Theo định nghĩa ở Chương 1, hai đỉnh a và b của một đồ thị là liên thơng khi nào có ít nhất một đường đi nối liền hai đỉnh ấy. Đương nhiên, số đường đi nối a với b càng nhiều thì mức độ liên thơng càng cao. Chẳng hạn giữa hai thành phố càng có nhiều đường giao thơng với nhau thì sự liên lạc càng thuận tiện. Nhận xét đơn giản này đưa đến một vấn đề quan trọng về lý luận cũng như thực tiễn: đánh giá mức độ liên thông của một đồ thị.
Cho a, b là hai đỉnh khác nhau của một đồ thị vô hướng G = (A, U)
với tập đỉnh A và tập cạnh U. Để thuận tiện, ta nhắc lại: một đường đi từ a tới b là đường đi sơ cấp (elementary path) nếu đường đi đó khơng đi qua đỉnh nào hai lần trở lên và một số đường đi nối a với b là tách biệt
(separable) nếu từng đơi một chúng khơng có đỉnh chung nào khác a và b.
Định nghĩa 2.1 Hai đỉnha vàbcủa đồ thịG gọi là liên thông cấpk trong
G nếu k là số tối đa đường đi sơ cấp và tách biệt nối a với b, nghĩa là nếu:
1) có k đường đi sơ cấp, tách biệt nối a với b;
2) khơng có k+ 1 đường đi như thế.
Định lý 2.1 (Menger, 1927). Muốn cho hai đỉnh a, b không kề nhau của một đồ thị là liên thông cấp k, điều kiện cần và đủ là
1) có k đỉnh, khác a và b, sao cho khi rút đi tất cả các đỉnh ấy thì a và
b bị tách rời hồn tồn (khơng cịn liên thơng nữa); 2) khơng có k−1 đỉnh như thế.
Nói cách khác, đối với hai đỉnh a, b khơng kề nhau thì số tối đa đường đi sơ cấp, tách biệt, nối a với b bằng số tối thiểu đỉnh, khác avà b, mà cần
rút đi để tách rời được a với b.
Chứng minh. Giả sử hai đỉnh không kề nhau a và b là liên thơng cấp
k, và µ1, µ2, ..., µk là k đường đi sơ cấp, tách biệt, nối a với b. Nếu ta chỉ
rút đi k−1 đỉnh (khác a và b), thì chúng chỉ có thể phá mất nhiều nhất là k−1 đường đi nói trên, và vẫn cịn ít nhất một dây chuyền khơng bị đụng chạm đến, cho nên a và b vẫn còn liên thơng. Do đó, chỉ rút k − 1 đỉnh thì khơng đủ tách rời a và b. Ta sẽ chứng minh rằng chọn đúng k đỉnh để tách rời được hoàn toàn a với b.
Tạm gọi các đường điµ1, µ2, ..., µk là"đường đậm" và các cạnh hay đỉnh của chúng là cạnh hay đỉnh "đậm". Đi trên mỗi đường đậm, từ a tới b, ta
vẽ trên mỗi cạnh của nó một mũi tên hướng theo chiều đi ấy (Hình 2.1). Một đường đi v từ một đỉnh e tới một đỉnh f sẽ gọi là một đường "yếu"
khi nào nó có điều kiện sau đây: hễ v đi qua một đỉnh đậm khác e và f
thì nó phải chứa một cạnh đậm liên thuộc đỉnh ấy, và mỗi cạnh đậm trên
v (nếu có) đều hướng theo chiều ngược lại với chiều đi trênv từ e tới f (ví dụ, trong Hình 2.1, đường đi [e, g1, g2, f] là yếu).
Trước hết, có thể thấy rằng khơng có một đường yếu nào đi từ a tới b.
Thật vậy, giả sử có một đường yếu v như thế (đường chấm chấm trong Hình 2.2).
Sau khi bỏ đi những chu trình của v (nếu có), có thể cho rằng v là một đường đi sơ cấp. Theo giả thiết, khơng thể có k+ 1 đường đi sơ cấp tách biệt nối a với b, vậy v phải có đỉnh chung với một số đường đậm, và do đó, theo định nghĩa đường yếu, v phải có chứa những cạnh đậm.
Cho µi1, µi2, ..., µih là tất cả những đường đậm có những cạnh chung với
v. Ta hãy bỏ tất cả những cạnh đậm ở trên v, đồng thời vẽ trên những
cạnh còn lại của v một mũi tên hướng theo chiều đi trên v từ a tới b, rồi
xét đồ thị H tạo nên bởi các đường đi µi1, µi2, ..., µih, v (không kể các cạnh đậm trên v). Trong đồ thị H này ở đỉnh a có h+ 1 mũi tên đi, ở đỉnh b có
h+ 1 mũi tên tới, cịn ở mọi đỉnh khác đều có vừa đúng một mũi tên tới và một mũi tên đi.
Do đó nếu ta rời khỏi a theo một mũi tên tùy ý rồi cứ tới đỉnh nào thì theo mũi tên ở đó mà đi tiếp, thì ta sẽ tới b và vạch ra được một đường đi sơ cấp từ a tới b; sau khi bỏ đường đi này (trừ a và b) thì tại a còn lại h
mũi tên đi, tại b còn lại h mũi tên tới, và tại mọi đỉnh khác chưa bỏ của H vẫn có một mũi tên tới, một mũi tên đi, cho nên ta lại có thể theo cách trên mà vạch một đường đi sơ cấp thứ hai từ a tới b, v.v . . . Như thế ta sẽ
được h+ 1 đường đi sơ cấp tách biệt nối a với b, tức là, nếu kể cả (k−h)
nối a với b : vơ lý!
