Trong định nghĩa trên về liên thông cấp k giữa hai đỉnh a, b của một đồ thị G, nếu ta không buộc các đường đi nối a với b phải tách biệt, nghĩa là từng đơi một khơng có đỉnh chung ngoài a và b, mà chỉ buộc các đường đi
ấy từng đơi một khơng có cạnh chung, thì ta có một khái niệm liên thơng nhẹ hơn khái niệm trước. Để phân biệt, ta gọi khái niệm liên thông trước là "liên thơng đỉnh", cịn khái niệm mới là "liên thơng cạnh". Nói chính xác hơn, ta có
Định nghĩa 2.6 Hai đỉnh a, b của một đồ thị gọi là liên thông cạnh cấp `
1) có ít nhất ` đường đi sơ cấp, từng đơi một khơng có cạnh chung, nối
a với b;
2) khơng có `+ 1 đường đi như thế.
Bằng lập luận tương tự như đối với định lý Menger, ta có thể chứng minh mệnh đề sau đây.
Định lý 2.7 Muốn cho hai đỉnh a, b của một đồ thị G là liên thông cạnh cấp `, điều kiện cần và đủ là:
1) có ` cạnh sao cho khi rút đi tất cả các cạnh ấy thì a và b bị tách rời hồn tồn;
2) khơng có `−1 cạnh như thế.
Định nghĩa 2.7 Ta nói một đồ thị là ` - liên thơng cạnh, nếu nó có ít nhất ` cạnh, và mọi cặp đỉnh của nó đều liên thơng cạnh cấp ` trở lên. Khi đồ thị G là `- liên thông cạnh, nhưng không (`+ 1) - liên thơng cạnh thì số ` ấy gọi là số liên thông cạnh (edge-connectivity) của G và được ký hiệu là `(G). Nói riêng, ta có `(G) = 0 khi G không liên thông.
Để minh họa cho khái niệm số liên thông đỉnh κ(G) và số liên thông cạnh `(G) của đồ thị, ta xét hai đồ thị G và H vẽ ở Hình 2.6.
Dựa theo định nghĩa, có thể thấy dễ dàng rằng số liên thông cạnh bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng số liên thông đỉnh.
κ(G) ≤ `(G)≤ δ(G)
vì thế, số liên thơng (đỉnh) của đồ thị càng cao đòi hỏi bậc nhỏ nhất của đỉnh càng phải lớn. Ngược lại, bậc nhỏ nhất lớn không đảm bảo số liên thông (đỉnh) phải cao, kể cả khi số liên thơng cạnh có thể cao. Tuy nhiên điều này kéo theo sự tồn tai của một đồ thị con có số liên thơng (đỉnh) cao.
Định lý 2.8 (Mader, 1972). Mọi đồ thị mà bậc trung bình ≥ 4k sẽ có đồ thị con k - liên thông.
Chứng minh. Với k ∈ {0,1}, kết luận là hiển nhiên. Với k ≥ 2 xét đồ
thị G = (V, E) với số đỉnh n = |V| và số cạnh m = |E|. Bằng suy luận
quy nạp dễ dàng chứng minh kết quả mạnh hơn rằng G có đồ thị con k - liên thông nếu
(i) n ≥ 2k−1 và
(ii) m ≥ (2k−3)(n−k+ 1) + 1.
(Kết luận này thực sự mạnh hơn, cụ thể là (i) và (ii) suy ra từ giả thiết
d(G) ≥ 4k: (i) đúng vì n > 4(G) ≥ d(G) ≥ 4k và (ii) đúng là do
m = 1
2d(G)n ≥ 2kn.)
Ta chứng minh quy nạp theo n.
