2 Vấn đề ngược của vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các
2.2.1. Điều kiện đủ của vấn đề 1kLmax là tối ưu
Một điều kiện đủ của giải pháp tối ưu là trình tự EDD
Định lý 2.1. Quy tắc EDD giải quyết vấn đề tìm trình tự tối ưu đối với vấn đề
1kLmax.
Chứng minh. Ta chứng minh bất kỳ trình tự nào không thỏa mãn quy tắc EDD đều có thể chuyển hóa thành trình tự thỏa mãn quy tắc EDD mà hàm mục tiêu không tăng.
Giả sử rằng mỗi trình tự tối ưu π bất kỳ đều không thỏa mãn quy tắc EDD. Khi đó, trong trình tự này ít nhất có hai công việc cạnh nhau Tj và Tk, trong đó
Tj đứng trước Tk và dj > dk.
Giả sử công việc TJ bắt đầu được gia công tại thời điểm t. Khi đó,
Lj =t+pj −dj, Lk =t+pj +pk−dk.
Trong trình tự π ta thay đổi như sau: thay đổi vị trí của hai công việc Tj và Tk, giả sử ngoài vị trí của tất cả các công việc khác. Ta thu được trình tự π0 trong đó, thời gian bắt đầu gia công của công việc Tj là t và Tj được gia công ngay sau khi kết thúc công việc Tk.
Do đó
L0j =t+pj+pk −dj, L0k =t+pk −dk.
Do dj > dk nênLk > L0j và Lk > L0j.
Vì vậy Lmax > L0max. Điều này chỉ ra rằng, bất kỳ trình tự nào không thỏa mãn quy tắc EDD đều có thể chuyển hóa thành trình tự thỏa mãn quy tắc EDD mà hàm mục tiêu không tăng. Điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.1. Ở bài toán 1.1, xét vấn đề 1kLmax, trong đó
Theo quy tắc EDD ta tìm được trình tự tối ưu là {T1, T4, T3, T2, T5, T6} và trễ tối đa Lmax = 2 .