B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp nghi»m

to¡n c¥n b¬ng

Gi£ sû C ⊂ H l  tªp lçi âng kh¡c réng v  ¡nh x¤ G: C →H, v  f(x, y) l  song h m c¥n b¬ng x¡c ành tr¶n C. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng V IEP(C, f, G) l  b i to¡n:

T¼m iºm x∗ ∈ Sf sao cho hG(x∗), y−x∗i ≥ 0,∀y ∈ Sf,

ð â Sf l  tªp nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n sau: T¼m iºm u ∈ C sao cho f(u, y) ≥ 0,∀y ∈ C.

Vîi méix, y ∈ C °tg(x, y) = hG(x), y−xi, ta ÷a ÷ñc b i to¡nV IEP(C, f, G) v· b i to¡n BEP(C, f, g).

Mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n V IEP(C, f, G) l  khi G(x) = x−xg, trong tr÷íng hñp n y b i to¡n V IEP(C, f, G) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n

M N EP(C, f) sau:

min

x∈Sfkx−xgk,

tùc l  b i to¡n t¼m h¼nh chi¸u cõa iºm xg xuèng tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng Sf. B i to¡n M N EP(C, f) xu§t hi»n khi ta ¡p döng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n c¥n b¬ng.

Ch֓ng 2

Ph÷ìng ph¡p chi¸u gi£i b i to¡n c¥n b¬ng

C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n c¥n b¬ng ÷ñc ph¡t triºn chõ y¸u tø c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Trong c¡c ph÷ìng ph¡p â, ph÷ìng ph¡p chi¸u âng mët vai trá quan trång v¼ sü ìn gi£n v  thuªn ti»n khi t½nh to¡n. Trong ch÷ìng n y, ta s³ tr¼nh b y mët ph÷ìng ph¡p chi¸u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n gi£ ìn i»u, ph¦n ti¸p theo tr¼nh b y mët ph÷ìng ph¡p chi¸u cho b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u v  ¡p döng gi£i mët sè b i to¡n hai c§p. Nëi dung cõa ch÷ìng chõ y¸u ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [4], [5], [6], [12].

2.1 Thuªt to¡n chi¸u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n gi£ ìn i»u

T¼m x∗ ∈ C sao cho hF(x∗), y−x∗i ≥ 0,∀y ∈ C.

º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(C, F) ng÷íi ta ¢ x¥y düng c¡c thuªt to¡n chi¸u, trong â câ thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng hay thuªt to¡n chi¸u k²p.

Thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng: B÷îc khði t¤o: x0 ∈ C, τ > 0, k = 0.

B÷îc l°p thù k (k=0,1,2,...). Câ xk ta thüc hi»n c¡c b÷îc sau: B÷îc 1 : T½nh xk+12 = PC(xk −τ F(xk))

B÷îc 2 : N¸u xk+12 = xk, th¼ døng, xk l  nghi»m.

Ng÷ñc l¤i, t½nh xk+1 = PC(xk −τ F(xk+12 )), thay k bði k + 1 v  chuyºn ¸n B÷îc l°p thù k .

Vîi c¡c gi£ thi¸t to¡n tû F l  li¶n töc v  Lipchitz vîi h¬ng sè L v  gi£ ìn i»u tr¶n C theo tªp nghi»m SF cõa nâ, b¬ng c¡ch chån tham sè hi»u ch¿nh τ < L1, th¼ d¢y

xk sinh bði thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng hëi tö tîi nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(C, F).

Thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng câ iºm ÷u vi»t l  nâ câ thº ¡p döng ÷ñc cho mët lîp rëng lîn c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n gi£ ìn i»u theo tªp nghi»m. Lîp to¡n tû gi£ ìn i»u n y kh¡ têng qu¡t nh÷ng nâ v¨n cán mët sè h¤n ch¸ nh÷ l  : t¤i méi b÷îc l°p, chóng ta ph£i t½nh hai ph²p chi¸u; ái häi ph£i bi¸t h¬ng sè Lipchitz L cõa to¡n tû F m  trong nhi·u tr÷íng hñp , khi h¬ng sè L khâ t¼m ho°c to¡n tû F khæng Lipchitz th¼ chóng ta khæng thº ¡p döng thuªt to¡n n y mët c¡ch trüc ti¸p. M. V.

Solodov v  B. F. Svaiter ¢ · xu§t thuªt to¡n (gåi l  thuªt to¡n Solodov Svaiter) b¬ng c¡ch k¸t hñp giúa thuªt to¡n chi¸u v  quy t­c t¼m ki¸m theo tia Armijo º gi£i quy¸t nhúng v§n · tr¶n.

Thuªt to¡n 2.1: Thuªt to¡n Solodov Svaiter. B÷îc khði t¤o : x0 ∈ C, γ, σ ∈ (0,1), k = 0.

B÷îc l°p thù k (k=0,1,2,...). Câ xk ta thüc hi»n c¡c b÷îc sau:

B÷îc 1 : T½nh r(xk) = xk −PC(xk −F(xk)). N¸u r(xk) = 0 th¼ døng, xk l  nghi»m, ng÷ñc l¤i, chuyºn sang B÷îc 2

B÷îc 2 : T¼m mk l  sè nhä nh§t trong c¡c sè nguy¶n d÷ìng m thäa m¢n:

hF(xk−γmr(xk)), r(xk)i ≥ σkr(xk)k2. (2.1) °t ηk = γmk, zk = xk −ηkr(xk).

B÷îc 3 : T½nh xk+1 = PC∩Hk(xk), vîi Hk = x∈ Rn :hF(zk), x−zki ≤ 0 thay k bði k + 1 v  chuyºn ¸n B÷îc l°p thù k.

Sau ¥y ta s³ x²t c¡c Bê · sau.

Bê · 2.1.1. Gi£ sû x ∈ Rn, C l  tªp lçi âng trong khæng gian Rn. Vîi méi z ∈ C ta ành ngh¾a nûa khæng gian Hz nh÷ sau :

Hz = {x ∈ Rn : hF(z), x−zi ≤ 0}.

Khi â, n¸u u = PC∩Hz(x) th¼ u = PC∩Hz(x), vîi x = PHz(x).

Chùng minh. °t v = PC∩Hz(x) ta s³ ch¿ ra v = u. Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i u 6= v th¼ theo t½nh ch§t cõa ph²p chi¸u l¶n tªp lçi âng ta câ

M°t kh¡c , do Hz l  nûa khæng gian n¶n ta câ x−x trüc giao vîi u−x v 

v −x.

Theo ành lþ Pitago ta câ:

kx−uk2 = kx−xk2 + kx−uk2,

kx−vk2 = kx−xk2 + kx−vk2

L¤i câ u = PC∩Hz(x) n¶n kx−uk < kx−vk. Tø â suy ra kx−uk< kx−vk, i·u n y m¥u thu¨n vîi kx−vk< kx−uk.

Vªy u = v hay u = PC∩Hz(x).

Bê · 2.1.2. Cho C l  mët tªp lçi âng kh¡c réng trong Rn, to¡n tû

F :C → Rn gi£ ìn i»u tr¶n C theo tªp nghi»m SF cõa b i to¡nV IP(C, F) v  li¶n töc tr¶n Rn. Khi â ph¦n tû zi trong thuªt to¡n Solodov- Svaiter ÷ñc x¡c ành tèt, theo ngh¾a, ð méi b÷îc l°p thù k tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng m

thäa m¢n (2.1) v  vîi méi x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n V IP(C, F) ta câ

kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 − kxk+1 −xkk2 − ηk.σ kF(zk)k 2 kr(zk)k4, (2.2) ð â xk = PHk(xk).

Chùng minh. ¦u ti¶n, ta s³ ch¿ ra tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng m thäa m¢n (2.1). Thªt vªy, gi£ sû vîi méi xk ∈ C ta câ

hF(xk−γm.r(xk)), r(xk)i < σkr(zk)k2,∀m. (2.3) Do xk −γm.r(xk) →xk khi m →+∞ v  F li¶n töc n¶n trong (2.3) chuyºn

qua giîi h¤n khi m → +∞, ta câ

hF(xk), r(xk)i ≤ σkr(zk)k2. (2.4) M°t kh¡c, theo t½nh ch§t cõa ph²p chi¸u ta câ

0 ≥ hxk −F(xk)−PC[xk −F(xk)], xk −PC[xk −F(xk)]i

= hr(xk)−F(xk), r(xk)i = kr(zk)k2 − hF(xk), r(xk)i,

hay

kr(zk)k2 ≤ hF(xk), r(xk)i. (2.5) i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.4) do σ < 1 v  kr(zk)k > 0. Vªy tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng m thäa m¢n (2.1).

B¥y gií ta chùng minh (2.2). V¼ xk+1 = PC∩Hk(xk) v  xk = PHk(xk) n¶n theo Bê · 2.1.1 th¼ xk+1 = PC∩Hk(xk). V  do x∗ ∈ SF ⊂ C ∩ Hk n¶n theo t½nh ch§t cõa ph²p chi¸u ta câ

0≥ hxk −xk+1, x∗ −xk+1i = kxk+1 −xkk2 +hxk−xk+1, x∗ −xki ⇔ hxk+1 −xk, x∗ −xki ≥ kxk+1 −xkk2. V¼ kxk+1 −x∗k2 = kxk−x∗k2 +kxk+1 −xkk2 + 2hxk+1 −xk, xk −x∗i, n¶n kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 − kxk+1 −xkk2. (2.6)

Ta d¹ kiºm tra ÷ñc xk = PHk(xk) =xk − hF(z k), xk −zki kF(zk)k2 F(zk) = xk − ηkhF(z k), r(xk)i kF(zk)k2 F(zk). Th¸ v o (2.6) ta câ kxk+1 −x∗k2 ≤ kxk−x∗k2 − kxk+1 −xkk2 + ηkhF(zk), r(xk)i kF(zk)k 2 −2ηkhF(zk), r(xk)i kF(zk)k2 .hF(zk), xk−x∗i = kxk −x∗k2 − kxk+1 −xkk2 − ηkhF(zk), r(xk)i kF(zk)k 2 −2ηkhF(zk), r(xk)i kF(zk)k2 .hF(zk), zk −x∗i = kxk −x∗k2 − kxk+1 −xkk2 − ηkσ kF(zk)k 2 kr(xk)k4.

ành lþ 2.1.3. Gi£ sû b i to¡n V IP(C, F) câ nghi»m v  to¡n tû F li¶n töc tr¶n Rn, gi£ ìn i»u tr¶n C theo tªp nghi»m SF cõa b i to¡n V IP(C, F). Khi â, d¢y

xk trong Thuªt to¡n Solodov-Svaiter hëi tö v· mët nghi»m cõa b i to¡n V IP(C, F).

Chùng minh. Gi£ sû x∗ l  mët nghi»m n o â cõa b i to¡n V IP(C, F). Theo Bê · 2.1.2 ta câ

kxk+1 −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 − kxk+1−xkk2 − ηkσ kF(zk)k 2 kr(xk)k4. (2.7) Do â d¢y

kxk −x∗k l  d¢y khæng ¥m, ìn i»u gi£m n¶n nâ hëi tö. V¼ vªy d¢y

kF(zk)k ≤ M,∀k. Thay v o (2.7) ta câ

kxk+1 −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 − kxk+1−xkk2 − σ

M

2

ηk2kr(xk)k4. (2.8) L§y giîi h¤n hai v¸ cõa (2.8) ta ÷ñc

lim k→∞ηkkr(xk)k. (2.9) Ta x²t hai tr÷íng hñp: Tr÷íng hñp 1. lim k→∞ηk > 0. Do r(.) l  li¶n töc v  xk bà ch°n n¶n tçn t¤i xˆ l  mët iºm tö cõa d¢y

xk sao cho r(ˆx) = 0. i·u n y chùng tä xˆ ∈ SF, v¼ th¸ ¡p döng (2.7) vîi x∗ = ˆx ta câ d¢y

kxk −xˆk hëi tö. V  tø xˆ l  mët iºm tö cõa d¢y

xk ta suy ra d¢y

kxk −xˆk hëi tö v· 0 tùc d¢y

xk

hëi tö ¸n xˆ ∈ SF. Tr÷íng hñp 2. lim

k→∞ηk = 0. Theo c¡ch x¥y düng ηk cõa Thuªt to¡n Solodov- Svaiter th¼ (2.1) khæng thäa m¢n vîi mk −1 tùc l  ta câ

hF(xk −γ−1ηk.r(xk)), r(xk)i < σkr(xk)k2,∀k > k0. (2.10) Gièng Tr÷íng hñp 1, gåi xˆ l  mët iºm tö cõa d¢y

xk v  d¢y

xki l  d¢y t÷ìng ùng hëi tö ¸n xˆ. Chuyºn qua giîi h¤n trong (2.10) v  ¡p döng (2.5) ta câ

σkr(ˆx)k2 ≥ hF(ˆx), r(ˆx)i ≥ kr(ˆx)k2.

i·u n y chùng tä r(ˆx) = 0 hay xˆ ∈ SF. Thay x∗ = ˆx trong (2.8) ta suy ra

xk hëi tö ¸n xˆ∈ SF.

Thuªt to¡n chi¸u Solodov-Svaiter câ nhi·u °c iºm nêi bªt nh÷: nâ câ thº ¡p döng cho mët lîp kh¡ rëng c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

V IP(C, F) vîi to¡n tû F ch¿ ái häi t½nh gi£ ìn i»u theo tªp nghi»m, t½nh li¶n töc m  khæng nh§t thi¸t ph£i câ t½nh Lipchitz; sè b÷îc l°p ½t hìn so vîi c¡c thuªt to¡n kh¡c.

2.2 Thuªt to¡n chi¸u gi£i b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u

Gi£ sû Ω ⊆ Rn l  mët tªp lçi mð chùa tªp lçi âng C v  f : Ω×Ω → R

l  song h m c¥n b¬ng x¡c ành tr¶n C, tùc l  f(x, x) = 0; x²t b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f) nh÷ sau:

T¼m x∗ ∈ C sao cho f(x∗, y) ≥0,∀y ∈ C.

Gåi Sf l  tªp nghi»m cõa b i to¡n EP(C, f). Ta x²t c¡c gi£ thi¸t sau: (1) H m f(., y) li¶n töc tr¶n Ω vîi méi y ∈ C;

(2) H m f(x, .) l  lçi tr¶n Ω vîi méi x∈ C;

(3) H m f l  gi£ ìn i»u tr¶nC theo tªp nghi»m Sf cõa b i to¡n c¥n b¬ng

EP(C, f).

Vîi méi z ∈ C, ta k½ hi»u ∂2f(z, z) l  tªp c¡c d÷îi ¤o h m cõa h m

f(z, .) t¤i iºm z, tùc l :

∂2f(z, z) = {ω ∈ Rn :f(z, y) ≥f(z, z) +hω, y−zi,∀y ∈ C}

= {ω ∈ Rn :f(z, y) ≥ hω, y−zi,∀y ∈ C},

v  vîi méi z ∈ C, ω ∈ ∂2f(z, z) , ta ành ngh¾a nûa khæng gian Hz nh÷ sau:

Bê · sau ¥y cho ta mèi quan h» giúa tªp nghi»m Sf cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f) v  nûa khæng gian Hz.

Bê · 2.2.1. Gi£ sû song h m f thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t (2) v  (3), khi â ta câ Sf ⊆ Hz vîi måi z ∈ C.

Chùng minh. Gi£ sû x∗ ∈ Sf. Theo gi£ thi¸t ω ∈ ∂2f(z, z) v  h m f(z, .) l  lçi tr¶n C n¶n ta câ

hω, x∗ −zi ≤ f(z, x∗)−f(z, z) ≤ f(z, x∗),∀y ∈ C.

V¼ x∗ ∈ Sf n¶n f(x∗, z) ≥ 0. K¸t hñp i·u n y vîi gi£ thi¸t song h m f l  gi£ ìn i»u theo x∗ tr¶n C n¶n ta câ f(z, x∗) ≤ 0. Do â hω, x∗ −zi ≤ 0, tø â suy ra x∗ ∈ Hz.

