2 Vấn đề ngược của vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các
2.3.2. Bài toán ngược 1 |adjustable d j, L∗| Lmax
Giả sử cho trước giá trị thời gian trễ L∗, và mục tiêu là tìm ra kỳ hạn điều chỉnh b dj,dbj ∈ dj, dj sao cho db−d là nhỏ nhất và Lmax ≤L∗.
Vì giá trị nhỏ nhất của Lmax có thể được đảm bảo bởi dãy các công việc trong thứ tự kỳ hạn sớm nhất (EDD), ta có thế giới hạn phạm vi tìm kiếm trong các lớp trình tự thỏa mãn EDD.
Ta bắt đầu với trình tự EDD với kỳ hạn gốc. Nếu trình tự đó thỏa mãnLmax ≤L∗
thì không không cần điều chỉnh. Mặt khác, nếu kỳ hạn của một số công việc có thể tăng thì đặt H ={hi} là tập các công việc chủ chốt, L= Lmax.
Nếu L > L∗, thì có thể tăng kỳ hạn của công việc từ tậpH. Rõ ràng các kỳ hạn tăng thêm có thể bằng tất cả các công việc từ H:
b
dj = dj +x, x ≥0, j ∈H,
và biên độ kỳ hạn có thế nhận ra như sau:
x≤ min
j∈H
n b
dj −djo.
Trước tiên ta sẽ đưa ra vấn đề làm thế nào mà nút thắt được tháo gỡ trong kỳ hạn sớm nhất nếu một số công việc có cùng thời hạn. Nếu trong số đó không có công việc nào là chủ chốt, thì thứ tự của chúng là không quan trọng. Mặt khác, chỉ có công việc cuối cùng trong số đó có cùng kỳ hạn là chủ chốt và có sự điều chỉnh mong muốn, phụ thuộc loại chuẩn, độ lệch
db−d
được tính bởi một trong các công thức sau: db−d = P h∈H αhx f or l1,α,β norm, P h∈H αhx2 f or l2,α,β norm, max h∈H {αh} ×x f or l∞,α,β norm.
Trong lớp các kế hoạch kỳ hạn sớm nhất, giá trị của
db−d
là nhỏ nhất với mỗi chuẩn ở trên nếu dãy các công việc có cùng kỳ hạn nằm trong dãy sắp thứ tự không tăng của αj.
Ta giới thiệu một ký hiệu của sắp thứ tự chính. Sắp thứ tự σ được gọi là sắp thứ tự chính nếu các công việc là sắp xếp theo thứ tự không tăng của của αj.
Sự điều chỉnh kỳ hạn của các công việc chủ chốt có thể vi phạm thứ tự kỳ hạn sớm nhất và nếu các công việc chủ chốt mới xuất hiện. Trong trình tự duy trì sắp
thứ tự chính và giữ vết của công việc chủ chốt H, sự điều chỉnh kỳ hạn có thể tiến hành lặp lại, tại mỗi lần lặp, ta giả sử các công việc được đánh số phù hợp với sắp thứ tự chính. Sự tăng kỳ hạn dhj của công việc hj ∈ H có thể tạo ra một sự thay đổi cấu trúc đến 1 trong 3 trường hợp dưới đây. Ta giả sử hj là công việc thứ k
trong sắp thứ tự chính σ, chẳng hạn hj =σ(k).
Trường hợp A: Kỳ hạn của công việc σ(k) đạt tới kỳ hạn của công việc tiếp theo σ(k+ 1) của sắp thứ tự chính;
Trường hợp B: Một công việc j ∈N\H trở thành chủ chốt;
Trường hợp C: Giá trị mục tiêu L∗ của độ trễ tối đa đạt được;
Trường hợp D: Kỳ hạn của công việc σ(k) đạt tới cận dưới của nó dσ(k). Xác định sự gia tăng dσ(k) bởi
xAσ(k) = dσ(k+1)−dσ(k), xBσ(k) = L− max j∈N\H {Cj −dj}, xCσ(k) = L−L∗, hoặc xDσ(k) =dσ(k)−dσ(k)
theo thứ tự dẫn tới trường hợp A, B, C hoặc D.
Giá trị của Lmax giảm nếu kỳ hạn của tất cả các công việc từ tập H tăng bởi cùng một lượngx cho đến khi trường hợp sớm nhất A, B, C hoặc D xảy ra. Do đó
x được xác định như sau:
x= min min σ(k)∈H dσ(k+1) −dσ(k) , L−max{Cj−dj}, L−L∗, min σ(k)∈H dσ(k)−dσ(k) . (2.22)
Nếu trường hợp A xảy ra và kỳ hạn của các công việc σ(k) và σ(k+ 1) bằng nhau, thì việc đánh số lại và cập nhật sắp thứ tự gần đây có thể được yêu cầu sao cho
các công việc với cùng kỳ hạn được nối tiếp trong một số thứ tự không tăng của
αj. Nếu trường hợp B xảy ra, thì tập H có thể được cập nhật. Trong cả hai trường hợp giá trị L của độ trễ tối đa có thể giảm bởi x. Việc tăng kỳ hạn của tập H tiếp tục lặp lại cho đến khi một trong các trường hợp C hoặc D xảy ra. Trong trường hợp trường hợp C xảy ra, giá trị mục tiêu L∗ đạt được; kết quả là tối ưu vì trong mỗi lân lặp lại, hoán vị kỳ hạn sớm nhất được xem xét và giữa các công việc cùng thời hạn, công việc với giá trị bé nhất của αj được chọn đối với sự điều chỉnh thời hạn. Trong trường hợp của trường hợp D, kỳ hạn của ít nhất một công việc chủ chốt không thể tăng được hơn nữa để cho giá trị mục tiêu L∗ không thể đạt được. Dãy công việc ban đầu có thể xây dựng trong thời gian O(nlogn). Trong mỗi lần lặp lại lượng điều chỉnhx được tính trong thời gianO(n). Mỗi trường hợp A và B xảy ra không quá n lần trong khi trường hợp C xảy ra đúng một lần. Do đó thời gian hoàn thành của việc giải quyết bài toán ngược là O(n2). Do đó ta đã chứng minh được kết quả dưới đây.
Định lý 2.4. Bài toán ngược1|adjustable dj, L∗|Lmax có thể được giải quyết trong thời gianO(n2), đối với bất kỳ thời gian của chuẩn bởi việc giảm sức ép tất cả các công việc chủ chốt lặp lại bởi cùng lượng x xác định bởi (2.22). Nếu không tồn tại kết quả, thì nó có thể được thực hiện cũng trong thời gian O(n2) sử dụng cách tiếp cận tương tự.