Kí hiệu chùm tiếp xúc của mặt phẳng R2 là TR2, và kí hiệu {0} là thiết diện không của mặt phẳng đó. Phép chiếu chính tắc từ chùm tiếp xúc, mặt ngoài của thiết diện {0} tới đa tạp của các phần tử tiếp xúc trên mặt phẳng, kí hiệu là Π :TR2\ {0} → P T∗R2. Ở đây P T∗R2 là phép xạ ảnh fiber-wise của chùm đường cong T∗R2 trên không gian R2. Phép
chiếu Π cảm sinh các ánh xạ 1−gấp từ các mặt trong TR2\ {0}. Chú ý rằng, ở đây không tồn tại phép đẳng cấu chính tắc giữa chùm tiếp xúc
TR2 và chùm đường cong T∗R2, nhưng tồn tại phép đẳng cấu chính tắc giữa P TR2 và P T∗R2, giống như đa tạp của các phần tử tiếp xúc trên mặt phẳng, được xác định bởi ánh xạ hướng tiếp tuyến trên R2 vào R2 có hướng như hạch. Khi đó, dưới quỹ đạo trơn tương đương sự phân loại các mặt trong TR2\ {0} được quy về qua 1 −gấp lên trên sự định hướng của các quỹ đạo tới sự phân loại bởi các vi đồng phôi tiếp xúc trên P T∗R2
bảo toàn sự phân thớ chính tắc π :P T∗R2 →R2.
Xét hệ dạng Clairaut trong TR2\ {0} và 1−không gấp của hệ đó trong
P T∗R2. Gọi Σc là quỹ tích của các điểm kì dị tiếp xúc, nghĩa là quỹ tích trên mặt hệ bao gồm các điểm mà ở đó dạng tiếp xúc triệt tiêu trên điểm tương ứng trong P T∗R2. Gọi Σπ là quỹ tích của các điểm kì dị trên mặt hệ bởi phép chiếu π : TR2 → R2. Khi đó, hệ là dạng Clairaut nếu và chỉ nếu ánh xạ gấp tới R2 là cùng hạng tại hầu hết hệ và Σc = Σπ.
Dara L. (xem [5]) đã đưa ra định nghĩa của các phương trình dạng Clairaut đối với các mặt trơn trong R3 ⊂P T∗R2 với các tọa x, y, p, p =
˙
y/x˙ như sau:
Định nghĩa 2.4.1. Hệ ẩn G(x, y, p) = 0 được gọi là có dạng Clairaut
nếu Gx + pGy = AG + BGp cố định, với A(x, y, p) và B(x, y, p) là các phôi hàm.
Theo định nghĩa trên, nếu một hệ là dạng Clairaut thì cóΣc = Σπ. Thực tế, trong [14] chứng minh được rằng: Một hệ không suy biếnG(x, y, p) = 0 là dạng Clairaut nếu và chỉ nếu có hệ các nghiệm đầy đủ gồm các nghiệm (trơn) cổ điển. Đặc biệt, mỗi phép chiếu quỹ đạo tới một đường cong không suy biến đều bởi sự gấp.
Điều ngược lại là không đúng trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ 2.4.2. Hệ G(x, y, p) = y − 2p3 = 0 không là dạng Clairaut theo Định nghĩa 2.4.1 mặc dù nó thỏa mãn điều kiện Σc = Σπ. Hơn nữa, hệ còn có hệ các nghiệm đầy đủ Γ (t, c) = (x, y, p) = 3t2 +c,2t3, t và mỗi điểm lùi đường cong nghiệm là tiếp xúc tới biệt thức π(Σπ) = {y = 0}
bởi p2 = 0 trên mặt hệ y = 2p3 = x,2p3, p|(x, p) ∈ R2,0 và quỹ tích suy biến có các thành phần bội.
Định nghĩa 2.4.3. Một hệ dạng Clairaut được gọi là tối giản nếu định thức Jacobian của ánh xạ gấp không có các thành phần bội.
Do đó, bất kì hệ tối giản dạng Clairaut có thể được xấp xỉ bởi một hệ Clairaut có tính chất là mỗi phép chiếu quỹ đạo đến một đường cong không suy biến đều qua sự gấp. Khi đó có định lý sau:
Định lý 2.4.4. Cho một hệ tối giản tổng quát dạng Clairaut trên mặt phẳng có các đạo hàm bị chặn địa phương. Khi đó, nhận được các dạng chuẩn tắc trong Bảng 2.3 gần gốc lên quỹ đạo trơn tương đương.
