Khoảng cuối thế kỷ 19, các tiêu chuẩn mới về sự nghiêm ngặt chiếm ưu thế hơn trong sự nghiên cứu của các nhà tốn học, nhưng vẫn có một vài đối kháng. Một số sự đối kháng được đưa ra bởi chủ nghĩa bảo thủ, nhưng trong một mức độ nhất định, đó là điều kiện tốt nhằm chống lại các dây chuyền nghiêm ngặt của giải tích. Poincare, người có sự tư duy rất tốt về trực giác, cho rằng tuân thủ sự chặt chẽ nghiêm ngặt làm tê liệt tư duy sáng tạo. Poincare đã khéo léo công bố các trường hợp không cần tuân theo các ý tưởng của sự chặt chẽ. Một số nhà toán học kết luận rằng sự chặt chẽ là quá cực đoan. Ví dụ: đối với chuỗi khơng phân kì, họ đã loại bỏ nhiều lập luận thành cơng khi áp dụng vào vật lí và thiên văn học. Heaviside đã sử dụng các lập luận trước về chuỗi phân kì để áp dụng vào lý thuyết điện từ.
Ở Paris, người ta đã tạo ra các lý thuyết được gọi là chuỗi tiệm cận, nó giúp giải thoát các lập luận trước đây về chuỗi phân kì. Cách tiếp cận khác được bắt đầu bởi Frobenius năm 1880 và Holder năm 1882 và được phát triển bởi Cesaro (1890), họ định nghĩa tổng của lớp lớn các chuỗi phân kì. Mặc dù chuỗi đó khơng gần với giá trị giới hạn khi các số hạng của chuỗi tăng, tổng được định nghĩa theo cách này hóa ra có ý nghĩa cả về các ứng dụng và lý thuyết.
Một lĩnh vực khác chỉ ra rằng, sự chặt chẽ ở thế kỷ 19 đã quá cực đoan, khi nhấn mạnh rằng chỉ các hàm khả vi mới có đạo hàm. Heaviside cũng đã từng đề cập đến vấn đề này. Trong lí thuyết của Laurent Schwartz về hàm suy rộng (Schwartz 1950/1951), đạo hàm không cần phải tồn tại như một hàm số. Schwartz (và Sobolev) xây dựng hàm theo nghĩa đã được sử dụng bởi các nhà toán học trong thế kỷ 19, như Fourier, Kirchhoff và Heaviside.
Năm 1960/1961 Robinson đã xây dựng trường phi – Archimed. Ông thiết lập lại các lập luận của Leibniz, Euler và thậm chí cả Cauchy trên một cơ sở “cứng”. Sự khám phá này được gọi là giải tích phi tiêu chuẩn và dường như nó có ảnh hưởng đến nền tảng của giải tích. Thời gian sau đó mới chỉ có một vài người chấp nhận ý tưởng này.
Trong thế kỷ 20, lý thuyết về chuỗi phân kì, đạo hàm suy rộng, hàm suy rộng và khả tích có thể đưa chúng ta đến ý nghĩ rằng sự chặt chẽ trong thế kỷ 19 là không cần thiết, hoặc là giai đoạn lầm lạc mà lẽ ra chúng ta có thể phát triển nhanh hơn. Tuy nhiên, cần nhận thấy rằng các ý tưởng tổng quát của thế kỷ 20 đều có nền tảng cơ bản ở thế kỷ 19. Ví dụ, hàm suy rộng Schwartz được định nghĩa như phiếm hàm trên không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact, được trang bị topo phù hợp.
KẾT LUẬN CHUNG
• Luận văn nhằm trình bày lịch sử phát triển của một số khái niệm nằm trong nền tảng của giải tích, như: hàm số, liên tục và liên tục đều, chuỗi và tổng của chuỗi, giới hạn.
• Những khái niệm trên được xây dựng ngày càng chặt chẽ, và quá trình “chặt chẽ” hoá các khái niệm đã thúc đẩy sự phát triển vượt bậc của giải tích trong thế kỷ 19, làm cơ sở cho những phát kiến mới trong thế kỷ 20.
• Việc hiểu được q trình hình thành và phát triển các khái niệm nền tảng của giải tích giúp chúng ta hiểu sâu hơn các khái niệm đó, gợi ý cho những sáng tạo trong nghiên cứu, học tập và giảng dạy.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt:
[1] Hà Huy Khoái (1974), Kể chuyện về những nhà toán học, NXB Khoa học và Kỹ thuật.
[2] Hà Huy Khoái (2007), Các nhà toán học được Giải thưởng Fields (1936 -
2006), NXB Giáo dục.
[3] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ.
Tài liệu tiếng Anh:
[4] Lützen, J. (2002), The Foundation of Analysis in the 19th Century,
History of Analysis, Springer 2002.
[5] Youschkevic, A.P. (1976), The concept of function up to the middle of the 19th century, Archive for History of Exact Sciences 16 (1976), 37 - 85.
Tài liệu tiếng Pháp:
[6] Cauchy, A.L. (1821), Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique.
1re partie. Analyse algébrique, Paris 1821. Oeuvres (2) 3 Later editions:
Gabay, Paris 1989. CLUEB, Bologna 1990 (ed. Bottazzini).
[7] Lagrange, J.L. (1806), Lecons sur les calculs des fonctions, Paris 1896 in