Mô hình MARINE mô phỏng dòng chảy trên sườn dốc dựa trên phương trình xấp xỉ sóng động học và tính thấm bằng phương pháp Green - Ampt trên các ô lưới (pixel vuông) Mỗi ô lưới có khả năng trao đổi nước qua 4 ô lưới xung quanh, hướng dòng chảy là hướng có độ dốc lớn nhất; các ô lưới được liên kết lại với nhau để tính toán trao đổi nước và tập trung dòng chảy trên các ô sườn dốc đến các ô sông Các số liệu đầu vào cần thiết cho mô hình MARINE để tính toán dòng chảy sườn dốc từ mưa gồm có:
- Bản đồ mô hình số độ cao (DEM): được sử dụng để tính độ dốc - Bản đồ thành phần đất (thông số địa chất và thổ nhưỡng) và độ cao mực nước ngầm (tính toán độ sâu và khả năng thấm tối đa của đất)
- Bản đồ sử dụng đất và thảm phủ thực vật : được sử dụng để xác định hệ số nhám, tính tốc độ dòng chảy mặt
- Mưa phân bố không gian các thời đoạn - Bản đồ độ ẩm của đất trên lưu vực sông
Phương trình mô phỏng dòng chảy trên sườn dốc trong mô hình
MARINE xuất phát từ hệ phương trình Saint - Venant Mô hình MARINE sử dụng hệ phương trình sau [116]:
- Phương trình liên tục ở trạng thái không ổn định được biểu thị cục bộ:
𝜕ℎ
�� + ��ℎ
�� = � − � (2 1 1)
Trong đó: h là độ cao của mặt nước (m), t là thời gian (s), u là tốc độ dòng chảy mặt (m/s), x là biến không gian (m), P thể hiện cường độ của mưa (m/s) và I là tốc độ thấm (m/s) - Phương trình động lượng: 1 �� �𝜕� + 1 � ��� �2 �� (� ) + ��� − �(�� − �� ) = 0 (2 1 2) Trong phương trình động lượng chỉ giữ lại thành phần độ dốc của đường năng lượng và độ dốc cục bộ của đất được phương trình động lượng cho sóng động học như sau:
S0 = Sf (2 1 3) Phương trình động lượng của sóng động học được rút gọn thành chế độ đồng nhất, thu được phương trình xấp xỉ sóng động học:
� = � ℎ�−1 (2 1 4)
Trong đó: a và m là các hệ số
Khi dòng chảy này diễn ra dọc theo các rãnh, ở mức nước lớn hơn nó trở nên hỗn loạn hoàn toàn Tốc độ có thể được biểu thị bằng công thức của
Manning (Carlier, 1986) bằng cách lấy h là giá trị của bán kính thủy lực:
� = 1/2
� ℎ2/3 (2 1 5)
Trong đó: n là hệ số Manning và S0 là độ dốc (m/m)
Thay phương trình động lượng vào phương trình liên tục (2 1 1), thu được phương trình như sau:
ℎ
�
�� + 1/2
� 3 �� = � − � (2 1 6)
Đối với mỗi phần tử của lưới có cấu trúc MARINE, bốn hướng tiềm năng của dòng chảy được xem xét (các hướng chính) và hướng duy nhất được sử dụng là hướng có độ dốc lớn nhất Đường trượt nước được giả định là phân bố đồng đều trên toàn bộ bề mặt của pixel vuông được xem xét Các phương trình bảo toàn được giải bằng phương pháp thể tích hữu hạn Phương trình liên tục (2 1 1) có thể được viết trên bề mặt điều khiển Ωk được giới hạn bởi Γk như sau [116]:
∫Ω ℎ
�
�� �Ω� + ∫Ω����(�ℎ) �Ω� = ∫Ω�(� − �) �Ω� (2 1 7)
Biến đổi phương trình (2 1 7) theo định lý Ostrogradsky, số hạng thứ hai biến thành tích phân đường bao Γk:
∫Ω � ℎ��� �Ω� + ∫Γ�����ℎ��Γ� = ∫Ω�(�� − �� ) �Ω� (2 1 8)
Trong đó: dk là hướng của độ dốc lớn nhất và biến số hk không đổi trên Ωk Áp dụng sơ đồ sai phân hiện Euler theo không gian và thời gian:
ℎ
�� +Δ �− ℎ ��
Δ� + � ��ℎ ��
Δ� = ��� − ��� (2 1 9)
Trong đó: t đại diện cho thời gian và ∆t là bước thời gian Phương trình xấp xỉ sóng động học được viết như sau:
��� = 1/2
� (ℎ�� )2/3 (2 1 10)
��
�� 5 �ℎ
Cuối cùng, chiều cao lớp nước trên mỗi pixel được tính theo phương trình sau:
ℎ��+Δ� = ℎ�� + Δ�(��� − ��� ) − 1/2