Phân loại tính kì dị Các dạng chuẩn tắc Sự hạn chế Điểm không kì dị x˙ = 1,y˙ = 0
Gấp Clairaut x˙ = 1,( ˙y)2 = y
Điểm lùi Clairaut x˙ = 1, y = ˙yϕ(x,y˙) ϕ(0,0) = ϕy˙(0,0) = 0
ϕy˙y˙(0,0)ϕx(0,0)6= 0 Ô Whitney Clairaut x˙ = 1,( ˙y)2 = x2y
Bảng 2.3:
Có thể phân loại các hệ dạng Clairaut bởi việc xét các mặt tham số trong P T∗R2.
Một phôi phương trình vi phân cấp 1 được xác định bởi một phôi ánh xạ f : R2,0 →J1(R,R) ⊂ P T∗R2. Khi đó f là hoàn toàn khả tích nếu tồn tại một phôi nhúng chìmµ : R2,0→ Rthỏa mãndµ∧f∗θ = 0, trong đó θ = dy−pdx là kí hiệu của 1 −dạng tiếp xúc chính tắc trên J1(R,R). Gọi µ là tích phân đầu không phụ thuộc f và cặp (µ, f) : R2,0 → J1(R,R) ⊂ R×P T∗R2 được gọi là một hệ holonomic có tích phân đầu không phụ thuộc. Chú ý rằng f|µ−1(t) là sự nhúng chìm Legendrian có ảnh chứa trong ảnh f. Nếu π◦f|µ−1(t) là ánh xạ không suy biến với mỗi
t ∈ (R, µ(0)) thì f|µ−1(t) t∈
biến của ảnh f bởi các argument trước. Một hệ như vậy được gọi là một phương trình dạng Clairaut. Khi đó có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.4.5. Cho (µ, g) là một cặp của phôi ánh xạ g : R2,0→
R2,0 và phôi nhúng chìm µ: R2,0 →(R,0). Khi đó sơ đồ (R,0) ←−µ R2,0 −→g R2,0
được gọi là sơ đồ tích phân nếu tồn tại một phương trình f : R2,0 → P T∗R2 sao cho (µ, f) là một phôi phương trình có tích phân đầu không phụ thuộc và π ◦f = g. Khi đó, sơ đồ tích phân (µ, g) được tối giản bởi
f.
Nếu f là một phương trình dạng Clairaut, thì (µ, π ◦f) được gọi là dạng Clairaut. Khi đó, đưa vào một quan hệ tương đương sơ đồ tích phân như sau:
Cho (µ, g) và (µ0, g0) là các sơ đồ tích phân, (µ, g) và (µ0, g0) là tương đương nếu sơ đồ
(R,0) µ (R2,0) g -(R2,0) (R,0) κ ? µ0 (R 2,0) ψ ? g0 -(R 2,0) φ ?
giao hoán, với κ, ψ và φ là các vi phôi. Nếu vi phôi κ = idR thì (µ, g) và (µ0, g0) là tương đương ngặt.
Định lý 2.4.4 trình bày sự phân loại chung của các phương trình dạng Clairaut theo khái niệm của các sơ đồ tích phân.
Định lý 2.4.6. Cho phương trình dạng Clairaut tổng quát
(µ, f) : (R2,0) →R×J1(R,R)
sơ đồ tích phân (µ, π◦f) là tương đương ngặt với sơ đồ tích phân của các mầm trong các trường hợp dưới đây:
(1) µ = v, g = (u, v); Điểm không kì dị. (2) µ = v − 12u, g = (u, v2); Gấp Clairaut.
Chứng minh. Giả sử (µ, f) là một phương trình dạng Clairaut và Legen- drian không gấp `(µ,f) tương ứng. Do các argument trước, ta có một mầm hàm F : (R×R,0) → (R,0) sao cho ảnh j11F bằng ảnh `(µ,f). Vì vậy, ta xét tính chất chung của F (t, x). Theo định nghĩa, j11F là một mầm nhúng chìm nếu và chỉ nếu ∂F ∂t (0), ∂2F ∂t∂x (0) 6 = 0.
Với điều kiện này, ta có đặc trưng của các điểm gấp và điểm lùi củaπ◦j1 1F
như sau (xem [10],[12]):
i, π ◦j11F là mầm gấp nếu và chỉ nếu ∂F∂t (0) = 0 và ∂∂t2F2 (0)6= 0.