Nếun = 2k−1thìk = 1
2(n+1) và do đóm ≥ n(n−1)theo (ii). Như vậy
G = Kn ⊇ Kk+1 và kết luận là đúng. Bây giờ giả sử n ≥ 2k. Nếu v là một đỉnh mà d(v)≤ 2k−3, ta áp dụng giả thiết quy nạp đối với đồ thị G−v
và kết luận được chứng minh. Vì thế ta giả thiết δ(G) ≥ 2k−2. Nếu G là
k - liên thơng thì khơng cịn gì phải chứng minh. Vì thế ta giả thiết rằng
G khơng liên thơng, tức là có dạng G =G1∪G2 với |V(G1)∩V(G2)| < k
và |V(G1)|,|V(G2)|< n.
Do mỗi cạnh của G nằm trong G1 hoặc G2 nên G khơng có cạnh nào thuộc G1 − G2 và G2 − G1. Do mỗi đỉnh trong các đồ thị con này có ít nhấtδ(G) ≥ 2k−2 đỉnh láng giềng (đỉnh kề) nên ta có |V(G1)|,|V(G2)| ≥
thỏa mãn giả thiết quy nạp (và lúc đó kết thúc chứng minh): nếu khơng cái nào thỏa mãn thì
|E(Gi)| ≤(2k−3)(|V(Gi)| −k+ 1)
với i = 1,2 và do đó
m ≤ |E(G1)|+|E(G2)|
≤ (2k−3)(|V(G1)|+|V(G2)| −2k+ 2)
≤ (2k−3)(n−k+ 1)(do|V(G1)∩V(G2)| ≤ k−1)
trái với (ii).
Ta cũng có thể chứng minh định lý sau đây, tương tự như định lý Whitney.
Định lý 2.9 Một đồ thị với số cạnh ≥ ` là ` - liên thông cạnh khi và chỉ khi phải rút tối thiểu ` cạnh thì mới đủ phá vỡ sự liên thơng của nó.
Chú ý rằng những khái niệm và kết quả trên đây đều áp dụng được cho đa đồ thị. Tuy nhiên, sự mở rộng khái niệm liên thông đỉnh cho đa đồ thị không đưa tới điểm gì mới, vì trong sự khảo sát tính liên thơng đỉnh đối với một đa đồ thị có thể gộp nhiều cạnh nối cùng một cặp đỉnh thành một cạnh duy nhất: rõ ràng số liên thông đỉnh vẫn không thay đổi (trái lại, số liên thơng cạnh có thể giảm).
Ứng dụng. Trong chiến tranh, có khi người ta cần phá hủy một số
đường giao thông để cô lập một hay nhiều vùng trong một khu vực nào đó. Vấn đề đặt ra là cần phá hủy ít nhất bao nhiêu đường giao thường để đạt được mục đích? Nếu ta vẽ đa đồ thị G mà mỗi đỉnh là một vùng nói trên và các cạnh là những đường giao thông (cầu, hầm, đường xe lửa, v.v . . . ) nối liền các vùng ấy với nhau, thì vấn đề qui lại là tìm số liên thông cạnh của đa đồ thị G. Chẳng hạn, trên bản đồ giao thơng như vẽ ở Hình
2.7, chỉ cần phá hủy các cầu c−e, d−g, a−g là cả khu vực tách thành hai vùng không liên lạc được với nhau. (Hình 2.8).
Kết luận chương. Chương này đã trình bày khái niệm liên thông đỉnh,
liên thông cạnh của một đồ thị và các định lý về điều kiện để đồ thị là
Chương 3
CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ
Chương này trình bày một số tính chất về bậc của các đỉnh trong đồ thị dựa trên phép di chuyển bảo toàn bậc của các đỉnh, các khái niệm bán nhân tử, tập hợp tương thích lớn nhất và một số ứng dụng. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [4] và [5].
3.1. DI CHUYỂN TRÊN ĐỒ THỊ
Mục này đề cập tới một số tính chất về bậc của các đỉnh trong đồ thị và sẽ dùng một cách tiếp cận mới, dựa trên những phương pháp biến đổi bảo toàn bậc của các đỉnh, gọi là những phép di chuyển trên đồ thị.