Δ��� (ℎ�� )5/3 (2 1 11) Sơ đồ trên được thực hiện khá dễ dàng và tính toán nhanh; tuy nhiên, bước thời gian tính toán phải thấp để đảm bảo tính ổn định của dòng chảy Có thể ước tính bước thời gian này nhờ vào điều kiện ổn định của Courant,
Friedrichs, Lewy (CFL) Bản đồ DEM Bản đồ Độ dốc Bản đồ Thảm phủ Bản đồ Hệ số nhám Bản đồ Thổ nhưỡng Bản đồ Thấm Bản đồ H ngầm Bản đồ Mưa (Đa giác) Lưu lượng cộng
dồn các đoạn 1 Lưu lượng ô lưới
sông chính
Hình 2 1 Sơ đồ tổng quát của mô hình MARINE [3]
2 1 2 Phương pháp tính thấm trong mô hình MARINE
Phương trình của Green và Ampt (1911) dựa trên phương trình của Darcy (1856) liên hệ tốc độ của dòng chảy I (m/s) với gradient thủy lực dh/dz thông qua độ dẫn thủy lực K (m/s), có dạng như sau [116]:
� = � �ℎ
�� (2 1 12)
Định luật Darcy được sử dụng cho các điều kiện dòng chảy tầng trong môi trường đồng nhất, đẳng hướng và liên tục, chất lỏng không tương tác với môi trường Độ dẫn thủy lực K là đặc trưng của điều kiện dòng chảy trong một môi trường xốp nhất định đối với một chất lỏng nhất định
Sơ đồ tính thấm được
Green và Ampt (1911) đề xuất Lớp nước H
bằng việc tích hợp mặt trước thấm ướt theo phương ngang và hướng dốc, ngăn cách đất không bão hòa với đất bão hòa Nước có áp suất thấp hơn áp suất khí
Lớp đất bão hòa ẩm (θ = θs)
Lớp đất ứng với điều kiện ban đầu
(θ = θt)
Zt
Z
quyển, bị mao dẫn Sf hút vào môi
trường xốp (Hình 2 2) [116] Hình 2 2 Sơ đồ thấm Green Ampt [116] Theo sơ đồ này, phương trình (2 1 12) trở thành:
� = � ℎ � − ℎ 0
��−�0 = � � � + � �
�� (2 1 13)
Trong đó: Hf là cột nước từ ranh giới ẩm và h0 là cột nước bề mặt (h0 = 0, có nghĩa là không có nước bề mặt), Sf là cột nước mao dẫn
Độ sâu đến ranh giới ẩm có liên quan đến độ sâu tích lũy của nước thấm (F), được thể hiện bằng quan hệ như sau:
F = Zt(θs - θi) (2 1 14)
Trong đó: F là độ sâu tích lũy của nước thấm (m), θs là độ ẩm hoặc độ xốp bão hòa của đất (%) và θi là độ ẩm ban đầu của đất (%)
Bằng cách kết hợp các phương trình (2 1 13) và (2 1 14), Mein và Larson (1973) đề xuất công thức tính tốc độ thấm I(t) như sau:
�(�) = �� ( � ��) ={ � −𝜕
�
�(�)
�ℎ�� ≤ ��
�ℎ�� > �� (2 1 15) Trong đó: P là cường độ của mưa (m/s), tp là thời gian điền trũng (để hình thành vũng nước trên bề mặt đất)
Tốc độ thấm I trên thực tế bằng cường độ mưa P nhưng về sau nhỏ hơn tốc độ thấm tiềm năng I(t) Khi cường độ mưa lớn hơn tốc độ thấm, đất trở nên bão hòa và tại một thời điểm (t) hình thành lớp nước không đáng kể (Gourley và Vieux, 2006) Phương trình (2 1 15) không thể hiện rõ ràng một biến số thời
gian được ẩn trong biểu thức độ sâu tích lũy của nước thấm (F) Mặt khác: ∆θ = θs - θi và sau khi tích phân thì lượng thấm tích lũy (F) được tính khi t > tp:
�(�) = �� + �� ∆� �� (1 + �(�)
�� ∆� ) (2 1 16)
Để tính toán tp, Mein và Larson (1973) đề xuất công thức sau:
1
�
�� ∆�+�
�� ∆�+�� )] (2 1 17) Trong đó: Fp là tổng lượng nước thấm vào thời điểm hình thành lớp nước mặt Đại lượng này nhận được với t = tp và P > K, được biểu thị như sau:
�� = � �� − � ∆ �� (2 1 18) �� = � �� (2 1 19) Trong trường hợp t > tp, sử dụng sơ đồ sai phân hiện cho phương trình (2 1 16) để tính lượng thấm tích lũy tại bước thời gian t + ∆t theo bước thời gian trước đó (thời điểm t) :
��+∆� − �� − �� ∆� �� ( � � ∆ �+ � � +∆ �
�� ∆�+�� ) = � ∆� (2 1 20)
Đối với một trận mưa nhất định, tính toán tổn thất bằng quá trình thấm trên lưới được tích hợp với dòng chảy sườn dốc và biến đổi theo thời gian Tính toán thấm ở bước thời gian trước được giải bằng phương pháp Newton và không phụ thuộc vào chế độ thấm