Các bề mặt PDE đƣợc ứng dụng khá thành công cho việc phát triển các kỹ thuật liên quan đến việc thiết kế hình học thông qua sự hỗ trợ của máy tính.Nhờ vào tính linh hoạt mà các bề mặt PDE đƣợc xây dựng để giải quyết các vấn đề trong việc thiết kế hình học và thông thƣờng có thể xây dựng đƣợc nhiều giải pháp để giải quyết một vấn đề cụ thể.
Ứng dụng phƣơng trình elliptic cấp hai và cấp bốn tôi đã thiết kế một số bề mặt PDE cho các đối tƣợng hình học. Ngôn ngữ lập trình đƣợc sử dụng là phần mềm Matlab 7.9.0.
Hình 3.7. Giao diện chính
Hình 3.9. Giao diện mô phỏng đối tƣợng bằng phƣơng trình elliptic cấp bốn
Hình 3.10. Thông tin tác giả
3.4. TỔNG KẾT CHƢƠNG
Trong chƣơng này luận văn đã trình bày hai phƣơng trình đƣợc sử dụng trong thiết kế bề mặt PDE là phƣơng trình elliptic cấp hai và phƣơng trình elliptic cấp bốn, đặc biệt là ứng dụng hai phƣơng trình này để tạo ra các bề mặt PDE và ứng dụng các bề mặt PDE trong việc thiết kế các đối tƣợng hình học.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một số kiến thức cơ bản về thiết kế hình học và phƣơng trình đạo hàm riêng, tóm tắt các phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng trong thiết kế hình học nhƣ phƣơng pháp bề mặt PDE, phƣơng pháp Bloor – Wilson PDE, hiệu chỉnh phƣơng pháp Bloor – Wilson PDE; tìm hiểu phƣơng trình elliptic cấp hai và cấp bốn trong xây dựng bề mặt PDE và ứng dụng các phƣơng trình này để thiết kế một số đối tƣợng hình học trong thực tế.
Kết quả chính của luận văn gồm có:
- Luận văn đã đƣa ra một số kiến thức liên quan làm cơ sở cho việc thiết kế một số đối tƣợng hình học mặt cong trong hệ tọa độ 3D.
- Trình bày một số vấn đề liên quan đến các bề mặt đƣợc tạo ra từ các phƣơng trình đạo hàm riêng, đặc biệt là sử dụng phƣơng pháp Bloor-Willson PDE để tạo ra các bề mặt PDE và ứng dụng của các bề mặt PDE trong việc thiết kế và mô hình hóa hình học.
- Trình bày chi tiết về phƣơng trình elliptic cấp hai và cấp bốn, vận dụng các phƣơng trình này trong thiết kế bề mặt PDE cho một số đối tƣợng hình học trong thực tế.
- Cài đặt thành công các thuật toán ứng dụng phƣơng trình elliptic cấp hai và cấp bốn để thiết kế các đối tƣợng hình học dựa trên việc xác định điều kiện biên và phƣơng trình tham số của các đối tƣợng hình học.
Trên cơ sở các kết quả đã đƣợc trình bày, trong thời gian tới sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn để thiết kế bề mặt PDE cho các đối tƣợng 3D phức tạp hơn dựa trên phƣơng trình elliptic cấp hai và cấp bốn.Vận dụng phƣơng trình elliptic cấp hai và cấp bốn trong việc tái tạo lại các vật thể bị biến dạng, pha trộn các bề mặt khác nhau để tạo nên các vật thể có hình dạng phức tạp hơn.
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Thế Tranh, Giáo trình công nghệ CAD-CAM, Trƣờng Đại học Bách
Khoa Đà Nẵng, Chƣơng 2, tr. 1-11.
[2] Nguyễn Minh Chƣơng (cb),Phương trình đạo hàm riêng, NXB GD,(2000).
Tài liệu tiếng Anh
[3] H. Ugail, M.I.G. Bloor, and M.J. Wilson, Techniques for Interactive Design Using the PDE Method, ACM Transactions on Graphics,pp. 195-212, (1999).
[4] Ugail, H., Wilson, M.J, Efficient shape parametrisation for automatic design optimisation using a partial differential equation formulation. Comput.Struct, pp. 2601–2609, (2003).
[5]Bloor, M.I.G., Wilson, M.J, Functionality in solids obtained from partial differential equations. Computing,pp. 21–42, (1993).
[6] G. Gonz´alez Castro, H. Ugail et al., A survey of partial differential equationsin
geometric design, Visual Comput 24,pp. 213–225, (2008).
[7] Farin, G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, a Practical Guide, 5th edn. MorganKaufmann, San Diego, CA (2001).
[8] Zhang, J.J., You, L. Fast surface modelling using a 6th order PDE. Comput.Graph, Forum 23(3), pp. 311–320, (2004).
[9] J. Monterde and H. Ugail, A General 4th-Order PDE Method to Generate Bézier Surfaces from the Boundary, Computer Aided Geometric Design, 23 (2), pp.
208-225, (2006).
[10] H. Ugail, 3D Facial Data Fitting using the Biharmonic Equation, in Visualization, Imaging and Image Processing, J.J. Villanueva (ed.), ACTA Press
[11] M. G. Bloor and M. J. Wilson, Generaring blend surfaces using partial differential equations, Comput. Aided Des.21(3), pp. 165-171, (1989).