Cho một đồ thị vô hướng bất kỳ G = (A, U), trong đó A là tập đỉnh và
U là tập cạnh của đồ thị. Ta gọi đồ thị bù của G là đồ thị G = (A, U) với
U = A × A− U nói cụ thể hơn (a, b) ∈ U khi và chỉ khi (a, b) ∈/ U. Sau đây các cạnh của G sẽ gọi là "cạnh đậm", các cạnh của G là "cạnh nhạt". Một đường đi µ = [u1, u2, .., uk] gọi là một đường đi xen kẽ đối với G (hay đối với U) nếu trong hai cạnh liên tiếp của µ bao giờ cũng có một cạnh đậm và một cạnh nhạt (Hình 3.1). Một đường đi xen kẽ, khép kín và chẵn (nghĩa là có một số chẵn cạnh) gọi là một chu trình xen kẽ (Hình 3.1).
Giả sử µ là một đường đi xen kẽ đối với G. Khi đó, nếu ta đổi các cạnh
đậm trên µ thành nhạt và ngược lại (tức là loại ra khỏi U các cạnh đậm trên µ và thêm vào U các cạnh nhạt trên µ) thì ta được một đồ thị mới
G1 = (A, U1), trong đó bậc của mỗi đỉnh vẫn như cũ, chỉ trừ bậc của mỗi
đầu mút củaµ có thể tăng hay giảm 1. Phép biến đổi ấy sẽ gọi là di chuyển đồ thị G (hay tập hợp U) trên µ.
Khi µ là một chu trình xen kẽ thì rõ ràng phép di chuyển trên µ sẽ bảo tồn bậc của mọi đỉnh, nghĩa là khơng làm thay đổi số cạnh liên thuộc mỗi đỉnh. Chính nhờ sự bảo tồn đó mà các phép di chuyển đó rất tiện lợi cho mục đích nghiên cứu của ta trong chương này.
3.2. ĐỒ THỊ ĐỒNG BẬC
Hai đồ thị G = (A, U) và G0 = (A, U0) cùng chung một tập hợp đỉnh gọi là đồng bậc nếu bậc của mỗi đỉnh trong G đều bằng bậc của nó trong
G0. Theo trên mỗi phép di chuyển trên một chu trình xen kẽ bao giờ cũng biến G thành một đồ thị G1 đồng bậc của nó. Ngược lại, cho trước hai đồ thị đồng bậc G và G0, có thể biến G thành G0 qua một số hữu hạn di chuyển không? Sau đây ta sẽ giải đáp vấn đề đó.
Cho hai đồ thị bất kỳ G = (A, U) và G0 = (A, U0) cùng chung một tập hợp đỉnh. Ta nói đường đi µ = [u1, u2, . . . , uk] là một đường đi phân biệt cho Gvà G0 (hay choU vàU0) nếu trên đường đi đó các cạnh của G nhưng
không thuộc G0 xen kẽ với các cạnh của G0 nhưng không thuộc G, bằng
nhau: u1 ∈ U −U0, u2 ∈ U0 − U, u3 ∈ U −U0, v.v . . . Một đường đi phân biệt, khép kín và chẵn, gọi là một chu trình phân biệt. Đương nhiên một đường đi (chu trình) phân biệt cho G và G0 cũng là xen kẽ đối với G (và đối với G0).
Bổ đề 3.1 Hai đồ thị đồng bậc G 6= G0 phải có ít nhất một chu trình đơn giản, phân biệt.
Chứng minh. VìG 6= G0 nên phải có một cạnh u1 = (ai1, ai2)∈ U−U0. Nhưng theo giả thiết số cạnh trong G liên thuộc ai2 bằng số cạnh trong G0
liên thuộc cùng đỉnh ấy, cho nên nếu đã có một cạnh u1 ∈ U −U0 thì phải có một cạnh u2 = (ai2, ai3) ∈ U0 − U, rồi cũng theo lập luận đó phải có một cạnh u3 = (ai3, ai4)∈ U −U0, v.v . . . Vì số cạnh của hai đồ thị là hữu hạn, nên cứ tiếp tục q trình trên, sẽ có lúc ta gặp một cạnh uis+1 trùng với một cạnh uik đã đi qua. Lúc đó µ = [aik, aik+1, . . . , ais] cho ta một chu trình đơn giản, phân biệt cho G và G0.
