Trong bài toán thiết kế thông thường như thiết kế cầu, đường, nhà cửa... hay trong các giáo trình sách Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Nguyên lý máy... vật liệu được xem như là môi trường liên tục của các chất điểm. Khái niệm môi trường được dùng để chỉ vật thể với ý nghĩa kích thước vật thể lớn hơn nhiều so với chất điểm, các đại lượng vật lý đặc trưng cho vật liệu do đó là các hàm biến thiên liên tục. Cơ học môi trường liên tục xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc thiết lập quy luật vận động của các đặc trưng vật liệu ta gọi chung là quy luật ứng xử vật liệu. Để xác định quy luật ứng xử của vật liệu, phương pháp thông thường là ta tiến hành thí nghiệm, từ đó xây dựng các công thức lý thuyết mô tả phù hợp với miền kết quả thí nghiệm. Phương pháp xây dựng này gọi là phương pháp tiếp cận hiện tượng/ thực nghiệm. Cách tiếp cận này chỉ quan tâm tới kết quả cuối cùng do đó ít phức tạp và có hiệu quả trong các ứng dụng thực tế. Tuy vậy các quy luật ứng xử dựa trên tiếp cận thực nghiệm bị khống chế bởi các vật liệu và tác động của tải trọng cụ thể. Chỉ cần thay đổi nhẹ trong công tác chế tạo vật liệu hay tác động vượt quá miền thí nghiệm, các quy luật này không còn đủ lý lẽ khoa học để áp dụng. Một ví dụ đơn giản, bê tông xi măng portland ở điều kiện sử dụng bình thường có ứng xử đàn hồi tuyến tính (đặc trưng bằng hai thông số đàn hồi) và phá hoại giòn (đặc trưng bằng cường độ chịu kéo và nén). Công việc xây dựng luật ứng xử bắt đầu từ quan sát thực nghiệm và sử dụng lý thuyết đàn hồi tuyến tính để mô tả quy luật. Tuy vậy, trong quá trình chế tạo, nếu tăng một chút lỗ rỗng hoặc tăng cường một số chất phụ gia... hoặc điều kiện biên chịu lực đặc biệt như nhiệt độ cao hoặc tải trọng kéo dài, ứng xử của bê tông sẽ thay đổi và quá trình xây dựng các quy luật ứng xử cho các trường hợp cụ thể quay trở lại các trình tự từ việc quan sát thực nghiệm tới tổng hợp lý thuyết.
đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao của khoa học vật liệu trong phát triển các dạng vật liệu mới, chịu tác động đặc biệt và giảm giá thành thí nghiệm, một xu hướng tiếp cận khác trong việc thiết lập quy luật ứng xử của vật liệu là xây dựng các quy luật dự báo lý thuyết trên cơ sở thiết lập mối quan hệ vĩ mô-vi mô. Cụ thể hơn, các đặc trưng vật liệu ở cấp độ thiết bị công trình (cấp độ vĩ mô) có liên hệ và được quyết định bởi các đặc trưng, cấu trúc, quy luật vật lý ở mức độ vật chất nhỏ hơn (cấp độ vi mô). Cách thức triển khai như vậy không chỉ giới hạn trong lĩnh vực cơ học vật liệu mà còn trong các chuyên ngành khác như điện, quang học, nhiệt...
2.1.2. Khái niệm đa cấp độ
Mô hình đa cấp độ là một hướng nghiên cứu trong đó các mô hình khác nhau tại các cấp độ khác nhau (cơ học lượng tử, cơ học động lực phân tử, cơ học môi trường liên tục...) được sử dụng đồng thời để mô tả ứng xử của hệ vật chất. Sự cần thiết của mô hình đa cấp độ đến từ thực tế rằng các mô hình vĩ mô đang được sử dụng không đủ hiệu quả, trong khi mô hình ở cấp độ vi mô không có tính ứng dụng cao và chứa quá nhiều thông tin. Thông thường các kỹ sư thiết kế kết cấu sử dụng lý thuyết môi trường liên tục để tính toán mà không cần hiểu biết về các gắn kết bên trong của vật liệu, trong khi các nhà vật lý có hiểu biết rõ ràng về các vấn đề cơ bản của vật chất nhưng khó khăn trong việc xử lý các bài toán cụ thể cấp độ công trình, khi có vấn đề thực tế nằm ngoài khả năng giải quyết của lý thuyết thiết kế thông thường, cách tiếp cận mô hình đa cấp độ có thể là giải pháp hữu hiệu.