[12] M. G. Bloor and M. J. Wilson, Functionnality in blend desgign, Comput.
PHỤ LỤC
CÁC CHƢƠNG TRÌNH NGUỒN TRÊN MATLAB
1. Thiết kế đối tƣợng sử dụng phƣơng trình elliptic cấp hai n=40;a=1;R=1;H=1; u = 2*pi*(01n)/n; v = 2*pi*(01n)'/n; t = (cosh(a*u)+(R-cosh(a))*sinh(a*u) /sinh(a)); X = cos(v)*sinh(u./2); %X = cos(v)*t; Y = sin(v)*u./4; Z = ones(size(v))*H*(1-u); % colormap([0 0 0;1 1 1]) %C = hadamard(2^k); figure(3) surf(X,Y,Z) axis square
2. Thiết kế đối tƣợng chiếc cốc rƣợu vang (Wine glass) sử dụng phƣơng trình elliptic cấp bốn. %n=10; H=3; R=1; St=-2.88; Sb=-3; a=1; %n=20; H=3; R=1; St=-3.67; Sb=-13.32; a=5; n=20; H=2; R=1; St=-2.53; Sb=-5.55; a=1; u = (01n)/n; v = 2*pi*(01n)'/n;
disp('Dang chay chuong trinh. Hay doi') e1 = 'c1 = 0';
e2 = 'a1+a2 = R'; e3 = 'b1+b2 = 0';
e4 = 'c1+c2+c3+c4 = 0'; e5 = '(a1+a3)*exp(a) + (a2+a4)*exp(-a) = 0'; e6 = '(b1+b3)*exp(a) + (b2+b4)*exp(-a) = 0'; e7 = 'c2 = 0'; e8 = 'a*(a1-a2)+a3+a4=0'; e9 = 'a*(b1-b2)+b3+b4=0'; e10 = 'c2+2*c3+3*c4 = 0';
e11 = '((a+1)*a3+a*a1)*exp(a) + ((a-1)*a4-a*a2)*exp(-a)=Sb'; e12 = '((a+1)*b3+a*b1)*exp(a) + ((a+1)*b4-a*b2)*exp(-a)=0';
[a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e 10,e11,e12,'a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4'); X = ones(size(v))*(c1+c2*u+c3*u.^2+c4*u.^3) + ... cos(v)*((a1+a3*u).*exp(a*u)+(a2+a4*u).*exp(-a*u)) + ... sin(v)*((b1+b3*u).*exp(a*u)+(b2+b4*u).*exp(-a*u)); %subs(X) e1 = 'c1 = 0'; e2 = 'a1+a2 = 0'; e3 = 'b1+b2 = R'; e4 = 'c1+c2+c3+c4 = 0'; e5 = '(a1+a3)*exp(a) + (a2+a4)*exp(-a) = 0'; e6 = '(b1+b3)*exp(a) + (b2+b4)*exp(-a) = 0'; e7 = 'c2 = 0'; e8 = 'a*(a1-a2)+a3+a4=0'; e9 = 'a*(b1-b2)+b3+b4=0'; e10 = 'c2+2*c3+3*c4 = 0';
e11 = '((a+1)*a3+a*a1)*exp(a) + ((a-1)*a4-a*a2)*exp(-a)=0'; e12 = '((a+1)*b3+a*b1)*exp(a) + ((a+1)*b4-a*b2)*exp(-a)=Sb';
[a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e 10,e11,e12,'a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4');
Y = ones(size(v))*(c1+c2*u+c3*u.^2+c4*u.^3) + ... cos(v)*((a1+a3*u).*exp(a*u)+(a2+a4*u).*exp(-a*u)) + ...
sin(v)*((b1+b3*u).*exp(a*u)+(b2+b4*u).*exp(-a*u)); %subs(Y) e1 = 'c1 = H'; e2 = 'a1+a2 = 0'; e3 = 'b1+b2 = 0'; e4 = 'c1+c2+c3+c4 = 0'; e5 = '(a1+a3)*exp(a) + (a2+a4)*exp(-a) = 0'; e6 = '(b1+b3)*exp(a) + (b2+b4)*exp(-a) = 0'; e7 = 'c2 = St'; e8 = 'a*(a1-a2)+a3+a4=0'; e9 = 'a*(b1-b2)+b3+b4=0'; e10 = 'c2+2*c3+3*c4 = 0';
e11 = '((a+1)*a3+a*a1)*exp(a) + ((a-1)*a4-a*a2)*exp(-a)=0'; e12 = '((a+1)*b3+a*b1)*exp(a) + ((a+1)*b4-a*b2)*exp(-a)=0';
[a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e 10,e11,e12,'a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4'); Z = ones(size(v))*(c1+c2*u+c3*u.^2+c4*u.^3) + ... cos(v)*((a1+a3*u).*exp(a*u)+(a2+a4*u).*exp(-a*u)) + ... sin(v)*((b1+b3*u).*exp(a*u)+(b2+b4*u).*exp(-a*u)); %subs(Z)
disp('Chuong trinh da chay xong. Coc ruou se duoc ve') figure(2)
surf(subs(X),subs(Y),subs(Z)) %axis square