2 Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không
2.4 Quỹ tích I,K,H
Dễ chứng minh được tứ giác MNPQ là hình thang vuông. Đặc biệt khi Q trùng với trung điểm Q1 của SA thì tứ giác là hình chữ nhật. a. Quỹ tích I = MP∩NQ.
Phần thuận. Vì I ∈ MP nên I nằm trên mặt phẳng (SBD) cố định.
Lại có I ∈ NQ nên I nằm trên mặt phẳng (SAC) cố định. Vậy I nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng này. Gọi O1 là tâm của đáy, dễ thấy giao của hai mặt phẳng là SO1.
Phần đảo. Xét tam giác SAC. Khi Q−→ S thì I −→ S, khi Q −→ A thì I −→ I1, giao của AN và SO1. Dễ thấy I1 là trọng tâm ∆SAC. Những điểm nằm ngoài đoạn thẳng SI1 không thỏa mãn đề bài. Lấy bất kỳ I∈ SI1, Dễ thấy NI cắt SA ở Q và MI cắt SD ở P, I = MP∩NQ.
Vậy quỹ tích của I là đoạn SI1. b. Quỹ tích K = MQ ∩NP.
Phần thuận. Do MQ nằm trong mặt phẳng (SAB), NP nằm trong mặt
phẳng (SCD) nên giao điểm K của chúng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng này. Vì ABkCD nên giao tuyến là đường thẳng qua z’Sz, song song với AB.
Phần đảo. Trong mặt phẳng (SAB) với mỗi vị trí của Q trong đoạn SA,
điểm K là giao của MQ và z’Sz. Do đó khi Q chuyển động trong đoạn SQ1 (với MQ1 k Sz, Q1 ∈ SA) thì K chạy trên tia Sz. Khi Q chuyển động trên đoạn AQ1 thì K chạy trên tia S1z0, trong đó, S1 = AM∩z0Sz. Mọi điểm K trên khoảng (SS1) đều bị loại vì khi đó KM không cắt đoạn SA. Lấy K thuộc Sz hoặc S1z0. Nối MK nó cắt SA ở Q, sau đó làm như phần thuận khi tìm quỹ tích của I.
Vậy quỹ tích cần tìm là hai tia Sx và S1x0 (kể cả gốc S,S1). c. Quỹ tích H, hình chiếu của S trên (MNQ):
Phần thuận.Trong mặt phẳng (SAB) dựng SH⊥MQ (H thuộc MQ).Theo
chứng minh trên, MN ⊥ (SAB) nên MN ⊥ SH. Do SH ⊥ MQ và
SH⊥ MN nên SH⊥ (MNQ). Vậy H chính là hình chiếu của S trên mặt
phẳng (MNQ). Do đó H luôn nằm trong mặt phẳng (SAB). Trong mặt phẳng này gócSHM = 90[ 0 nên H thuộc đường tròn (c) đường kính SM.
Phần đảo. Vì Q chỉ chạy trên SA nên H là giao điểm của MQ với đường
tròn (c) chỉ chạy trên cung SH1 (thuộc đường tròn (c)), trong đó H1 là giao thứ hai của AM với (c). Mọi điểm ở ngoài cung SH1 đều bị loại. Lấy bất kỳ H trên cung SH1. Đường thẳng MH cắt SA ở Q. Dựng thiết diện MNPQ. Dễ thấy H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (MNQ).
Quỹ tích các điểm H là cung SH1 ⊂(c) nằm trong mặt phẳng (SAB).
Nhận xét 2.2. Câu b. không khó phát hiện ra quỹ tích tuy nhiên nếu
không lưu ý sẽ bị sai lầm là lấy cả phần thừa của quỹ tích.
Sau đây ta xét hai bài toán hay gặp liên quan đến hình chiếu (vuông góc) của một điểm mà nội dung cũng là áp dụng phương pháp quỹ tích
phẳng. Ta gọi là bài toán A: "Quỹ tích hình chiếu của điểm lên đường thẳng" và bài toán B: "Quỹ tích hình chiếu của điểm lên mặt phẳng".
2.2.2 Quỹ tích hình chiếu của điểm lên đường thẳng
Bài toán A. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc M của điểm cố định
A trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng P cố định và luôn đi qua điểm O cố định.
Ta thực hiên giải bài toán này theo các bước sau:
B1. Dựng AH ⊥ P (H ∈ P) theo định lý ba đường vuông góc ta có:
HM ⊥ d.
B2. Trong mặt phẳng P có HMO = 90\ 0 nên H thuộc đường tròn đường kính OH trong mặt phẳng P.
Ví dụ 2.5. Cho hình vuông ABCD tâm O. S∈ Ax ⊥(ABCD).
a. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc H của O lên đường thẳng SB.
b. Tìm quỹ tích chân đường cao vẽ từ đỉnh D trong tam giác SDC.
Lời giải.