Định lý 2.3.1. ([2]) Cho một hệ ẩn tổng quát có các đạo hàm bị chặn địa phương trên mặt phẳng và một điểm chính quy bất kì của sự gấp hệ. Khi đó, tương ứng mỗi điểm kì dị nhận được một trong các dạng chuẩn tắc ở Bảng 2.1 gần điểm gốc lên quỹ đạo trơn tương đương.
Chứng minh. Cho P là một điểm chính quy của sự gấp hệ đủ tổng quát và P˜ là ảnh của điểm P bởi sự gấp hệ. Gần điểm P, bề mặt hệ là thiết diện trơn của chùm tiếp xúc. Thiết diện này cho ta trường vectơ trơn v
gần ảnh P˜.
Nếu điểm P không thuộc về thiết diện 0 của chùm tiếp xúc thì trường này không triệt tiêu tại điểm P˜. Trong trường hợp này, phôi của trường
v tại P là C∞−vi đồng phôi tới phôi của trường vectơ hằng (1,0) tại gốc (xem [2]). Điều này nhận được tính kì dị đầu tiên ở Bảng 2.1.
Nếu điểm P thuộc thiết diện 0 của chùm tiếp xúc thì trường v triệt tiêu tại điểm P˜. Sự nhiễu nhỏ của hệ được nghiên cứu kéo theo sự biến đổi trơn nhỏ của trường gần điểm P theo ổn định LR của sự gấp hệ phù
Phân loại tính kì dị Các dạng chuẩn tắc Sự hạn chế Điểm không kì dị x˙ = 1 ˙ y = 0 Yên ngựa không cộng hưởng với số mũ λ ˙ x = x ˙ y = λy λ ∈ R−\Q Yên ngựa cộng hưởng với số mũ −p/q ˙ x = x1±xpyq +ax2py2q ˙ y = −py/q a ∈ R;p, q ∈ N p/q là một phân số không giảm Điểm nút không cộng hưởng với số mũ λ ˙ x = εx ˙ y = ελy 1 < λ ∈ R+\N; ε = ±1
Tiêu điểm với số mũ λ x˙ = εx+λy
˙
y = −λx+ εy λ ∈ R+;ε = ±1
Bảng 2.1:
hợp với Mệnh đề 2.2.5. Nhưng đối với một hệ ẩn tổng quát, ánh xạ này (“sự nhiễu nhỏ” → “các sự nhiễu nhỏ v gần P˜”) là liên tục và các sự nhiễu loạn nhỏ của hệ dẫn đến tất cả các sự nhiễu loạn nhỏ của mặt hệ gần điểm P và từ đó, dẫn đến toàn bộ các sự nhiễu loạn nhỏ của trường v
gần điểm P˜. Do đó, nhận được một hệ đủ tổng quát trường vectơ v có tại điểm P˜ một điểm kì dị. Bây giờ, phần còn lại của Định lý 2.3.1 đưa ra các kết quả cổ điển về các dạng chuẩn tắc của các trường vectơ tổng quát gần các điểm kì dị lên quỹ đạo trơn tương đương (xem [2]). Định lý 2.3.1 được chứng minh.
Nhận xét 2.3.2. Cột thứ nhất của Bảng 2.1, được gọi là tiêu chuẩn cho các tính kì dị tương ứng của các trường vectơ tổng quát trên mặt phẳng. Quỹ đạo trơn tương đương cho phép thay đổi các tọa độ trơn và phép
nhân của các trường vectơ bằng hàm dương trơn.
Nhận xét 2.3.3. Trong [2], các dạng chuẩn tắc tương ứng còn bao gồm các dạng sau: Điểm nút cộng hưởng với số mũ λ = n ∈ N (x˙ = x,y˙ =
ny + εxn, ε ∈ {−1,0,1}), yên ngựa cộng hưởng với các hệ số 0 bởi một vài đơn thức cộng hưởng ban đầu
˙
x = x1±uk +au2k,y˙ = λy,1 < k ∈ N
,
tiêu điểm suy biến không có tích phân đầu hình thức bắt đầu từ dạng toàn phương xác định dương
( ˙x = y ±x r2k +ar4k,y˙ = −x±y r2k +ar4k).