Khi j11F không là một mầm nhúng chìm, ta có đặc tính của mũ chéo: ii, π ◦ j11F là mầm điểm lùi nếu và chỉ nếu ∂F∂t (0) = ∂∂t2F2 (0) = 0 và
∂2F
∂t∂x (0)∂∂t3F3 (0)6= 0.
iii, j11F là một mầm mũ chéo nếu và chỉ nếu ∂F∂t (0) = ∂t∂x∂2F (0) = 0 và
∂3F
∂t∂x2 (0) ∂∂t2F2 (0) 6= 0.
Ở điểm thứ nhất, đưa ra các dạng chuẩn tắc với các giả thiết là các điều kiện (i), (ii), (iii). Giả sử rằng điều kiện (iii) giữ lại, trong trường hợp này mầm hàm có dạng sau:
F (t, x) = at2 +bx2 +ctx2 +h(t, x)
trong đó a 6= 0, c 6= 0 và h(0,0) = 0. Khi đó F (t,0) = at2 + h(t,0) là
C −tương đương tới t2, F (t, x) là P − C −tương đương đến một sự biến dạng của t2. Do các argument trước đó, C−sự biến dạng riêng lẻ của t2 là
t2+v1t+v2. Vậy F (t, x) là P − C −tương đương đến mầm hàm bởi dạng:
G(t, x) = t2 +tφ1(x) + φ2(x) thì j11G cũng là một mầm mũ chéo, ta có
φ1(x) = αx2+ số hạng có cấp cao hơn,
với α 6= 0. Do phép vi đồng phôi địa phương của biến x, ta có φ1(x) = x2. Điều này có nghĩa F (t, x) là P−C −tương đương tới mầm hàm bởi dạng
t2 + tx2 + φ(x). Vì thế, ta có thể đặt F (t, x) = t2 + tx2 + φ(x). Trong trường hợp này
sơ đồ tích phân tương ứng là
g(u1, u2) = u2, u21 +u1u22 + φ(u2),
trên mặt phẳng (x, y) có một phôi vi đồng phôi Ψ : R2,0 → R2,0 được xác định bởi Ψ (x, y) = x, 14 y + 41x4 −φ(x). Khi đó, nhận được Ψ◦g(u1, u2) =
u2,14 u1 + 12u222
. Đây là dạng (4) chuẩn tắc trong Định lý 2.4.6, sau khi đặt (u, v) = u2, u1 + 12u22.
Đối với trường hợp (i), ta có thể áp dụng hầu hết các argument giống như trên và được dạng chuẩn tắc của (2) trong Định lý 2.4.6.
Đối với trường hợp (ii), tình huống là khá khác nhau. Trong trường hợp này, hàm F (t,0) là C−tương đương tới t3. C−biến dạng riêng lẻ của t3
là t3 + v1t2 + v2t+ v3, thì các argument ở trên không thể sử dụng trong trường hợp này. Tuy nhiên, C+−biến dạng riêng lẻ của t3 là t3 +v1t+v2. Do đó có thể áp dụng hầu hết các argument như vậy ở trên và sơ đồ tích phân tương ứng là R+−tương đương đến
µ(u1, u2) = u2, g(u1, u2) = u2, u32 +u1u2.
Điều này có nghĩa sơ đồ là tương đương chặt đến dạng chuẩn tắc (3) trong Định lý 2.4.6.
Khi đó, thấy rằng tập hợp của hàm F (t, x) thỏa mãn điều kiện (i), (ii), (iii) hoặc (R) tại điểm bất kì nào đó là tổng quát trong không gian của tất cả các hàm (với tô pô Whitney C∞). Ở đây điều kiện (R) là ∂F∂t (0) 6= 0. Cho J3(2,1)là một tập của 3 −tia của các mầm hàm h : R2,0 → (R,0). Xét 2 tập con đại số sau của J3(2,1):
Σ1 = j3h(0)|∂h ∂t (0) = ∂2h ∂t∂x (0) = ∂2h ∂t2 (0) ∂ 3h ∂t∂x2 (0) = 0 , Σ2 = j3h(0)|∂h ∂t (0) = ∂2h ∂t2 (0) = ∂ 2h ∂t∂x (0) ∂3h ∂t3 (0) = 0 .