Vậy khơng thể có đường yếu đi từ a tới b.
Bây giờ ta sẽ nói một đỉnh là "yếu" nếu có một đường yếu từ đỉnh ấy tới b. Từ định nghĩa này có thể suy ra ngay:
α) Nếu e là một đỉnh yếu thì mọi đỉnh nối liền với e bằng một đường yếu cũng sẽ yếu;
β) Nếu e là một đỉnh yếu ở trên một đường đậm µi thì mọi đỉnh ở trên
µi[e, b] (phần đường đi trên µi từ e tới b) cũng sẽ yếu.
Ta hãy chọn trên mỗi đường đi µi(i = 1,2, . . . , k) một đỉnh ei như sau: nếu trên µi có những đỉnh yếu thì lấy ei là đỉnh yếu đầu tiên ta gặp trên
µi theo chiều từ a tới b; nếu trên µi khơng có đỉnh yếu thì lấy ei là đỉnh cuối cùng trên µi, khác a và b (vì a và b khơng kề nhau, nên mỗi đường đi
µi phải có ít nhất một đỉnh khác a và b).
Có thể khẳng định rằng bất cứ đường đi nào từ a tới b cũng phải qua ít nhất một trong các đỉnh e1, e2, . . . , ek. Thật vậy, giả sử có một đường đi
π từ a tới b, không đi qua đỉnh ei nào cả. Đương nhiên π phải có những đỉnh chung với một số đường đậm. Gọi d1, d2, . . . , dp là các đỉnh đậm trên
π (không kể a và b), theo thứ tự chiều đi từ a tới b trên π; và gọi µir là đường đậm chứa dir(r = 1,2, . . . , p; một sốµir có thể trùng nhau). Đỉnhdp
là một đỉnh yếu, bởi vì hoặc là π[dp, b] nằm trọn trên µip thì lúc đó π[dp, b]
phải là một cạnh (nếu không dp sẽ không phải là đỉnh đậm cuối cùng của
π!), cho nên eip phải đứng trước dp và phải là đỉnh yếu (theo cách chọn các ei).
Do đó, theo nhận xét β) ở trên, dp cũng phải yếu; hoặc là π[dp, b] khơng nằm trên µip thì lúc đó π[dp, b] khơng chứa cạnh đậm (vì dp là đỉnh đậm cuối cùng của π), cho nên π[dp, b] là một đường yếu, tức là dp yếu. Đã vậy thì đỉnh dp−1 cũng phải yếu: điều đó có thể suy ra từ nhận xét β) nếudp−1
ở trên µip (lúc đó dp−1 đứng sau đỉnh yếu eip), hoặc từ nhận xét α) nếu dp−1 khơng ở trên µip (lúc đó đoạn π[dp−1, dp] là một đường yếu, vì khơng
chứa cạnh đậm).
Lần lượt ta thấy rằng tất cả các đỉnh dp, dp−1, . . . , d2, d1 đều yếu. Vì trên
µi1 có đỉnh yếud1, nên ei1 phải đứng trước d1 trên µi1 , do đó đoạn π[a, d1]
khơng thể là một cạnh đậm mà phải là một đường yếu; đường này, cùng với đường yếu từ d1 tới b, tạo nên một đường yếu từ a tới b, trái với điều
đã chứng minh ở trên.
Vậy mọi đường đi từ a tới b phải đi qua ít nhất một trong các đỉnh
e1, e2, . . . , ek. Điều đó có nghĩa là nếu ta rút e1, e2, . . . , ek thì mọi đường đi từ a tới b đều bị phá, và a, b khơng cịn liên thơng nữa.
Tóm lại, số tối đa đường đi sơ cấp tách biệt nối a với b là tổng số tối thiểu đỉnh khác a vàb mà cần phải rút để tách rời avới b. Định lý đã được
chứng minh đầy đủ.
Chú ý 2.1 Cách chứng minh trên cho thấy rằng: muốn tách rời được hai đỉnh a, b khi rút một tập hợp đỉnh, điều kiện tất yếu và đủ là mọi dây chuyền nối a với b đều phải đi qua ít nhất một phần tử của tập hợp đỉnh này.
Ứng dụng. Trên một mạng lưới đường giao thông, muốn đặt một số trạm kiểm soát ở các ngã ba, ngã tư, v.v . . . , để kiểm sốt tồn bộ sự đi lại giữa hai địa điểma và b, thì cần đặt ít nhất bao nhiêu trạm kiểm sốt?
Nếu ta biểu diễn mạng đường bằng một đồ thị (mỗi ngã ba, ngã tư là một đỉnh) thì chỉ cần tìm cấp liên thơng của a với b. Các trạm kiểm sốt
Chẳng hạn, Hình 2.3 là bản đồ một hệ thống sơng ngịi chảy từ vùng núi ra biển. Muốn kiểm soát thuyền bè đi từ vùng núi ra biển chỉ cần đặt ba trạm kiểm soát ở d, i, j (xem vùng núi và biển là hai đỉnh a, b của đồ thị).