2.1.3. Khái niệm đồng nhất hóa
Phương pháp đồng nhất hóa vật liệu đa cấp độ ở đây khi chỉ xét tới vật liệu tại cấp độ tuân theo quy luật của cơ học môi trường liên tục. Tại cấp độ vĩ mô (cấp độ kết cấu) công trình xem như là môi trường liên tục đặc trưng bởi phần tử thể tích (elementary volume) lý thuyết, phần tử thể tích là vô cùng bé của hệ vật chất xem xét. Cụ thể hơn, nếu chúng ta lần lượt ký hiệu L và là kích thước của công trình và phần tử thể tích thì << L cần được đảm bảo để có thể sử dụng các phép tính sai phân mô tả môi trường liên tục. Tiếp theo phần tử thể tích được trông đợi đủ lớn để
có đặc trưng đại diện cho toàn bộ tính chất của vật liệu cấu thành, vì vậy có tên đầy đủ hơn là phần tử thể tích đặc trưng (representative elementary volume), có tên viết tắt là REV như được trình bày trong Hình 2.1.
Hình 2. 1. Quá trình đồng nhất hóa vật liệu: (a) Cấp độ kết cấu; (b) phần tử thể tích đặc trưng REV; (c) Môi trường đồng nhất tương đương.
Các cách xác định khác nhau của REV có thể được tìm thấy trong [31] đối với vật liệu tuyến tính và phi tuyến. Nhóm phương pháp đầu tiên để nghiên cứu kích thước của REV bao gồm các phương pháp tiếp cận dựa trên các sơ đồ phân tích đồng nhất, chủ yếu được giới hạn trong các trường hợp tuyến tính. Các cách tiếp cận này đã được sử dụng để xem xét các tạp chất hình cầu và có lợi trong một số trường hợp để xác định kích thước của REV đối với kết cấu có nhiều tạp chất.
Loại phương pháp tiếp cận thứ hai, dựa trên các phương pháp số như phương pháp PTHH [22], sử dụng các phép tính trên một ô đơn vị có kích thước khác nhau và cho phép xác định kích thước của REV thông qua thống kê phân tích dựa trên tính toán số. Các phương pháp này chủ yếu được áp dụng cho trường hợp tuyến tính và một vài nghiên cứu gần đây cho trường hợp phi tuyến. Đối với vật liệu tạp chất tuyến tính, việc xác định kích thước của REV có thể được thực hiện bằng cách phân tích sự hội tụ thống kê của các thông số vật liệu hiệu quả liên quan đến kích thước của ô đơn vị này. Kanit và cộng sự [39] đã nghiên cứu các đặc tính nhiệt và đàn hồi tuyến tính của các vi cấu trúc đa tinh thể 3D ngẫu nhiên. Trong [47], Ostoja-
Starzewski và cộng sự phân tích cấu trúc đa tinh thể ngẫu nhiên từ các khối kết cấu tinh thể lập phương. Các ví dụ khác về phân tích đàn hồi có thể được tìm thấy trong [29]. Các ứng dụng đối với xương, các mô hình động học phân tử của polyme hoặc môi trường xốp đã được nghiên cứu trong [27]. Trong [49], các tiêu chí mới để xác định kích thước của REV với ma trận đàn hồi ngẫu nhiên đã được đề xuất cũng như ước tính cho các kích thước REV. Trong [53], một lý thuyết đồng nhất ngẫu nhiên đã được đưa ra đối với các vật liệu nhiều tạp chất đàn hồi dị hướng ngẫu nhiên mà không thể được mô tả về thành phần của chúng và không thể áp dụng các phương pháp tiêu chuẩn, như xương hoặc màng sinh học. Trong [48], một phương pháp sử dụng khái niệm chu kỳ ngẫu nhiên đã được sử dụng để ước tính các đặc tính hiệu quả của vật liệu tổng hợp ngẫu nhiên bằng cách sử dụng khối lượng nhỏ. Đánh giá để xác định kích thước của REV cho vật liệu tổng hợp phi tuyến có thể được tìm thấy trong [33].
