Một số kiến thức cơ bản về đại số gia tử

4. Ý nghĩa khoa học, ý nghĩa thực tiễn của đề tài

2.3.1. Một số kiến thức cơ bản về đại số gia tử

Giả sử ta cso một tập giá trị ngôn ngữ là miền ngôn ngữ của biến ngôn ngữ nhiệt độ (TEMPERATURE) gồm các từ sau: X = dom (TEMPERATURE) = {Very Very low < More Very low < Very low < Rahter Very Low < Little Verry Low <Verry More Low < More More Low < More Low < Rather More Low < Little More Low < Low < …< Medium < Very Little High < More Little High < … < High < Very High < Very Very High….}. Các giá trị ngôn ngữ này được sử dụng trong các bài toán suy luận xấp xỉ dựa trên tri thức bằng luật ngôn ngữ, Một vấn đề đặt ra là cần có một cấu trúc mạnh và chặt chẽ dựa trên tính thứ tự vốn có của giá trị ngôn ngữ trong miền của biến ngôn ngữ. Từ đó, có thể tính toán được ngữ nghĩa trên giá trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ trong các bài toán suy luận xấp xỉ.

Định nghĩa 1.1 [30]:Đại số gia tử của biến ngôn ngữ 𝒳 là một bộ phận 5 thành phần 𝒜𝒳 = (X, G, C, H, ). Trong đó X là tập các hạng từ trong 𝒳;

  

 ,

G c c , c c, được gọi là các phần tử sinh, C ={0,W,1} là tập các hằng,

với 0 cW c 1, để chỉ các phần tử có ngữ nghĩa nhỏ nhất, phần tử trung

hòa và phần tử có ngữ nghĩa lớn nhất; Tập các gia tử H HHH, với

{h : 1j }

H     j q là tập các gia tử âm, H {hj :1 j p} là các gia tử

dương.

- Tập các hạng có mối quan hệ thứ tự trong X = dom (𝒳) = {Very Very low < More Very low < Very low < Rahter Very Low < Little Verry Low <Verry More Low < More More Low < More Low < Rather More Low < Little More Low < Low < …< Medium < Very Little High < More Little High < … < High < Very High < Very Very High <….}.

- Tập các phần tử sinh G = {low,high}, low high.

- Phần tử trung hòa W C = medium.

- Tập các gia tử H HH {rather Little, } { or , er }, M e V ry q p 2 Có thể thấu rằng tâp X bao gồm các hạng ngôn ngữ có thứ tự của biến ngôn ngữ 𝒳 được sinh ra bởi tác động của các gia tử (toán tử một ngôi) h H

lên các phần tử sinh cG, ký hiệu H(G) và các phần tử trong C.X =H(G) C.

Ta nhận thấy các thành phần trong 𝒜𝒳 có một số tính chất sau:

- Hai phần tử sinh có ngữ nghĩa mang tính đối lập, một phần tử mang tính “âm”, có xu hướng “đi xuống” và một phần tử mang tính “dương” có xu hướng “đi lên”. Và bản thân chúng cũng có mối quan hệ thứ tự c c. Ví dụ:

low < high.

- Mỗi gia tử hH khi tác động và một phần tử xX sẽ có xu hướng làm tăng hoặc giảm ngữ nghĩa của x. Tức là hx  x hoặc hx x

- Đặc biệt, nếu  hH, hx =x thì x là phần tử cố định. Đó chính là các phần tử thuộc tập C ={0,W,1}. Ta có H(x) = {x xC}.

- Mỗi gia tử cũng có tính dấu. Tập các gia tử H được phân hoạch H và

H. Các gia tử trong H có tác dụng làm giảm ngữ nghĩa của một phần tử trong X, gọi là các gia tử âm. Ngược lại, các gia tử trong Hlại làm tăng ngữ nghĩa của một phần tử trong X, gọi là các gia tử dương.

kx x  h Hthì hc c ,hc c;  h H thì hc c,hcc. - Hai gia tử được gọi là ngược nhau nếu một gia tử làm tăng ngữ nghĩa của một phần tử xX thì gia tử kia lại làm giảm ngữ nghĩa của phần tử đó

,

h kH, được .gọi là ngược nhau nếu hxx (hoặchxx ) thì kxx (hoặc

kxx ). Ta thấy rằng gia tử trong H đều ngược với các gia tử trong H . Trong ví dụ trên thì More ngược với Rather, Little.

