2 Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không
2.21 Quỹ tích trọng tâm tam giác
Đặt −→
ON = ~e = const. Gọi I là tâm mặt cầu thay đổi và ~u = −→
OI. Từ 3 véc tơ −→
OA,−→
OB,−→
OC ta dựng hình hộp với OX là một đường chéo. Ta luôn có các số x, y, z ∈ R sao cho −→
OA = x~a,−→
OB = y~b,−→
OC = z~c
và −→
OX = x~a+y~b+z~c hay X=(x, y, z).
Trước hết ta tìm quỹ tích của X(x,y,z). Các điểm O,N,A,B,C thuộc mặt cầu tâm I nghĩa là −→
OI −−IN =→ −→
NI =⇒ (~u −~e)2 = ~u2. Tương tự, (x~a−~u)2 = (y~b−~u)2 = (z~c−~u)2 = ~u2. Từ đó ta nhận được
~e2 −2~e~u = 0
x−2~a~u = 0
y −2~b~u = 0
z −2~c~u = 0
khi nhân ba đẳng thức cuối lần lượt với α, β, γ ~e2 −2~e~u = 0
αx−2α~a~u = 0
βy −2β~b~u = 0
γz −2γ~c~u = 0.
Trừ đẳng thức đầu vào các đẳng thức tiếp theo ta thu được:
~e2 −αx−βy −γz+ 2(α~a+β~b+γ~c)~u−2~e~u = 0.
Suy ra: ~e2 = αx+βy + γz hay αx+ βy + γz −~e2 = 0. Ta thấy quỹ tích của X là mặt phẳng Q có phương trình vừa tìm được.
Vì M là trọng tâm tam giác nên −−→
OM = 1
3
−→
OX. Suy ra quỹ tích của M là mặt phẳng Q0 ảnh vị tự của mặt phẳng Q qua phép vị tự HO1
3
.
Ví dụ 2.28. ([8]) Một đường tròn di động có bán kính R không đổi luôn
tiếp xúc với các mặt của một góc tam diện vuông. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn.
Lời giải Lập hệ tọa độ vuông góc với các trục là cạnh góc tam diện và
gốc là đỉnh góc tam diện. Giả sử mặt phẳng đường tròn tạo với mỗi mặt phẳng tọa độ XOY, YOZ và ZOX các góc α, β, γ. Khi đó điểm I tâm của đường tròn sẽ có tọa độ (Rsinβ, Rsinγ, Rsinα). Từ gốc O dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đường tròn, đường thẳng này sẽ tạo với các trục các góc β, γ, α. Do đó, cos2α + cos2β + cos2γ = 1. Nghĩa là
OI2 = R2(sin2α + sin2β + sin2γ) = 2R2.
Như vậy, điểm I nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính R√
2. Mặt khác, khoảng cách từ I đến các mặt phẳng tọa độ không vượt quá R. Do đó tập hợp các điểm I cần tìm là tam giác cầu thuộc mặt cầu (O, R√
2) X ≤ R Y ≤ R Z ≤ R X2 + Y2 + Z2 ≤ 2R2
Các bài toán khác
Bài toán 2.1. Cho tứ diện SABC,Ilà trung điểm của AB,SI ⊥ (ABC).
M là một điểm di động trên SC. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của
S lên mặt phẳng (ABM).
HD. Dùng phương pháp quỹ tích phẳng. Quỹ tích hình chiếu H là nửa