biến trạng thái (đối với hệ MIMO) .
Gần đây, Alberto Isidori đã đề xuất phép đổi trục vi phôi (diffeomorphism) trên nền hình học vi phân (differential geometric tools), tạo ra khảnăng nghiên cứu, phân tích,
28
điều khiển hệ phi tuyến theo hướng tận dụng các kết quả của hệ tuyến tính, điển hình
là phương pháp tuyến tính hóa chính xác .Ý tưởng của phương pháp tuyến tính hóa chính xác là thực hiện chuyển tọa độ mô hình trạng thái của đối tượng phi tuyến thông qua việc thiết kế bộđiều khiển phản hồi trạng thái hoặc phản hồi đầu ra sao cho hệ kín trở thành tuyến tính. Phương pháp này đã bù đắp khuyết điểm của hai phương trên, đó là đảm bảo hệ thỏa mãn nguyên lý xếp chồng trong gần như toàn bộ không gian trạng
thái, đặc biệt với các hệ phi tuyến MIMO còn đem lại khả năng tách kênh hoàn toàn
các biến trạng thái giúp dễ dàng trong việc thiết kếđiều khiển.
Đề tạo ra môi trường thích hợp với công cụ hình học vi phân, phương pháp tuyến tính hóa chính xác yêu cầu hệ có dạng hệ phi tuyến affine:
Trong đó các vector x(t) và y(t) khả vi vô hạn lần .Phần lớn các hệ thống kỹ
thuật trong thực tếđều thỏa mãn điều kiện đưa ra ở trên nên phương pháp tuyến tính hóa chính xác có miền ứng dụng khá rộng và là một công cụ mạnh mẽ trong việc xử lý các bài toán phi tuyến.
Trong giới hạn khuôn khổ đề tài, chúng ta chỉ tập trung tìm hiểu trường hợp tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào – ra cho hệ phi tuyến MIMO .Hình dưới là minh họa cấu trúc tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào – ra cho hệ phi tuyến: