Thæng th÷íng khi t¼m líi gi£i cho b i to¡n c¥n b¬ng, ngo i nhúng °c t½nh chung cõa song h m c¥n b¬ng ban ¦u f, ng÷íi ta th÷íng quan t¥m ¸n nhúng kh½a c¤nh °c bi»t th¶m v o n o â cõa nâ, ch¯ng h¤n nh÷ t½nh lçi m¤nh cõa nâ theo bi¸n thù hai, hay t½nh ìn i»u m¤nh cõa nâ, c¡c t½nh ch§t n y th÷íng gióp cho vi»c t¼m ki¸m líi gi£i trð n¶n d¹ d ng hìn. Nâi c¡ch kh¡c, º gi£i b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f) ng÷íi ta th÷íng t¼m c¡ch ÷a v· vi»c gi£i mët b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, g) t÷ìng ÷ìng vîi nâ nh÷ng d¹ gi£i hìn theo ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn t¼m ki¸m líi gi£i. Sau ¥y l mët sè ành lþ v· b i to¡n c¥n b¬ng t÷ìng ÷ìng.
X²t b i to¡n c¥n b¬ng trong khæng gian húu h¤n chi·u. Gi£ thi¸t C l mët tªp lçi trong khæng gian Rn.
ành lþ 1.3.1. (xem [11], Theorem 2.2) Gi£ sû C ⊆ Rn l mët tªp lçi v
f, g : Rn×Rn →R∪ {+∞} l c¡c song h m sao cho vîi méi x∈ C cè ành thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
(a) f(x, x) = g(x, x) = 0;
(b) f(x, .) v g(x, .) l c¡c h m lçi tr¶n C;
(d) S
r>0r∂yf(x, x) = S
s>0s∂yg(x, x).
Khi â b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n c¥n b¬ng
EP(C, g), tùc l Sf = Sg.
H» qu£ 1.3.2. (xem [7]) Gi£ sû :
(a) f : C×C →R l song h m c¥n b¬ng sao cho f(x, .) lçi v kh£ vi tr¶n
C vîi méi x ∈ C cè ành;
(b) l : C ×C →R l h m khæng ¥m sao cho l(x, .) kh£ vi vîi méi x ∈ C
v thäa m¢n c¡c i·u ki»n:
l(x, x) = 0,5yl(x, x) = 0,∀x ∈ C.
Khi â, x∗ ∈ C l nghi»m cõa b i to¡n EP(C, f) khi v ch¿ khi nâ l nghi»m cõa b i to¡n EP(C, f) vîi f(x, y) = f(x, y) +l(x, y) v l mët sè d÷ìng b§t k¼.
Bê · 1.3.3. (xem [7], Proposition 2.1) Gi£ sû h l mët h m sè kh£ vi li¶n töc v δ−lçi m¤nh tr¶n C, f : C ×C → R l song h m c¥n b¬ng x¡c ành tr¶n C sao cho vîi méi x ∈ C h m sè f(x, .) l lçi, nûa li¶n töc d÷îi v kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n C, khi â iºm x∗ ∈ C l mët nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f) khi v ch¿ khi nâ l nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng sau:
T¼m x∗ ∈ C : f(x∗, y) +h(y)−h(x∗)− h5h(x∗), y−x∗i ≥ 0,∀y ∈ C.
Bê · 1.3.4. ([7]). Vîi c¡c gi£ thi¸t cõa Bê · tr¶n th¼ iºm x∗ ∈ C l mët nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f) n¸u v ch¿ n¸u:
Bê · 1.3.5. (xem [8], Proposition 2.1.15). Gi£ sû b i to¡n c¥n b¬ngEP(C, f) câ nghi»m vîi f : C ×C → R∪ {+∞} l song h m c¥n b¬ng x¡c ành tr¶n
C sao cho vîi méi x ∈ C h m sè f(x, .) l lçi, nûa li¶n töc d÷îi tr¶n C,
f(., y) l h m sè nûa li¶n töc tr¶n vîi méi y ∈ C v f l gi£ ìn i»u tr¶n
C theo tªp nghi»m Sf cõa nâ. Khi â, Sf l mët tªp lçi âng v ta câ:
f(x∗, y) ≥ 0,∀y ∈ C khi v ch¿ khi f(y, x∗) ≤ 0,∀y ∈ C.