Định nghĩa 2.2 Cho số tự nhiên k. Ta nói một đồ thị là k - liên thông,
khi mà số đỉnh của nó lớn hơn k và mọi cặp đỉnh của nó đều liên thơng cấp k trở lên.
Định nghĩa 2.3 Nếu một đồ thị G là k - liên thông, nhưng khơng (k+ 1)
- liên thơng thì số k ấy gọi là số liên thông (connectivity) của đồ thị G và được ký hiệu là κ(G).
Theo định nghĩa này κ(G) = 0 khi và chỉ khi G không liên thông hoặc
G chỉ gồm một đỉnh duy nhất và κ(Kn) = n−1 đối với mọi n > 1.
Định nghĩa 2.4 Một tập hợp đỉnh E ⊂ A gọi là một tập hợp khớp của đồ thị G = (A, U) nếu đồ thị còn lại sau khi rút đi tập hợp E (cùng các cạnh liên thuộc E) là không liên thông.
Định lý sau nêu mối liên hệ giữa tính liên thơng và tập hợp khớp.
Định lý 2.2 (Whitney, 1932). Một đồ thị có số đỉnh lớn hơn max
(2, k), nghĩa là lớn hơn 2 và lớn hơn k, là k - liên thông khi và chỉ khi
mọi tập hợp khớp của nó đều có ít nhất k phần tử.
Chứng minh. Nếu một đồ thị G có một tập hợp khớp E với h < k
phần tử, thì sau khi rút E phải có ít nhất hai đỉnh bị tách rời hoàn toàn, tức là theo định lý 2.1, hai đỉnh ấy liên thông cấp 1 ≤ h < k. Vậy nếu G
là k - liên thơng thì mọi tập hợp khớp của nó có ít nhất k phần tử.
Ngược lại, giả sử mọi tập hợp khớp của G đều có ít nhất k phần tử và cho a, b là hai đỉnh tùy ý của G. Nếu a, b khơng kề nhau thì theo định lý 2.1, chúng liên thơng cấp k trở lên. Cịn nếu a, b kề nhau thì ta gọi G0 là đồ thị G bỏ đi cạnh (a, b). Trong G0 muốn tách rời được a với b phải rút ít nhất k−1 đỉnh khác a, b.
Thật vậy, giả sử trái lại là có h < k−1 đỉnh khác a, b, mà sau khi rút đi
thì a và b bị tách rời trong G0. Khi đó trong G hai đỉnh a, b chỉ cịn được nối bởi cạnh (a, b) mà thơi. Vì số đỉnh của G lớn hơn k nên sau khi rút h
đỉnh nói trên thì ngồi a và b ra phải cịn ít nhất một đỉnh nữa, do đó chỉ cần rút thêm a hay b thì phá được sự liên thơng của G. Thế là có một tập
hợp khớp của G chỉ gồm h+ 1 < k đỉnh, trái với giả thiết. Vậy trong G0
phải rút ít nhất k−1 đỉnh mới tách rời được a với b.
Do đó theo Định lý 2.1, trong G0 phải có ít nhất k −1 đường đi tách biệt nối a với b; k−1 đường đi ấy, cùng với cạnh (a, b) làm thành k đường đi tách biệt nối a với b trong G. Vậy G là k - liên thơng.
Các tính chất đơn giản sau đây cũng đáng được chú ý.
Định lý 2.3 Trong một đồ thị k - liên thông, bậc của mọi đỉnh đều ≥ k.
Chứng minh. Giả sử G là k - liên thông và a là một đỉnh bất kỳ của nó. Vì số đỉnh của G lớn hơn k, nên phải có ít nhất một đỉnh b 6= a, và
hai đỉnh a, b phải được nối liền bởi ít nhất k đường đi tách biệt. Vậy phải có ít nhất k cạnh liên thuộc a, nghĩa là bậc của a phải ≥ k
Định lý 2.4 Trong một đồ thị k - liên thông, khi bỏ đi một đỉnh hay một cạnh thì cịn lại một đồ thị (k−1) - liên thông.
Chứng minh. Cho n là số đỉnh của đồ thị. Vì n > k nên khi bỏ một đỉnh thì số đỉnh cịn lại là n − 1 > k − 1; mặt khác, muốn phá sự liên
thơng của đẳng thức mới cần rút đi ít nhất k− 1 đỉnh. Vậy đồ thị mới
là (k−1)-liên thông. Nếu ta không bỏ một đỉnh, mà bỏ một cạnh thì lập
luận cũng tương tự.