Định lý 3.1 Nếu hai đồ thị G = (A, U) và G0 = (A, U0) là đồng bậc thì
G0 có thể suy ra từ G bằng một số hữu hạn di chuyển trên những chu trình đơn giản từng đơi một khơng có cạnh chung.
Chứng minh. Gọi q là số cạnh của G không thuộc G0. Dĩ nhiên ta chỉ cần xét q > 0. Theo bổ đề trên, có một chu trình phân biệt µ cho G và
G0: thực hiện di chuyển trên µ cho G ta được một đồ thị G1, trong đó số cạnh khơng thuộc G0 là q1 ≤ q −1.
Nếu q1 vẫn > 0 thì ta lại tìm một chu trình phân biệt µ2 cho G1 và G0, rõ ràng µ2 cũng là một chu trình phân biệt giữa G và G0, và µ2 khơng có cạnh chung với µ1. Khi thực hiện di chuyển trên µ2 cho G1 ta được một đồ thị G2, trong đó số cạnh khơng thuộc G0 là q2 ≤ q1−1, v.v . . . Vì số cạnh
là hữu hạn nên đến một lúc nào đó ta được một đồ thị Gh với qh = 0. Dĩ
Hệ quả 3.1 Nếu hai đồ thị G = (A, U) và G0 = (A, U0) là đồng bậc, và
u ∈ U −U0, thì có tồn tại một chu trình đơn giản, phân biệt µ duy nhất đi qua cạnh u.
Chứng minh. Giả sử µ1, µ2. . . , µk là các chu trình đơn giản, phân biệt mà các phép di chuyển tương ứng sẽ biến G thành G0. Dĩ nhiên đó là tất cả các chu trình đơn giản phân biệt, và trong số đó phải có một chu trình (và một mà thơi) đi qua u, vì nếu khơng thì các phép di chuyển nói trên
khơng thể làm cho G trùng với G0.
3.3. BÁN NHÂN TỬ
Một đồ thị bộ phận F = (A, V) của một đồ thị cho trước G = (A, U),
trong đó V ⊂ U gọi là một bán nhân tử của G, nếu mọi đỉnh a ∈ A đều có bậc 2 trong F. Một bán nhân tử có thể gồm một hay nhiều chu trình sơ cấp rời nhau (Hình 3.2 a). Nếu nó chỉ gồm một chu trình sơ cấp duy nhất thì ta gọi nó là một chu trình Haminton (Hamilton). Nói cách khác, một chu trình Haminton của đồ thị G là một chu trình của G, đi qua mỗi
đỉnh của G vừa đúng một lần (Hình 3.2 b).
Ví dụ 3.1 Một nhân viên bưu điện hàng ngày phải đến mở từng hòm thư ở các địa điểm b, c, d, . . . (Hình 3.2 b), để lấy thư đưa về sở bưu điện a.
Đương nhiên, cần phải tìm một hành trình ngắn nhất có thể được, xuất phát từ a và đi qua mỗi đỉnh b, c, d, . . . vừa đúng một lần để cuối cùng
trở về a. Như vậy vấn đề chung qui là tìm một chu trình Haminton ngắn
nhất của đồ thị G.
Bài tốn nêu trong ví dụ trên thường gọi là bài toán người du lịch, và cho đến nay vẫn chưa có một cách giải hiệu quả, mặc dù đã được rất nhiều nhà tốn học chú ý nghiên cứu. Đó cũng là một bài tốn nổi tiếng khó nhất của tốn ứng dụng.