Xét hợp W = Σ1 ∪ Σ2 thì W cũng là một tập con đại số của J3(2,1). Ta có thể phân tầng tập đại số W bởi các đa tạp con có số đối chiều nhỏ nhất là 3. Do định lý đường hoành Thom, j3F R2∩ R2 ×R×W = φ
đối với một hàm tổng quát F (t, x). Vì vậy, các điều kiện (i), (ii), (iii) hoặc (R) được thỏa mãn đối với hàm F (t, x). Định lý 2.4.6 được chứng minh
Chú ý rằng các dạng (1) (2) và (4) của Định lý 2.4.4 nhận được từ Định lý 2.4.6 như dưới đây:
(1) Phương trình được cho bởi f = (u, v,0), nghĩa là p= 0. Đặt x˙ = 1, nhận được y˙ = 0.
(2) Phương trình được cho bởi f = u, v2, v, nghĩa là p2 = y. Đặt ˙
x = 1 nhận được ( ˙y)2 = y.
(4) Phương trình được cho bởi f = u,14v2,21uv, nghĩa là p2 = x2y. Đặt x˙ = 1 nhận được ( ˙y)2 = x2y.
Dạng (3) của định lý 2.4.4 đã nhận được từ dạng tham số ở (3) của Định lý 2.4.6 như sau:
Ánh xạ 1 −gấp được cho bởi (u, v) = (x, y, p) = u, v3 + uv, h(u, v), trong đó p = xy˙˙ và
h(u, v) = v − 3v2 +u∂α∂x u, v3 +uv
1 + (3v2 +u) ∂α∂y (u, v3 +uv).
Ta có dạng ẩn y = v3 + uv = v(x, p)3 + xv(x, p) =: ψ(x, p). Bằng việc sử dụng phép vi đồng phôi bảo toàn điểm lùi mà các ánh xạ đường cong pha đi qua đỉnh điểm lùi tới trục x, giả sử rằng ψ(x,0) = 0. Khi đó
y = ψ(x, p) =pϕ(x, p). Bằng cách đặt x˙ = 1, nhận được y = ˙yϕ(x,y˙). Định lý 2.4.6 đưa ra sự phân loại tổng quát của các sơ đồ tích phân dạng Clairaut bởi sự tương đương ngặt. Chú ý rằng, mỗi mầm từ (1) tới (4) trong Định lý 2.4.6 là các sơ đồ tích phân không tương đương. Do đó, vấn đề được đưa về việc phân loại các mầm được chứa trong họ (3) bởi sự tương đương. Họ này được tham số bởi các phôi hàm α được gọi là môđun hàm. Trong [15] đã đưa ra tính chất của môđun hàm tương đối tới sự tương đương. Cho ánh xạ g : x = u, y = v3 +uv, xác định trong mặt phẳng (x, y) tập hợp ∆ của các điểm mà ở đó ánh xạ này có 3 nghịch ảnh khác nhau và tập D giống như biên của tập ∆. Trong [9], Dufour J. P. đã trình bày định lý sau.
Định lý 2.4.7. Giả sử (µα, g) là một sơ đồ tích phân, trong đó µα =
v+α◦g với α ∈ M(x,y), g = (u, v3+uv). Khi đó với α bất kì, tồn tại một phôi hàm α0 : (R2,0)→ (R,0) sao cho:
(1) (µα, g) là tương đương với (µα0, g). (2) α0|D = 0.
Dufour J. P. cũng chỉ ra tính duy nhất của môđun hàm tương đối bởi sự tương đương. Theo [18] ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.4.8. Cho α và α0 là các phôi hàm. Khi đó,α và α0 là tương đương môđun nếu tồn tại a ∈ R\ {0} sao cho aα(x, y) =α0 a2x, a3y với (x, y) ∈ ∆ bất kì.
Định lý 2.4.9. Giả sử (µα, g) và (µα0, g) là các sơ đồ tích phân thỏa mãn
α|D = α0|D = 0. Khi đó, (µα, g) tương đương với (µα0, g) nếu và chỉ nếu
α và α0 là tương đương môđun.
Định lý này khẳng định rằng các lớp tương đương của môđun hàm α
với α|D = 0 là bất biến hoàn toàn đối với sự phân loại tổng quát của các phương trình dạng Clairaut đối với quan hệ tương đương cho bởi nhóm các phép biến đổi điểm.
Ta định nghĩa M(D) = α ∈ M(x,y)|α|D = 0 và M −điểm lùi = (D)/ ∼, trong đó ∼ có nghĩa là quan hệ môđun. Định lý trên khẳng định rằng không gian môđun đối với phương trình dạng Clairaut tổng quát là M −điểm lùi.