- Hai gia tử được gọi là tương thích nhau nếu chúng cùng làm tăng hoặc cùng làm giảm ngữ nghĩa của một phần tử xX.h k, Hđược gọi là tương thích nhau nếuhxx (hoặchxx ) thì kxx (hoặckxx ). Ta thấy rằng các gia tử trong Hlà tương thích nhau và tương tự với các gia tử trong tập H. Trong ví dụ tương thích Very và Rather tương thích với Little

- Các gia tử tương thích nhau thì có thể sánh được với nhau:

,

h kH,h k nếu hc kc(hoặc hc kc ).

,

h kH ,h k nếu hc kc (hoặchckc ).

Mỗi gia tử đều có tác động làm tăng hoặc giảm mức độ tác động đối với mỗi một gia tử khác và với chính nó. Khi đó, ta có khái niệm chiều tác động (hay dấu) của các gia tử với nhau, h k, H , xX , h được gọi là dương đối với k nếu hkxkxx (hoặc xkxhkx), h được gọi là âm đối với k nếu kxhkxx

(hoặc xhkxkx).

Tứ tính chấy làm tăng hoặc giảm mức độ tác động của một gia tử đối với gia tử khác hay với chính nó, đó chính là tính dương hoặc âm của các gia tử với nhau, ta có định nghĩa về hàm dấu một cách đệ quy như sau:

Với h k, H,cG ,xX : 1. sng c(   ) 1và sng c( ) 1

2. sgn hc( ) sgn c( ) hH |sgn h( ) 1và hH |sgn h( ) 1

3. sgn hc( ) sgn c( ) nếu hc c hoặc sgn hc( ) sgn c( ) nếu hc c

và sgn hc( ) sgn c( ) nếu hc c hoặc sgn hc( ) sgn c( ) nếu hc c

.Hay sgn hc( )sgn h sgn c( ) ( ).

4. sgn khx( ) sgn hx( ) nếu k là dương đối với h sgn k h( ( , ) 1 và sgn khx( ) sgn hx( ) nếu k là âm đối với h sgn k h( ( , )) 1 5.h sgn k h( ( , ))0 nếu khxhx Một cách tổng quát ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1 [30]: Với xX x, h hn n1...h c h1 , jH c, G. Khi đó: 1 2 1 1 ( ) ( n, n )... ( , ) ( ) ( ) sgn x sgn h h  sgn h h sgn h sgn c (1.2) (sgn hx( )  1) (hx x) và (sgn hx( )  1) (hx x)

Hàm dấu sng được sử dụng để xác định được chiều tác động là tăng hay giảm giá trị ngữ nghĩa của một gia tử lên một giá trị ngôn ngữ.

Với mỗi phần tửxX, ký hiệu H(x) là tập tất cả các phần tửuX được sinh ra từ x bằng cách tác động bởi các gia tử hjH khi đó biểu diễn của u sẽ có dạnguh hn n1...h x1

  ( ) ( ) H x U uH hx H x( )U u H hx( ) , Có thể thấy rằng với x y, X x, y thì: ( ), ( ) ( ) ( ) xH y H x  y H x H y xH y H x( ), ( ) y H x( )H y( )

Mệnh đề 1.2 [30]: Cho đại số gia tử 𝒜𝒳 = (X, G, C, H, ) với H,H là các tập các gia tử được sắp thứ tự tuyến tính. Khi đó ta có các khẳng định sau:

1.Với mỗi xX thì H(x)là tập sắp thứ tự tuyến tính.

2. Nếu X được sinh ra từ G và G là tập được sắp thứ tự tuyến tính thì X

cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính.