Các trường hợp con có thể được khử bởi sự nhiễu nhỏ của hệ ẩn.
Định lý 2.3.4. Cho một hệ ẩn tổng quát trên mặt phẳng có các đạo hàm bị chặn địa phương và một điểm kì dị bất kì của sự gấp hệ. Khi đó, tương ứng mỗi điểm kì dị nhận được một trong các dạng chính quy ở Bảng 2.2 gần gốc lên quỹ đạo trơn tương đương.
Để chứng minh Định lý 2.3.4 sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.5. ([3],[7]) Cho mặt phẳng (u, v) gần gốc và một hàm
u+v3a(u) +v5b(u) +v7c u, v2
với a, b và c là các hàm liên tục, a(0) = 0 6= a0(0)b(0). Khi đó hàm đã cho được đưa về dạng u+v3u+v5 nếu có một vi đồng phôi liên tục bảo toàn gốc và giao hoán với phép đối hợp (u, v) 7→ (u,−v).
Chứng minh. Định lý 2.3.4.
Theo Hệ quả 2.2.8, tính kì dị địa phương của một hệ ẩn tổng quát tại các điểm kì dị của sự gấp hệ được mô tả bởi các tính kì dị chung của phương trình vi phân cấp 1 loại trừ các điểm kì dị của 1−gấp hệ đối với dạng ô Whitney. Nhưng ở đây ta cần xét một điểm giới hạn của hệ ẩn tổng quát không thuộc thiết diện 0của chùm tiếp xúc theo Mệnh đề 2.2.5. Vì vậy, tính kì dị chung của các phương trình ẩn dạng điểm chính quy gấp, điểm kì dị gấp và điểm xếp li đưa ra 5 tính kì dị đầu tiên và tính kì dị cuối cùng trong Bảng 2.2.
Phân loại tính kì dị Các dạng chính quy Sự hạn chế Điểm chính quy gấp x˙ = ±1; ( ˙y)2 = x Yên ngựa không cộng hưởng gấp với số mũ λ ˙ x = 1 ( ˙y)2 = y −kx2 λ ∈ R−\Q ( ˙y)2 = y −kx2 Yên ngựa cộng hưởng gấp với số mũ −p/q ˙ x = 1; ( ˙y)2 = y −kx2 +εx xp+q +ax2p+2q a ∈ R;p, q ∈ N 1 6= p/q là một phân số không giảm Điểm nút (không cộng hưởng) gấp với số mũ λ ˙ x = 1 ( ˙y)2 = y −kx2 λ ∈ R+\N k = λ/(2λ+ 2)2 Tiêu điểm gấp với số mũ λ ˙ x = 1 ( ˙y)2 = y −kx2 λ ∈ R+ k = 1 +λ−2/16 Điểm ô Whitney x = ±1, ( ˙y)2 = x(x−y)2 Điểm kì dị xếp li x˙ = 1, x = ˙yϕ(y,y˙) ϕ là hàm trơn ϕ(0,0) = ϕy˙ (0,0) = 0 ϕy(0,0)ϕy˙y˙ (0,0) 6= 0 Bảng 2.2:
Theo Hệ quả 2.2.8, để chứng minh định lý trên cần có dạng chuẩn tắc của một phương trình vi phân ẩn cấp 1 được cho bởi sự thay thế tổng quát của ô Whitney đến không gian của các hướng trên mặt phẳng. Đối với một hệ đủ tổng quát như vậy, sự thay thế cần các tính chất sau: Tại đỉnh ô Whitney cả mặt phẳng tiếp xúc và hướng thẳng đứng không tiếp xúc với ảnh bởi 1−gấp hệ tổng quát của tập các điểm tới hạn của sự gấp hệ này.
Vì vậy, các hệ tọa độ địa phương trơn u, v trên mặt hệ và x, y trên không gian pha có các gốc tại điểm được nghiên cứu và ảnh của điểm đó
bởi sự gấp hệ có thể lựa chọn sao cho 1−gấp hệ này có dạng
x = v2, y = u, dy
dx = h(u, v). (2.1)
Trong đó h là một hàm số trơn, h(0,0) = 0 và dxdy là tọa độ địa phương dọc theo trục hướng, trong các tọa độ này ô Whitney đi qua đường thẳng
x−y = 0.