Nói một cách khái quát, kích thước trong REV phải đủ đảm bảo, xét về mặt xác xuất, chứa đầy đủ thông tin về hình học và đặc trưng vật lý của hệ vật. REV được tập hợp từ các thành phần hỗn độn có kích thước d cần thỏa mãn điều kiện
d để đảm bảo tính đại diện của REV. Ngoài ra, để đảm bảo hiệu quả của mô hình môi trường liên tục, kích thước của thành phần hỗn độn cần lớn hơn kích thước giới hạn d0 – việc xác định kích thước tới hạn d0 là khó khăn, tuy nhiên tùy vào độ mịn của của kết cấu vật liệu, thông thường nhỏ hơn 1m. Để dễ hình dung ta xem xét một ví dụ minh họa về kết cấu bê tông, cấp vĩ mô hay cấp kết cấu công trình tương ứng với L có kích thước cấu kiện (m), REV có kích thước tương đương mẫu thử của bê tông (dm), các thành phần hỗn độn tương ứng kích thước các hạt cốt liệu, hồ xi măng (mm), trong khi kích thước tới hạn d0 có thể tương đương độ lớn của tinh thể C-S-H (m) [25]. Tổng quát, kích thước REV tuân theo điều kiện sau:
0
d d l L. Hiểu một cách cụ thể, đó là từ một REV của vật liệu hỗn độn, không
đồng nhất được tập hợp từ nhiều thành phần đồng nhất có kích thước nhỏ hơn với các đặc trưng cụ thể về hình học và cơ học, phương pháp đồng nhất có mục tiêu xác
định một môi trường đồng nhất giả tưởng có cùng kích thước hình học bao ngoài như REV, chịu cùng tải trọng và có cùng ứng xử tổng thể như REV. Một bài toán đồng nhất hóa có thể được chia thành 3 giai đoạn chính:
+ Bước đại diện (representative step): Tại bước này, cần cụ thể hóa các thông tin cơ bản của bài toán đồng nhất hóa: vật liệu được cấu thành từ các pha đồng nhất nào? Sự bố trí không gian của các pha vật liệu? Sự tương tác giữa các thành phần cấu thành đặc trưng cơ lý nào của hệ cần được xác định.
+ Bước địa phương hóa (localisation step): Tiếp theo, cần phân tích những kết quả cơ học của vật liệu theo các dạng tải trọng khác nhau như: trường ứng suất vi mô, trường biến dạng vi mô , trường nhiệt độ vi mô, trường mật độ vật chất vi mô... cũng như là các dạng phương pháp để xác định.
+ Bước đồng nhất hóa (homogenization step): Cuối cùng, cần tổng hợp các kết quả từ bước trước để đạt được các giá trị vĩ mô thông qua các phương pháp lấy trung bình, đề xuất các luật ứng xử vĩ mô, các phương pháp đánh giá độ chính xác.
Phương pháp đồng nhất hóa với mục tiêu cuối cùng là xác định các ứng xử có hiệu của vật liệu nhiều thành phần từ thông tin của các pha cấu thành. Ngoại trừ một số ít các trường hợp rất đặc biệt, nói chung thông tin của REV là không thể hoàn toàn đầy đủ, điều đó dẫn đến kết quả bài toán đồng nhất hóa thường thu được ở công thức xấp xỉ hoặc ở dạng hàm đánh giá (là các hàm toán học chính xác định nghĩa miền giới hạn các kết quả có hiệu nằm trong đó). Phần lớn các nghiên cứu về đồng nhất hóa hướng tới tăng độ chính xác các công thức xấp xỉ hoặc làm chặt chẽ các miền đánh giá.
2.1.4. Đồng nhất hóa vật liệu theo bài toán nhiệt
Xét một miền của phần tử thể tích đặc trưng (REV), trong đó là biên ngoài của . Miền chứa hai vật liệu thành phần là bê tông được gọi là vật liệu 1 và cốt thép gọi là vật liệu 2. Phương pháp đồng nhất được tuân theo quy tắc ứng xử về nhiệt độ được biểu diễn bằng quy tắc Fourier:
Hình 2. 2. Phần tử thể tích đặc trưng REV chứa hai vật liệu thành phần
q( ( ))T x = K( ) T( )x x (2.1) Hệ số dẫn nhiệt K(x) tại từng vị trí x trong khối bê tông được xác định theo công thức :
(1) (2)
( ) ( ) (1 ( ))
Kx = x K + x K (2.2)
trong đó, K(1) và K(2) là hệ số dẫn nhiệt của thép và bê tông tương ứng. χ(x) là hàm vị trí, có giá trị bằng 1 nếu x nằm trong miền cốt thép, và bằng 0 nếu x nằm trong phần bê tông. Dòng nhiệt q(T(x)) phải thỏa mãn phương trình cân bằng nhiệt:
a. Điều kiện biên đồng nhất theo Gradient nhiệt độ vĩ mô G
Gradient nhiệt độ vĩ mô G được xác định như sau:
T G
= (2.3)
Vec-tơ dòng nhiệt độ vĩ mô Q được xác định như sau:
eff
Q= q( )x = K T( )x (2.4)
Trong đó, hệ số truyền dẫn nhiệt tương đương K được xác định để thể hiện eff mối quan hệ giữa gradient nhiệt trung bình T( )x . Trong trường hợp tổng quát dị hướng, ten-xơ dẫn nhiệt gồm 6 hệ số độc lập. Trường hợp đơn giản nhất với vật liệu đẳng hướng, sẽ chỉ còn 1 thành phần độc lập.