3. NếuxX là phần tử cố định đối vớixX , tứ là hxxthì nó sẽ là phần tử cố định đối vớihH  k H k, h hx( kx)

Dựa trên các tính chất của ĐSGT, chúng ta xây dựng các hàm trên ĐSGT 𝒜𝒳 = (X, G, C, H, ). Trong đó các tập: { , } G c c  với c c; C ={0,W,1} với 0  c W c  1; 1 2 , {h , ,..., q} H HH H   h h với h1h2  ... hq , 2 1 { , ,..., p} H  h h h với 2 1 ... p, ( ) , h   h h X H G C xX . Độ đo tính mờ.

Có thể thấy rằng khái niệm “mờ” của thông tin ngôn ngữ là rất quan trọng trong công việc tính toán giá trị ngữ nghĩa của từ ngữ [30],[31]. Ngữ nghĩa của giá trị ngôn ngữ trong 𝒜𝒳 được xây dựng từ

 1 1   

( ) n n ... , j ,

H x  x h h h c h H c G c x là tập các giá trị ngôn ngữ, hay còn

Chúng ta nhận thấy rằng giá trị ngôn ngữ nào có mức độ xác định càng cao thì độ mờ càng nhỏ, hay tính rõ ràng càng cao. Ví dụ, một khái niệm “trẻ” cho ta cảm nhận rằng độ tuổi nằm trong phạm vi từ 1 đến 30 tuổi. Nhưng khái niệm “rất trẻ” sẽ cho ta cảm nhận độ tuổi trong phạm vi hẹp từ 1 đến 15 tuổi. Như vậy khái niệm “rất trẻ” với miền giá trị là lớn hơn.

Vì vậy, kích thước của tập H(x) có thể biểu diễn cho độ tính mờ (fm(x)) của khái niệm xX chính bằng “bán kính” của H(x) và có thể được tính toán một cách đệ quy từ độ đo tính mờ của các phần tử sinh fm c( ), fm c( ) và độ đo tính mờ của các gia tử ( ),h hH . Chúng được gọi là các tham số mờ của X.

Với mỗi xX thì độ đo tính mờ của nó (ký hiệu là fm(x)) luôn thuộc đoạn [0,1]. Một cách trực giác có thể thấy rằng:

1. Fm(x)=0 nếu x là giá trị rõ. Ví dụ như trong các phần tử C.

2. Với hH, x là khái niệm mờ thì hx đặc trưng hơn x nên

fm(hx)fm(x).

3. Xét tập G  C = { c+, c-,0,W,1} là tập có thứ tự 0  c W c  1, hai phần tử c c,  là các khái niệm trái ngược nhau về ngữ nghĩa nên có thể chấp nhận rằng fm c( ) fm c( ) 1 . Nếu fm c( ) fm c( ) 1 thì phần tử trung hòa

W phải có độ mờ fm(W) ≠ 0. Trong luận văn này, các ĐSGT được sử dụng để giải quyết bài toán đều giả thiết rằng phần tử W nlaf giá trị rõ, fm(W)=0. Vậy thì fm c( ) fm c( ) 1 .

Hình 2.4. Độ đo tính mờ của các phần tử sinh

4. Xét tậpH HH {Rather R Little L( ), ( )} { or ( M e M Very V), ( )} . Các phần tử trong H(low) đều đặc trưng hơn low nên đo độ tính mờ của low lớn hơn độ đo tính mờ của mọi phần tử trong H(low). Các phần tử trong H(low) đều kế thừa ngữ nghĩa của low nên đều mang đặc trưng của low. Vì vậy, độ đo tính mờ của low

chính bằng tổng độ đo tính mờ của các phần tử trong H(low).

( ow) ( ) ( ) ( ) ( )

fm l  fm Vlow  fm Mlow  fm Rlow  fm Llow Tổng quát, với xX thì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))

fm x  fm Vx  fm Mx  fm Rx  fm Lx  fm H x (1.3)

Với mối quan hệ dấu của các gai tử đã được xác định, ta có sự sắp xếp độ đo tính mờ của một số hạng từ ngôn ngữ như hình 1.6

Hình 2.5. Độ đi tính mờ của một số hạng từ ngữ

Từ những tính chất được phân tích ở trên, độ đo tính mờ của xX , ký hiệu là fm(x) được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.3 [30]: Cho đại số gia tử 𝒜𝒳 = (X, G, C, H, ), X=H(C). Hàm