Dựa vào Định lý 3.1 và hệ quả của nó ta có thể tìm được dễ dàng một bán nhân tử (nếu có) của một đồ thị G cho trước theo cách sau đây: xuất phát từ một đỉnh (mỗi đỉnh chỉ qua một lần), nếu tới một đỉnh e nào đó mà khơng có cạnh nào dẫn tới một đỉnh mới (nghĩa là một đỉnh chưa từng đi qua) ta thêm vào đồ thị một cạnh "giả" để có thể tiếp tục đi nữa. Như thế cuối cùng ta vẽ được một chu trình H đi qua mỗi đỉnh vừa đúng một lần nhưng trong đó có thể có cả một số cạnh "giả" mới thêm vào. Gọi u
là một cạnh giả ấy. Nếu G có một bán nhân tử thì bán nhân tử đó và H
có cùng bậc 2 ở mỗi đỉnh nên theo Hệ quả 3.1, ta tìm được một chu trình đi qua cạnh giả u, và trên đó các cạnh "thật" (cạnh thuộc G) xen kẽ với
những cạnh "giả". Thực hiện di chuyển trên chu trình này, ta được bán nhân tử H1, trong đó số cạnh giả đã giảm bớt so với H.
Lặp lại phép toán trên nhiều lần, ta bỏ dần được các cạnh giả và cuối cùng thu được một bán nhân tử khơng có cạnh giả, tức là một bán nhân tử của G. Nếu trong q trình đó, lúc nào ta gặp một cạnh giả mà khơng
có chu trình xen kẽ (gồm cạnh thật và cạnh giả xen kẽ nhau) đi qua nó, tức là G khơng có bán nhân tử và ta khơng cần tiếp tục nữa.
3.4. TẬP HỢP TƯƠNG THÍCH LỚN NHẤT
Cho một đồ thị G = (A, U) và ứng với mỗi đỉnh a ∈ A cho một số tự nhiên γ(a), bé hơn hay bằng bậc của a trong G. Ta nói một tập hợp
W ⊂ U, hay đồ thị bộ phận (A, W) là tương thích với hàm γ(a) nếu bậc của mỗi đỉnh a∈ A trong đồ thị (A, W) là tw(a) ≤ γ(a).
Ta ký hiệu |W| là số phần tử của tập hợp W. Nếu khơng có tập hợp tương thích W0 nào với |W0| >|W| thì W được gọi là tập hợp tương thích lớn nhất và đồ thị (A, W)được gọi là đồ thị bộ phận tương thích lớn nhất. Giả sử ta có hai tập hợp tương thích W và W0. Một đường đi phân biệt
µ = [u1, u2, . . . , uk] cho hai tập hợp W và W0, theo định nghĩa ở trên là một đường đi trong đó các cạnh thuộc W −W0 xen kẽ với các cạnh thuộc
W0 − W. Đường đi phân biệt đó được gọi là đầy đủ nếu nó là đơn giản (không đi qua cạnh nào hai lần trở lên) và không chứa trong một đường đi đơn giản phân biệt nào khác nó. Một đường điµ xen kẽ đối với W được gọi là sửa được cho W nếu phép di chuyển tập hợp W trên µ cho ta một tập hợp W1 cũng tương thích.
Bổ đề 3.2 Một đường đi phân biệt, đầy đủ µ = [u1, u2, . . . , uk] cho hai tập hợp tương thích W và W0 thì bao giờ cũng là sửa được cho W (và cho W0).
Chứng minh. Nếu µ có chứa những chu trình phân biệt thì rõ ràng sự di chuyển trên các chu trình đó khơng ảnh hưởng gì đến tính tương thích, cho nên thực hiện trước sự di chuyển trên các chu trình đó (nếu có), ta có thể coi như µ khơng chứa những chu trình phân biệt.
Cho a là điểm gốc của µ, và giả sử u1 ∈ W0 −W. Gọi Wa(Wa0) là tập hợp các phần tử của W(W0) liên thuộc a, µa là tập hợp các phần tử của µ
liên thuộc a(µa ⊂ W0 và có 1 hoặc 2 phần tử tùy theo a 6= b hoặc a = b).
Ta thấy rằng Wa ⊂ Wa0 −µa vì nếu có một cạnh u ∈ Wa−(Wa0 −µa) thì