. ( ( )) 0, q( ( )) ( ) T( ) ( ) G. , q K T T T = = = x x x x x x x x (2.5)
Ta sử dụng khái niệm ten-xơ tập trung gradient nhiệt độ ( )A xđể liên hệ giữa gradient nhiệt độ vi mô T( ) x với giá trị vĩ mô G thông qua biểu thức:
T( ) ( ) G ( ) T( )
x =A x =A x x (2.6)
Ở đây, ( )A xlà ten-xơ hạng 2 phụ thuộc không chỉ vào vị trí x mà còn phụ thuộc vào tất cả các thông số hình học và dẫn nhiệt của hệ, ngoài ra còn thỏa mãn điều kiện trung bình trên miền bằng ten-xơ bậc hai đơn vị:
( ) =
A x 1
(2.7)
Vec-tơ dòng nhiệt sẽ được viết lại như sau:
q( ( ))T x = K( ) T( )x x = K( ) ( ) Gx A x (2.8) Lấy trung bình trên miền ta có:
Q= q( )x = K( ) ( ) Gx A x (2.9)
Cuối cùng, ta xác định được hệ số dẫn nhiệt có hiệu K sau khi đồng nhất eff hóa:
eff
K = K( ) ( )x A x (2.10)
b. Điều kiện biên đồng nhất theo dòng nhiệt
Theo nghĩa tương tự, điều kiện biên đồng nhất tĩnh học đối với bài toán đàn hồi được thay thế bởi điều kiện biên đồng nhất dòng nhiệt.
q( ). ( )x n x =Q n. ( ),x x (2.11) Với n(x) là vec-tơ pháp tuyến hướng ra ngoài của biên của REV tại vị trí x và Q
. ( ( )) 0, q( ( )) ( ) T( ) q( ). ( ) . ( ), q K T T n Q n = = = x x x x x x x x x (2.12)
Ta sử dụng khái niệm ten-xơ tập trung dòng nhiệt ( )B xđể liên hệ giữa dòng nhiệt vi mô q( )x với giá trị vĩ mô Q thông qua biểu thức:
q( )x =B x( ) Q , B x( ) =1 (2.13) Vec-tơ dòng nhiệt sẽ được viết lại như sau:
q( )x = K( ) T( )x x = B x( ) Q (2.14)
1
(K( )) ( ) Q T( )
x B x = x (2.15)
Lấy trung bình trên miền ta có:
1 1
eff eff
G= (K ) Q = (K ) B x( ) Q (2.16) Cuối cùng, ta xác định được hệ số dẫn nhiệt có hiệu K sau khi đồng nhất eff hóa:
1 1
eff
K = KB x( ) (2.17)
Ten-xơ dẫn nhiệt có hiệu theo công thức (2.10) và (2.17) là tương đương khi điều kiện kích thước phân tố hỗn độn vô cùng nhỏ được thỏa mãn (d ).
2.1.5. Đồng nhất hóa vật liệu theo với điều kiện biên theo biến dạng để xác định các đặc trưng vật liệu tương đương của kết cấu BTCT
a. Cơ sở lý thuyết của phương pháp đồng nhất hóa với điều kiện biên biến dạng
Đối tượng nghiên cứu là một môi trường vật liệu liên tục đàn hồi tuyến tính có tính chất cơ học thay đỏi theo vị trí không gian x, được đặc trưng bằng ten-xơ độ cứng đàn hồi bậc bốn ( ) x hoặc ten-xơ độ mềm đàn hồi ( ) x với ( ) =x 1( )x . Cụ thể, ta xét một miền của phần tử thể tích đặc trưng (REV), phần tử này phải đủ
lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phả đủ nhỏ so với kích thước vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý nghĩa. Phần tử thể tích đặc trưng được cấu thành từ n pha vật liệu thành phần ( gọi tắt là pha). Mỗi pha thành phần i có đặc trưng hình học riêng, chiếm
không gian i và có tính chất cơ học đồng nhất đặc trưng bởi ten-xơ độ cứng đàn
hồi i hoặc ten-xơ độ mềm đàn hồi i =i1 với i= 1, 2,...,n được kết nối với nhau qua mặt tiếp xúc được coi là hoàn hảo (đặc trưng bởi điều kiện liên tục về vec-tơ chuyển vị và vec-tơ lực).
(a) (b)
Hình 2. 3. Phần tử thể tích đặc trưng REV của vật liệu BTCT ( hình tròn là cốt thép,