5. Cấu trúc nội dung của luận án
2.2.2 Điều kiện bờ tổng quát
Trong các bài toán kỹ thuật điện, các thiết bị điện từ làm bằng các vật liệu khác nhau, vì thế miền giải bài toán trường sẽ chứa nhiều các miền con, các miền con này có các đặc tính vật lý và nguồn khác nhau.
Từ miền này qua miền kia tại biên giới, trường phải tuân theo các quy tắc nhất định phù hợp với các định luật của trường. Các quy tắc ấy là điều kiện biên giới hay là các điều kiện chuyển tiếp bề mặt (ICs) hay điều kiện bờ.
Để khảo sát các điều kiện ICs của sự phân bố trường điện từ qua hai vật liệu khác nhau Hình 2.1 [61], bằng cách lấy tích phân hai lớp của hai vế của phương trình Maxwell (2.1) – (2.4) trên một bề mặt S với đường bao quanh ∂S. Áp dụng định lý Stoke và div để phân tích định luật Ampere (2.1) và định luật Faraday (2.2), chúng ta có hệ tích phân được xác định [60]:
∮ ℎ. 𝑑𝑟
𝜕𝑆
= ∫(𝑗 + 𝜕𝑡
𝑆
33 ∮ ℎ. 𝑑𝑟 𝜕𝑆 = ∫(𝑗 + 𝜕𝑡 𝑆 𝑑). 𝑑𝑠 (2.16)
Hình 2.1 Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω1 và Ω2 [61]
Một cách tương tự, áp dụng lý thuyết Gauss cho các phương trình (2.3) và (2.4) trên một miền khối V với biên ∂V, lấy tích phân hai vế:
∮ 𝑏. 𝑑𝑠 𝜕𝑉 = 0 (2.17) ∮ 𝑑. 𝑑𝑠 𝜕𝑉 = ∫ 𝜌 𝑉 . 𝑑𝑉 (2.18)
Phương trình (2.17) cho thấy thông lượng b qua một bề mặt kín S với đường biên ∂V là bằng 0. Phương trình (2.18) ngụ ý rằng thông lượng d qua bề mặt S, với đường biên ∂V bằng tổng điện tích trong bề mặt đó.
Xét Ω =Ω1 Ω2 là một miền nghiên cứu hữu hạn trong không gian ba chiều Eculidean, Г là bề mặt biên giữa hai miền liên tục Ω1 và Ω2 trong Hình 2.1. Véctơ pháp tuyến n trên bề mặt Г có hướng từ Ω1 đến Ω2. Tại mặt biên Г có thể tồn tại các mật độ điện tích mặt ρs và mật độ dòng điện mặt js. Các điều kiện chuyển tiếp bề mặt cho các trường điện từ trên mặt tiếp giáp giữa hai miền khác nhau Hình 2.1 [61] có thể viết như sau:
𝑛 × (ℎ2−ℎ1)|𝛤 = 𝑗𝑠 (2.19)
𝑛 × (𝑒2− 𝑒1)|𝛤 = 0 (2.20)
𝑛. (𝑏2− 𝑏1)|𝛤 = 0 (2.21)
𝑛. (𝑑2− 𝑑1)|𝛤 = 𝜌𝑠 (2.22)
Trong đó, các chỉ số dưới 1 và 2 của các đại lượng thể hiện các trường trên các phía của bề mặt biên trong miền tương ứng Ω1 và Ω2. Các biểu thức trên được đơn giản bằng cách lấy tích phân hai vế của các phương trình Maxwell cho các khối và các mặt thông qua thể thông qua mặt chuyển tiếp Г.
Các phương trình (2.19) - (2.22) cho ta quan hệ giữa các thành phần pháp tuyến hoặc tiếp tuyến của trường. Điều này có nghĩa là thành phần pháp tuyến của b và thành phần pháp tuyến của e là liên tục qua mặt chuyển tiếp Г. Còn thành phần pháp tuyến của d và thành phần tiếp tuyến của h là không liên tục qua mặt chuyển tiếp Г, nếu mật độ điện tích khối ρs và mật độ dòng điện js khác 0. Chúng chỉ liên tục khi mật độ điện tích khối ρs và mật độ dòng điện js bằng 0.
34
phương trình Maxwell với các miền khác nhau, sau đó kết nối các nghiệm để đạt được các trường trong toàn bộ không gian của miền nghiên cứu.