Gần gốc trên trục y và đường thẳng {x−y = 0} ∪ {x > 0}, nghiên cứu phương trình ẩn cấp 1 có hai trường hướng trơn dxdy = f1(y) và dydx = f2(y), trong đó f1, f2 là các hàm số trơn,f1(0) = f2(0) = 0 vì h(0,0) = 0. Theo Bổ đề Hadamard, các hàm này có thể lấy dạng f1(y) = y ˜f1(y), trong đó
˜
f1, f˜2 là các hàm số trơn. Trường hướng gần gốc có dạng
dy
dx = (y −x) ˜f1(y) +xf˜2(y) đưa ra sự mở rộng trơn đồng thời của hai trường này.
Gần gốc, trường mở rộng có một tích phân đầu dạng y+xI1(x, y), trong đó I1 là một hàm trơn. Nói đến tích phân này và hàmu+v2I1 v2, ugiống như các tọa độ mới y và u tương ứng, bảo toàn hai dạng đầu của phương trình (2.1) nhưng trong tọa độ mới hàm h là đồng nhất 0 trên trục u và trên tập tương ứng đến ô Whitney. Trong các tọa độ mới gần gốc, tập cuối cùng có thể được xác định bởi một phương trình u−v2X1 v2 = 0, trong đó X là một hàm trơn, X (0) > 0. Theo Bổ đề Hadamard, hàm
h trong phương trình dxdy = h(u, v) từ (2.1) có thể được viết dưới dạng
h(u, v) = v u−v2X1 v2H (u, v), trong đóH là hàm trơn,H (0,0) 6= 0 vì tại điểm được nghiên cứu 1 −gấp hệ có tính kì dị dạng ô Whitney. Vì vậy, gần gốc v˜= vpX (v2) và x˜ = xX(x) quy về hệ (2.1) của các phương trình có dạng
x= v2, y = u, dy
dx = v(u−v2)H (u, v) (2.2) (“dấu ngã” trong kí hiệu của các tọa độ mới được bỏ đi) với H là hàm số trơn mới nào đó không triệt tiêu tại gốc. Khi đó, trường các hướng được cho bởi phương trình dydx = v(u−v2)H(u, v) có thể được nâng lên thành trường hướng trơn dạng
du 2
Khi đó, trường hướng dydx = v(u − v2)H (u, v) có tích phân đầu dạng
I (u, v) = u+v3J1 u, v2.
Đó là điều kiện đủ để có dạng chuẩn tắc của tích phân này bằng việc thay đổi các tọa độ giao hoán với phép đối hợp (u, v) 7→ (u,−v) được xác định bởi sự gấp hệ. Lấy tọa độ mới u ở dạng
(I (u, v) +I (u,−v))/2,
khi đó rút gọn tích phân về dạng
I (u, v) =u+v3J1(u, v) hoặc
I(u, v) =u+v3a(u) +v5b(u) +v7c u, v2,
trong đó a, b, c là các hàm trơn, a(0) = 0 =6 a0(0)b(0) bởi vì v2u là số hạng của bậc thấp hơn trong vế phải của phương trình (2.3), b(0) 6= 0 do
H (0,0) 6= 0.
Theo Bổ đề 2.3.5 định lý được chứng minh.
Vậy hàm H trong phương trình (2.3) có thể được rút gọn về (2.1). Khi đó, phương trình này có dạng dudv = 2v2(u − v2) gần các điểm của các phương trình đang xét nghĩa là phương trình dydx = v(u−v2) trên mặt hệ hoặc phương trình dydx
2
= x(y −x)2 trên mặt phẳng (x, y). Tất cả điều này nhận được tính kì dị thứ 5 trong Bảng 2.2. Định lý 2.3.4 được chứng minh.
Nhận xét 2.3.6. Các dạng chuẩn tắc tương đương quỹ đạo tôpô của yên ngựa gấp, nút gấp và tiêu điểm gấp là x˙ = 1,( ˙y)2 = y−kx2 gần gốc tương ứng với k = −1,1/20 và k = 1 (xem [6], [17]).