5. Cấu trúc nội dung của luận án
3.4.2 Hệ số dẫn nhiệt
Hệ số dẫn nhiệt là đại lượng vật lý đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu nên chỉ có thể xác định bằng thực nghiệm. Về cơ bản các phương pháp thực nghiệm xác định hệ số dẫn nhiệt của tất cả các vật liệu đều xuất phát từ nguyên lý chung là tạo một điều kiện thực nghiệm giống với điều kiện mà ở phương trình định luật Fourier (1) hoặc phương trình vi phân đạo hàm (2) riêng mô tả quá trình dẫn nhiệt của vật cần khảo sát [73]. Vì nghiệm của phương trình này bao giờ cũng chứa λ, do đó bằng cách đồng nhất kết quả đo đạc và kết quả tính toán về trường nhiệt độ, ta xác định được λ.
Phương trình định luật Fourrier:
𝑞 = −𝜆𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑡) (3.59)
Phương trình vi phân dẫn nhiệt tổn quát:
𝜕𝑡 𝜕𝜏 = 𝑎∆
2𝑡 +𝑞𝑣
𝑐𝜌 (3.60)
Có nhiều phương pháp xác định hệ số dẫn nhiệt của vật liệu cách điện trong đó có thể kể đến 2 nhóm chính: phương pháp ổn định và phương pháp không ổn định [51].
Phương pháp ổn định cần tạo ra một trường nhiệt độ ổn định. Điều kiện trạng thái ổn định đạt được khi nhiệt độ tại mỗi điểm của mẫu là không đổi theo thời gian. Thời gian cấp nhiệt lâu dẫn tới sự thay đổi về đặc tính vật liệu. Hơn nữa, hệ số dẫn nhiệt λ đo được là giá trị trung bình cho 1 dải nhiệt độ lớn mà không xác định được giá trị tức thời. Ngoài ra phương pháp này cũng không sử dụng để xác định hệ số dẫn nhiệt của vật liệu cách nhiệt có λ rất bé ( λ < 0,05 W/mK) [50].
Để khắc phục nhược điểm của phương pháp ổn định, đặc biệt là có thể xác định được hệ số dẫn nhiệt trong khoảng thời gian ngắn hoặc rất ngắn, người ta sử dụng phương pháp không ổn định. Đặc biệt trong các trường hợp vật liệu dễ biến tính, vật liệu ẩm hay có hệ số dẫn nhiệt thấp, phương pháp đo không ổn định được sử dụng phổ biến.
Trong phương pháp không ổn định thì phương pháp nguồn đường - dây nung được sử dụng phổ biến nhất. Phương pháp nguồn đường – dây nung hay còn gọi là “phương pháp que thăm” do Schleiermacher [50] đề xuất vào năm 1880.
Việc xác định hệ số dẫn nhiệt bằng phương pháp đo không ổn định sử dụng nguồn nhiệt dạng đường do một dây nhiệt trở - dây nung Ni - Cr có dòng điện chạy qua sinh ra được đặt trong không gian rộng vô hạn. Trong trường hợp này nhiệt được truyền theo không gian hình trụ do vậy chọn hệ tọa độ trụ Hình 3.21 với nguồn nhiệt nằm trên trục z để biểu diễn quá trình dẫn. Trường nhiệt độ trong lớp vật liệu được biểu diễn là hàm của bán kính và thời gian, 𝑡 = 𝑡(𝑟, 𝜏)
91
Hình 3.21 Hệ tọa độ trụ của bài toán dẫn nhiệt nguồn đường
Phương trình vi phân dẫn nhiệt mô tả quá trình dẫn nhiệt bên trong khối vật liệu được biểu diễn như sau [56]:
∂t ∂τ = α ( ∂2t ∂r2+1 r ∂t ∂r) (3.61) Trong đó: t : Nhiệt độ, [oC] 𝜏 : Thời gian, [s] α : Hệ số khuếch tán nhiệt, [m2/s] r : Bán kính tình từ nguồn, [m]
Điều kiện biên loại 2 tại bề mặt của nguồn nhiệt:
−𝜆𝜕𝑡 𝜕𝑟|𝑟=𝑅 = 𝑞𝐹 (3.62) Trong đó: 𝜆: Hệ số dẫn nhiệt, [W/mK] qF: Mật độ dòng nhiệt, [W/m2]
Điều kiện ban đầu của quá trình dẫn nhiệt:
𝑡(𝑟, 𝜏 = 0) = 𝑡0 (3.63)
Đặt 𝜃 = 𝑡 − 𝑡0 là nhiệt độ thừa bên trong vật so với nhiệt độ ban đầu 𝑡0.
Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace đưa bài toán vi phân đạo hàm riêng về bài toán vi phân đạo hàm thường trong miền ảnh. Sau khi giải bài toán vi phân đạo hàm thường trên miền ảnh, nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm thường sẽ được chuyển về không gian thực bằng phép biến đổi Laplace ngược. Lời giải chi tiết của bài toán có thể được tìm thấy trong tài liệu [56]. Ta sẽ đưa ra và sử dụng nghiệm của bài toán trong không gian thực.
