Trong mục này chủ yếu nghiên cứu tính kì dị điển hình của hệ 1 –gấp, trình bày các định lý, hệ quả làm cơ sở để chứng minh các định lý về sự phân loại tính kì dị trong trường hợp tổng quát.
Mệnh đề 2.2.1. Đối với mỗi hệ ẩn tổng quát, bề mặt của hệ là đa tạp con 2 chiều rỗng hoặc trơn của không gian chùm tiếp xúc.
Mệnh đề 2.2.2. Cho một hệ ẩn tổng quát có các đạo hàm bị chặn địa phương. Khi đó, sự gấp hệ là ánh xạ ổn định LR. Điểm kì dị dạng Whitney hoặc xếp li nếu có thì được biểu diễn dưới dạng
( x = u y = v2 hoặc ( x = u y = v3 +uv
trong các tọa độ trơn thích hợp và ảnh của chúng bởi sự gấp có gốc tại điểm đó.
Sự gấp hệ là hạn chế của phép chiếu chùm tiếp xúc tới mặt hệ. Do đó, theo Định lý Goryunov sự hạn chế như vậy trong trường hợp tổng quát có thể có tất cả các tính kì dị chung như là một ánh xạ tổng quát giữa các đa tạp n chiều, với số chiều của hạch không lớn hơn số chiều hạch của phép chiếu này (xem [11]). Nhưng cuối cùng số chiều vẫn bằng n, giữa mặt hệ và không gian pha có tất cả các tính kì dị chung.
Trong trường hợp 2 chiều, tính kì dị ở đây là điểm gấp Whitney và xếp li (xem [20],[1]). Bên cạnh đó, các hệ của chúng có các đạo hàm bị chặn địa phương. Hơn nữa, sự gấp hệ là các ánh xạ riêng. Vì vậy, đối với một hệ đủ tổng quát sự gấp hệ là ánh xạ ổn định LR (xem [12],[19]).
Nhận xét 2.2.3. Một ánh xạ được gọi là ổn định LR (ổn định trái phải) nếu cho bất kì một ánh xạ đóng đầy đủ tới ánh xạ đó, thì hai ánh xạ này có thể tạo thành các ánh xạ khác bởi các phép vi đồng phôi của không gian ảnh và không gian ảnh là đóng tới các đồng nhất thức.
Ví dụ 2.2.4. Ánh xạ (x, y) 7→x từ đường tròn x2 +y2 = 1 đến trục x là ổn định LR (dưới những sự nhiễu nhỏ trong tôpô Ck với k ≥2).
Mệnh đề 2.2.5. Cho một hệ ẩn tổng quát có các đạo hàm bị chặn địa phương. Khi đó, bất kì điểm tới hạn nào của sự gấp hệ đều không thuộc thiết diện không của chùm tiếp xúc tới không gian pha.
Từ định lý đường hoành Thom ta có mệnh đề trên vì các điều kiện
F = 0, rankFx˙ < n, x˙ = 0
xác định trong không gian tia của các hệ đóng Whitney được phân thớ đa tạp với số đối chiều (2n+ 1). Nếu số đối chiều lớn hơn thì số chiều của chùm tiếp xúc là 2n chiều. Do đó, đối với một hệ đủ tổng quát các điều kiện này không đồng thời được thỏa mãn.
Định lý 2.2.6. Cho hệ ẩn tổng quát có các đạo hàm bị chặn địa phương. Khi đó, bất kì một điểm tới hạn nào của sự gấp hệ đều là điểm chính quy
Bên cạnh đó, ảnh của tập các điểm tới hạn của hệ gấp đối với 1 −gấp là sự thay thế tổng quát về cấu trúc tiếp xúc tiêu chuẩn trong không gian của các hướng trên không gian pha. Đặc biệt, hệ đó có thể có sự tiếp xúc đối với với cấu trúc này chỉ ở các điểm là chính quy bởi 1−gấp hệ và điểm tới hạn của sự gấp dạng Whitney bởi sự gấp hệ.
Chứng minh. Cho mặt của một hệ ẩn tổng quát có đạo hàm bị chặn địa phương khác rỗng.
Sự gấp hệ là ổn định LR theo Mệnh đề 2.2.2 và trong cơ sở của Mệnh đề 2.2.5, tập hợp các điểm tới hạn của sự gấp không cắt thiết diện 0 của chùm tiếp xúc đến không gian pha. Ngoài ra, cho một hệ bất kì là đóng đầy đủ đến một hệ đã cho, 1 −gấp được xác định gần tập hợp này.
Chú ý rằng, bất kì một điểm chính quy nào của sự gấp hệ đó cũng đều là điểm chính quy của 1 −gấp hệ bởi vì sự gấp đưa ra hai thành phần của 1−gấp.
Áp dụng lại Định lý Goryunov (xem [11]) nhận được, 1−gấp của một hệ đủ tổng quát có thể có tất cả các tính kì dị chung giống như một ánh xạ tổng quát từ đa tạp 2 chiều vào đa tạp 3 chiều. Nhưng bất kì điểm giới hạn nào của ánh xạ đó là dạng ô Whitney. Từ Hệ quả 2.2.7 nhận được gần một điểm của hệ đủ tổng quát, hệ 1−gấp này có dạng
x = u, y = v2, z = uv
trong các tọa độ trơn thích hợp gần điểm tới hạn này và các tọa độ địa phương trơn trong không gian ảnh đều phân thớ trên không gian pha (không gian (x, y)) với các gốc tại điểm này với ảnh tương ứng.
Sự thay thế điển hình (ảnh của tập các điểm tới hạn của sự gấp đối với 1 −gấp có cấu trúc tiếp xúc tiêu chuẩn trong không gian các hướng trên không gian pha) có thể thu được bởi các phép quay nhỏ của các mặt phẳng tiếp xúc. Thực tế các phép quay như vậy cho ta sự nhiễu loạn nhỏ của hệ nhưng chúng không thay đổi tập hợp các giá trị tới hạn của sự gấp hệ và có thể cho ta bất kì một phép quay nhỏ của trường các hướng được xác định bởi hệ của chúng trên tập hợp này. Cuối cùng, nếu cho một hệ đủ tổng quát “sự thay thế” là điển hình thì nó cũng là điển hình đối với một hệ đóng đầy đủ bất kì đến hệ đã chọn theo ổn định LR của sự gấp
hệ đủ tổng quát trong nội dung của Mệnh đề 2.2.2. Định lý 2.2.6 được chứng minh.
Hệ quả 2.2.7. Cho một hệ ẩn tổng quát có các đạo hàm bị chặn địa phương và một điểm tới hạn bất kì dạng ô Whitney. Khi đó đối với 1 –gấp hệ, điểm tới hạn này là điểm tới hạn của gấp dạng Whitney bởi sự gấp hệ.
Hệ quả 2.2.8. Cho một hệ ẩn tổng quát có các đạo hàm bị chặn địa phương và các tính kì dị điểm của hệ cho bởi điểm tới hạn của sự gấp hệ. Khi đó, các tính kì dị điểm được mô tả bởi các tính kì dị chung của phương trình vi phân ẩn cấp 1 hoặc bởi một phương trình từ sự thay thế tổng quát trong không gian các hướng trên mặt phẳng của phôi ô Whitney tại đỉnh ô đó.
Nhận xét 2.2.9. Sự thay thế tổng quát của ảnh đối với trục các hướng trong phép xạ ảnh của chùm tiếp xúc suy ra từ Mệnh đề 2.2.2 và hệ quả của Định lý 2.2.6.