Nhận xét 2.4.10. Trong luận văn này, đã trình bày sự phân loại của các phương trình vi phân ẩn cấp 1 trong P T∗R2 được đưa xuống với tích phân đầu không phụ thuộc. Trong [13], các điểm kì dị xếp li được gọi là các điểm lùi chính quy và các dạng chuẩn tắc của các điểm đó được cho bởi các dạng tham số (u, v) 7→ u3 +uv, v, sự tham số hóa của ánh xạ gấp với tích phân đầu µ= 34u4+12u2v+α u3 +uv, v, trong đó α là một hàm bất kì với α(0,0) = 0, ∂α∂y (0,0) = ±1 (xem [13]). Hơn nữa, theo định lý của Kurokawa (xem [16]), có thể lấy môđun hàm α bởi sự tương đương thỏa mãn
α(0, y) =±y + 1 2
∂2α
∂y2 (0,0)y2,(y ≤0).
Hơn nữa dấu ±1 và χα = ∂∂y2α2 (0,0) là giá trị bất biến của phương trình (Xem [16]).
Khi đó, ánh xạ1−gấp được cho bởi(u, v) 7→(x, y, p) = u3 +uv, v, k(u, v), trong đó p = xy˙˙ và
k(u, v) = u+
∂α
∂x u3 +uv, v .
Chú ý rằng các hàm v và k cho ta sự tham số hóa khác của mặt hệ. Do đó, nhận được x = u3+uv = u(v, k)3 +u(v, k)v = u(y, p)3 +u(y, p)y =:
ψ(y, p). Quỹ tích p = 0 xác định một đường cong trơn tiếp xúc với trục
y tại đỉnh điểm lùi trên mặt phẳng (x, y). Bằng cách sử dụng điểm lùi bảo toàn phép vi đồng phôi của các ánh xạ đường cong tới trục y, có thể giả sử ψ(y,0) = 0. Do đó, nhận được dạng x = pϕ(y, p). Bằng cách đặt
˙
x = 1 nhận được dạng chuẩn tắc như trong Bảng 2.2.
Cho hệ có ánh xạ gấp(u, v) 7→ u3 +uv, v. Khi đó, tích phân đầuµα = 3
4u4+12u2v+α u3 +uv, vbiến đổi thành tích phân đầuµα0 = 34u4+12u2v+
α0 u3 +uv, vnếu và chỉ nếu α0(x, y) = α(x, y) hoặc α0(x, y) =α(−x, y) trên miền mở chứa điểm lùi ∆ := y3 + 274 y2 < 0 gần gốc (xem [13]).
Không gian môđun các điểm kì dị xếp li còn lại là mở. Đó cũng là lý do tồn tại môđun hàm đối với 3−lưới trên mặt phẳng bởi các đường cong nghiệm và không gian mô đun được trội bởi không gian hàm
n
Kết luận
Với mục đích nghiên cứu tính kì dị chung của một số hệ ẩn của phương trình vi phân cấp 1 trên mặt phẳng, trong luận văn này đã trình bày được các vấn đề sau đây:
1. Trình bày các khái niệm cơ bản, các điểm kì dị của họ các đường cong pha cho bởi phôi của mặt hệ và vẽ hình mô tả trong một số trường hợp của các điểm kì dị đơn giản như điểm nút, điểm yên ngựa, tiêu điểm..., các định lý cơ sở trên các dạng chuẩn.
2. Trình bày tính kì dị chung của các hệ ẩn cấp 1 trên các đa tạp 2−
chiều lên một quỹ đạo trơn tương đương cho cả 2 trường hợp: trường hợp tổng quát và trường hợp Clairaut tổng quát. Từ đó, sự phân loại địa phương có thể đưa đến hệ trong mặt phẳng R2.
Tài liệu tham khảo
[1] Arnol’d V. I., Gusejn-Zade S. M., Varchenko A. N. (1986), Singu- larities of differentiable maps. Volume I: The classification of criti- cal points, caustics and wave fronts, Monographs in Mathematics 82, Boston-Basel-Stuttgart, Birkh¨auser.
[2] Arnol’d V. I., Ilyashenko Yu. S. (1985), Ordinary Differential Equa- tions, in Mordern Problems in Mathematics, Dynamical Systems 1, Springer, Berlin.
[3] Arnol’d V. I. (1988), “Contact structure, relaxational oscillations and singular points of implicit differential equations”, Global analysis – studies and applications II, Lect. Note Math., 1334, pp. 173 - 179. [4] Damon J. (1984), The unfolding and determinacy theorems for sub-