1.4.1. Gauss
Hai nhà toán học khác, Gauss và Bolzano có những ý tưởng liên quan đến nền tảng của giải tích, khơng phụ thuộc Cauchy và thậm chí sớm hơn.
Trong các bài viết và bản thảo, Gauss đã thảo luận về vấn đề thác triển các hàm số ra bên ngoài của miền xác định. Những bài viết này bắt đầu từ năm 1850, rất lâu trước khi xuất bản sách của Cauchy. Trong một loạt cơng trình từ khoảng năm 1800 Gauss đã bắt đầu phân tích “nền tảng của lý thuyết chuỗi vô hạn” trong mối liên hệ với một cuộc thảo luận về chuỗi lượng giác. Gauss định nghĩa lim sup và lim inf rất chính xác. Tuy nhiên, Gauss khơng bao giờ viết một cách hệ thống về cơ sở giải tích trong các cơng bố của mình. Ơng nêu lên câu hỏi về việc xử lý các chuỗi vô hạn trong luận án của mình (1799) về định lý cơ bản của đại số, và trong bài báo của mình (1813) về chuỗi hypergeometric
2 ( 1) ( 1) ( , , , ) 1 ... 1 2! ( 1) F x x x (1.20)
Gauss đã nghiên cứu tính chất hội tụ của chuỗi này và chỉ ra rằng khơng có ý nghĩa gì khi xem xét một giá trị tại đó chuỗi khơng hội tụ.
1.4.2. Bolzano
Bolzano cũng chỉ có một ảnh hưởng hạn chế đến sự phát triển của giải tích, vì các lý do khác nhau. Ơng là một nhà triết học - thần học sống ở Prague xa trung tâm tốn học, và ơng khơng công bố kết quả mới trong toán học. Tác phẩm của ơng và thậm chí cả tên của ông hầu như vẫn chưa được biết trong khoảng nửa thế kỷ mặc dù ông đào sâu vào nền tảng của giải tích hơn bất kỳ
người đương thời nào của ơng. Cơng trình quan trọng nhất của ông được dành cho định lý giá trị trung gian.
Theo Bolzano “hàm f x( ) liên tục đối với tất cả các giá trị của x thì hiệu (f x) f x( ) có thể nhỏ hơn so với bất kỳ đại lượng cố định được chọn nhỏ tùy ý “(Bolzano 1817, 162). Định nghĩa chính xác hơn của Bolzano trong tập Funktionenlehre xuất bản sau khi ông mất (Bolzano 1930), nói rõ ràng rằng (f x) f x( ) nhỏ hơn số đã cho khi là nhỏ hơn so với một số
0
. Điều này tương tự định nghĩa hiện đại về liên tục theo từng điểm.
Bolzano sau đó giới thiệu dãy cơ bản (ngày nay gọi là dãy Cauchy) và “chứng minh” rằng nó hội tụ tới một “đại lượng không đổi”. Tuy nhiên cách chứng minh này là không thỏa đáng.
Bolzano đưa ra một khẳng định mà sau này ta gọi là “sự tồn tại cận trên đúng”. Ông nhấn mạnh sự khác biệt giữa sup và max .
Cuối cùng Bolzano đã chứng minh rằng khi f và là liên tục trong ,
và f( ) ( ) trong khi f( ) ( ), thì tồn tại một giá trị x( , ) mà
( ) ( )
f x x .
Cauchy cũng đã xem xét các định lí giá trị trung gian trong Cours d’analyse của ông. Trong một số bài viết ông chỉ yêu cầu trực giác hình học, nhưng trong bài On the numerical solution of equation ông đã sử dụng phương pháp số của Lagrange để cung cấp một “chứng minh”.
Ta có thể so sánh hai phương pháp của Cauchy và Bolzano như sau:
1. Bolzano đã không sử dụng vô cùng nhỏ trong định nghĩa và các chứng minh, nhưng Cauchy thì có.
2. Định nghĩa của Bolzano về tính liên tục rõ ràng hơn của Cauchy và nghiêng về từng điểm hơn. Trong Funktionenlehre ông nhận xét rằng tính liên
tục khơng bao hàm sự liên tục thống nhất, nhưng ông không bao giờ đánh giá cao tầm quan trọng của sự thống nhất.
3. Cả Cauchy và Bolzano đều dựa vào tính đầy đủ của tập hợp các số thực. Nhưng, Bolzano có sự hiểu biết về khái niệm này hơn Cauchy. Cauchy dựa vào sự đầy đủ trong việc đưa ra các tiêu chuẩn của ơng và trong khái niệm về tích phân, nhưng ơng khơng có sự kết nối giữa các trường hợp. Bolzano, nói cách khác đã sử dụng “tiêu chuẩn Cauchy” để suy ra cận trên đúng và các định lí trung gian.
4. Cả Bolzano và Ampère đã cố gắng để chứng minh rằng tất các các hàm số (liên tục theo một nghĩa nào đó trong trường hợp của Ampère) có đạo hàm trừ các giá trị cô lập của biến. Bolzano, trong cuốn sách xuất bản năm 1930 đã xây dựng các hàm liên tục, và ơng chứng minh được nó khơng có đạo hàm trên tập trù mật (trong thực tế, các hàm này khơng có đạo hàm). Tuy nhiên Cauchy khơng cố gắng để chứng minh những định lí sai lầm rằng các hàm số liên tục bất kì có thể có đạo hàm.
Tuy nhiên Bolzano có những ý tưởng xa hơn thời của ông về sự chặt chẽ trong giải tích.
1.4.3. Abel
Nhà tốn học thứ ba bắt đầu cải cách nền tảng của tốn học là Abel. Năm 1826, ơng đã viết thư cho giáo sư của mình, Hansteen:
“Tơi sẽ cố gắng dùng tất cả sức lực của tôi để mang ánh sáng vào trong bóng tơi bao la đang bao trùm trong giải tích. Có rất ít các định lí trong giải tích được chứng minh một cách thuyết phục. Ở khắp mọi nơi người ta tìm thấy các phương pháp khơng thích hợp, các kết luận từ cái đặc biệt đến cái chung”.
Trước đó ơng cũng đã viết cụ thể hơn trong một bức thư gủi cho người bạn Holmboe:
“Tồn bộ những gì về dãy phân kỳ là ảo thuật, đó thực sự là điều đáng xấu
hổ mà khơng ai giám phản đối. Người ta có thể làm ra bất kì cái gì họ muốn khi sử dụng chúng”.
Abel đã phát hiện ra nhiều điểm yếu trong lập luận của người đương thời với ơng, trong đó có một số điều (như đạo hàm theo từng số hạng) bị bỏ qua bởi Cauchy và Gauss. Trong bài gửi cho Hansteen ông đã công bố rằng ông sẽ xuất bản một số bài viết nhỏ dựa trên các câu hỏi của Crelle-Journal, nhưng có lẽ do cái chết sớm của mình, ơng chỉ xuất bản các định lí về nhị thức. Một phần thú vị trong bài viết của ông là ông lặp đi lặp lại một số nhận xét quan trọng từ các bài viết ở trên và dãy các định lí tổng quát về chuỗi.
Để thay thế một định lí sai lầm của Cauchy. Abel đã đưa ra định lý mà ngày nay gọi là định lí Abel.