𝜃 = 𝑞𝑙 4𝜋𝜆[𝑙𝑛 ( 4α𝜏 𝛾𝑟2) + 1 1.1!( 𝑟2 4α𝜏) − 1 2.2!( 𝑟2 4α𝜏) + ⋯ ] (3.64) Trong đó: 𝛾 = 1.78107và ln(𝛾) = 0.5772 - hằng số Euler
92
𝑞𝑙 = 2𝜋𝑅𝑞𝐹 - mật độ dòng nhiệt trên một đơn vị chiều dài que đo do dòng điện sinh ra, [W/m]
Khi 𝑟
2
4α𝜏 rất nhỏ, nghiệm của bài toán hoàn toàn có thể bỏ qua các số hạng sau
của chuỗi (3.6) mà không mắc phải sai số đáng kể, khi đó:
𝜃 = 𝑞𝑙 4𝜋𝜆𝑙𝑛 (
4α𝜏
𝛾𝑟2) (3.65)
Biến thiên nhiệt độ đã đo được của que thăm tại 2 thời điểm 𝜏1và 𝜏2 ở vị trí có bán kính r, hiệu của nhiệt độ tại hai thời điểm này được xác định theo công thức:
∆𝑡 = 𝑡2− 𝑡1 = 𝜃2− 𝜃1 = 𝑞𝑙 4𝜋𝜆𝑙𝑛 (
𝜏2 𝜏1)
(3.66) Như vậy, hệ số dẫn nhiệt có thể được xác định trực tiếp qua công thức:
𝜆 = 𝑞𝑙
4𝜋(𝑡2− 𝑡1)𝑙𝑛 ( 𝜏2 𝜏1)
(3.67) Phương trình (3.67) này chính là cơ sở để xác định hệ số dẫn nhiệt 𝜆 theo phương pháp nguồn đường – “que thăm”. Phương trình này cũng được các tác giả Caslaw và Jaeger [80], VanRooyen và Winterkorn [81], Van Herzen và Maxwell [82] , đưa ra trong nghiên cứu của mình. Đây cũng là cơ sở của tiêu chuẩn ASTM D5334 của Mỹ. Về mặt cấu tạo, các loại que thăm tương đối giống nhau: trong một ống bảo vệ bằng kim loại, thủy tinh, gốm hoặc chất dẻo có đặt dọc trục một điện trở đốt nóng và các đầu cảm đo nhiệt độ Hình 3.22. Không gian giữa các loại giây và vỏ bảo vệ được điền đầy bằng chất cách điện, cách nhiệt thích hợp. Chiều dài của que thăm dao động trong khoảng 100mm đến 1500mm, còn đường kính trong khoảng 0,75mm đến 29mm [50]
.
(a) (b)
Hình 3.22 Que thăm ống thủy tinh acryl của Wagner (a) và que thăm ceramic của
Schneider (b) [50]
Trong phương pháp xác định hệ số dẫn nhiệt que thăm, que thăm được cắm ngập vào khối vật liệu cần đo. Nhiệt lượng do dòng điện đi qua dây nung Ni-Cr sinh ra truyền vào vật liệu nhanh hay chậm phụ thuộc vào tính chất dẫn nhiệt của vật liệu. Trong quá trình đo thu được biến thiên nhiệt độ 𝑡 theo thời gian 𝜏 của que thăm. Trong quá trình tính toán, xử lý số liệu để tìm ra hệ số dẫn nhiệt việc áp dụng trực tiếp phương trình (3.67) gặp khó khăn trong việc lựa chọn vùng xử lý số liệu. Theo
93
tiêu chuẩn ASTM D5334-00 tác giả lựa chọn vùng xử lý là vùng có trạng thái ổn định, tại đó đường biến thiên nhiệt độ theo thời gian gần như là một đường thẳng
Hình 3.23 (a). Trong thực tế đo đạc rất khó để quan sát và tìm được ra vùng này. Để
giải quyết vấn đề này, thay vì biểu diễn nhiệt độ t = t() ta sẽ biển diễn nhiệt độ t = t(ln()) Hình 3.23 (b).
(a) (b)
Hình 3.23 Vùng xử lí số liệu theo tiêu chuẩn ASTM D5334-00 [83]
Dữ liệu này được tuyến tính hóa thành một đường thẳng có dạng đa thức ∆𝑡
=f(𝑙𝑛(𝜏)) bằng phương pháp bình phương tối thiểu. Độ dốc C1 của đường thẳng đó:
C1 = 𝑡2− 𝑡1 ln (𝜏𝜏2
1)
(3.68) Hệ số dẫn nhiệt được suy ra từ (3.67) và (3.68):
𝜆 = 𝑞𝑙 4𝜋C1
(3.69) Trong đó: 𝑞𝑙: Mật độ dòng nhiệt theo chiều dài 𝑙 que thăm
𝑞𝑙 =𝑄
𝑙 =
𝐼2𝑅 𝑙
(3.70)