2 Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không
2.8 Bài toán B: Quỹ tích hình chiế uN của A
AD ⊥SA,AD ⊥ AB =⇒ AD ⊥(SAB) =⇒ AD⊥ SB.
AD ⊥ SB,AE ⊥ SB =⇒ (ADE) ⊥ SB. Gọi N là hình chiếu của A lên
(SMB) thì AN ⊥(SMB) =⇒ AN ⊥SB =⇒AN ∈ (ADE).
Trong mặt phẳng (ADE) cố định, AN ⊥ SB =⇒ ANE = 90[ 0 nên N thuộc đường tròn (c0) đường kính AE.
Giới hạn.Dễ thấy N là giao điểm thứ hai của(c0) và EF (F = BM∩AD).
Ta suy ra: khi M tiến đến A thì F ≡ A,N ≡ A, khi M đến C thì F ra vô tận trên tia AD, N chạy đến E, khi M tiến đến C thì N ≡E. Vậy khi M di động trên đoạn AC thì N di động trên nửa đường tròn (c0), đường kính AE, nằm trong nửa mặt phẳng (ADE) chứa tia AD, có bờ là AE.
Phần đảo. Gọi N là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn (c0) nói trên. Ta
cần chứng minh tồn tại điểm M trên đoạn AC sao cho AN ⊥ (SMB). Thật vậy, khi N≡E thì M là C. Khi N 6= E thì EN cắt AD ở F, BF cắt đoạn AC tại M. Ta có AN ⊥ NE (do N ∈ (c0)), AN ⊥ SB(do
AN⊂ (ADE)), suy ra AN ⊥ (SMB).
Vậy quỹ tích các điểm N là nửa đường tròn (c0), đường kính AE, trong nửa mặt phẳng (ADE) chứa tia AD, có bờ là AE.
Ví dụ 2.9. Trên mặt phẳng (P) cho đường tròn γ tâm O. A là điểm cố
định trên γ và BC là một dây cung di động của γ luôn vuông góc với
OA. Trên đường thẳng d ⊥ (P) lấy một điểm S cố định, khác A. Tìm
quỹ tích hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBC).
Lời giải.
Phần thuận Gọi D là điểm đối xứng của A qua O và I là giao của AD với
BC, H là hình chiếu của A lên SI. Ta có:BC ⊥ AD,BC ⊥ SA =⇒ BC ⊥
(SAD) =⇒BC ⊥ AH và AH ⊥ BC,AH⊥ SI =⇒ AH⊥ (SBC) =⇒ H
là hình chiếu của A lên (SBC).
Trong mặt phẳng cố định (SAD), ASH = 90[ 0 suy ra H thuộc đường tròn (c) đường kính SA.
Giới hạn. BC di động nhưng luôn vuông góc với AD, I di động trên
đoạn AD, H là giao điểm thứ hai của SI và (c). Từ đó suy ra:
I ≡ A thì H ≡ A; khi I ≡ D thì H ≡ H0, H0 là giao điểm thứ hai của SD và (c); khi I di động trên đoạn AD thì H di động trên cung nhỏ AH0 của đường tròn (c).
Phần đảo. Lấy H là điểm tùy ý trên cung AH0, ta phải chứng minh tồn