: [0,1]

1.fm c( ) fm c( ) 1 fm c( )  fm c( ) 1  và ( ) ( ) h H fm hx  fm x  với x X (1.4) 2.fm x( )0 fm x( )0 với x  ,H x( ) x H x( ) x , fm(0) fm(W) fm(1) 0 (1.5) 3. , , , ( ) ( ) ( ) ( ) fm hx fm hy x y X h H fm x fm y

    , tỷ lệ này không phụ thuộc vào x,y và nó đặc

trưng cho độ đo tính mờ của gia tử h, kí hiệu (h).

Điều kiện 1) có nghĩa là các phần tử sinh và các phần tử là đủ để mô hình hóa ngữ nghĩa của miền giá trị thực của các biến vật lý. Tập gia tử H và G đủ để phủ toàn bộ miền giá trị của biến ngôn ngữ. Về trực giác, các điều kiện 2) và 3) thể hiện sự tác động của các gia tử hH vào các khái niệm mờ là như nhau. Ta có tính chất của fm x( ) và (h) là như sau:

Mệnh đề 1.3: Cho fm là hàm độ đo tính mờ trên X . Với xX x, h hn n1...h c h1 , jH c, G . Ta có: 1. fm hx( )( )h fm x( ) (1.6) 2. , 0 ( i ) ( ) q i p i fm h c fm c       (1.7) 3.   q i p i,0 fm h x( i ) fm x( ) , 0 ( i ) ( ) q i p i fm h x fm x       (1.8) 4. fm x( ) fm h h( n n1...h c1 )( ) (hn  hn1)... ( ) h fm c1 ( ) (1.9) 5. 1 ( ) q i i  h      và 1 ( ) p i i  h   với  , 0và  1 (1.10)

Ánh xạ ngữ nghĩa định lượng

Khi xây dựng mô hình mờ và giải quyết các bài toán suy luận mờ theo cơ chế suy luận của con người trên máy tính thì một yêu cầu cần thiết đó là định lượng giá trị ngữ nghĩa ra giá trị thực của các giá trị ngôn ngữ. Đối với ĐSGT, vì các giá trị ngôn ngữ luôn đảm bảo được sắp xếp có thứ tự theo ngữ nghĩa nên chúng ta xây dựng hàm ngữ nghĩa định lượng ra giá trị thực trên mien [0,1] đảm bảo thứ tự này

Với bộ tham số mờ xác định, giá trị ngữ nghĩa định lượng được xác định bởi hàm ánh xạ ngữ nghĩa định lượng (SQM – Semantically Quanyifying Mapping) một cách đệ quy như sau:

Định nghĩa 1.4 [30]: Hàm ánh xạ ngữ nghĩa định lượng : X [0,1] 1.(W)  fm c( ) (1.11) 2.( )c   fm c( ) fm c( ) (1.12) 3.( )c   fm c( ) 1  fm c( ) (1.13) 4. (h xj )( )x sgn h x( j ){[ijsgn( )j fm h x( i )])(h x fm h xj ) ( j )} Với ( ) 1[1 ( , )( )], [ ^ ] [ , ] \ {0} 2 j p j h x sgn h h j q p q p          (1.14) Hình 2.7. Hàm ánh xạ ngữ nghĩa định lượng

Giả sử với sgn h x( j ) 1 và sgn h x( j ) 1 , theo hàm ánh xạ ngữ nghĩa định lượng trên ta xác định được (hjx) như hình 2.7

Hàm ánh xạ ngự nghĩa định lượng (SQMs) có thể ánh xạ một cách trực tiếp từ giá trị ngôn ngữ vào giá trị định lượng của nó. Vì vậy, dựa trên SQMs, có thể mô phỏng phương pháp suy luận xấp xỉ của con người mà luôn đảm bảo thứ tự ngữ nghĩa của ngôn ngữ . Đó chính là cơ sở để xây dưng một phương pháp thiết kế bộ điều khiển HA (Hedge Algebras), ứng dụng trong lĩnh vực điều khiển [34] – [36], [40] – [42], [50].