Bê · 2.2.2. Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (1) v  (2) ÷ñc thäa m¢n v 

zk ⊂ C

l  mët d¢y hëi tö v· z sao cho

ωk hëi tö v· ω, vîi ωk ∈ ∂2f(zk, zk) vîi måi k, khi â ta câ ω ∈ ∂2f(z, z).

Chùng minh. Thªt vªy, n¸u ωk ∈ ∂2f(zk, zk), th¼ theo ành ngh¾a d÷îi ¤o h m ta câ:

f(zk, y) ≥ f(zk, zk) +hωk, y −zki = hωk, y−zki,∀y ∈ C.

Chuyºn qua giîi h¤n b§t ¯ng thùc tr¶n khi k → ∞ v  do t½nh nûa li¶n töc tr¶n cõa h m f(., y) theo bi¸n thù nh§t ta thu ÷ñc:

f(z, y) ≥lim sup

k→∞

f(zk, y) ≥ lim

k→∞hωk, y−zki = hω, y−zi,∀y ∈ C.

Bê · 2.2.3. Gi£ sû song h m f thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t (1) v  (2), h m h

l  δ−lçi m¤nh v  kh£ vi li¶n töc tr¶n Ω. N¸u

xk ⊂ C l  mët d¢y bà ch°n v  yk l  d¢y ÷ñc x¡c ành bði: yk = argmin f(xk, y) + 1 ρ h(y)−h(xk)− h5h(xk), y −xki : y ∈ C , th¼ yk l  d¢y bà ch°n.

Chùng minh. ¦u ti¶n ta chùng minh r¬ng n¸u c¡c d¢y

xk hëi tö v· x∗

th¼

yk l  d¢y bà ch°n. Thªt vªy, n¸u tªp C bà ch°n th¼ rã r ng d¢y

yk công bà ch°n n¶n ta ch¿ c¦n x²t khi tªp C khæng bà ch°n. Do yk = argmin f(xk, y) + 1 ρ h(y)−h(xk)− h5h(xk), y −xki : y ∈ C , v  f(xk, xk) + 1 ρ h(xk)−h(xk)− h5h(xk), xk −xki = 0, n¶n ta câ f(xk, yk) + 1 ρ h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk −xki ≤ 0,∀k. V¼ f(xk, .) +1ρh(.)−h(xk)− h5h(xk), .−xki l  h m lçi m¤nh tr¶n C vîi h» sè δ

ρ n¶n vîi måi ωk ∈ ∂2f(xk, xk) ta câ

f(xk, yk) + 1 ρ h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk −xki ≥ hωk, yk −xki+ δ ρkyk −xkk2. Tø ¥y suy ra 0 ≥ −kωkkkyk −xkk+ δ ρkyk−xkk2,

hay kyk −xkk ≤ δ ρkωkk. Bði v¼ d¢y xk hëi tö v· x∗ v  ωk ∈ ∂2f(xk, xk) n¶n theo ành lþ 1.1.14, d¢y ωk bà ch°n, k¸t hñp vîi d¢y xk bà ch°n, ta suy ra d¢y yk công bà ch°n.

B¥y gií ta i chùng minh Bê · 2.2.3. Gi£ sû ph£n chùng r¬ng d¢y

yk

khæng bà ch°n, tùc l  tçn t¤i d¢y con {yki} ⊆ {yk} sao cho limi→∞kykik = +∞. Do d¢y

xk bà ch°n n¶n d¢y con xki công l  d¢y bà ch°n, khæng gi£m têng qu¡t ta gi£ sû limi→∞xki = x∗. Theo chùng minh tr¶n, ta suy ra d¢y

{yki} bà ch°n. i·u n y m¥u thu¨n. Vªy

yk l  d¢y bà ch°n. Sau ¥y l  thuªt to¡n cho b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u. Thuªt to¡n 2.2

B÷îc khði t¤o. Chån x0 ∈ C v  c¡c tham sè ch½nh quy η ∈ (0,1), ρ > 0.

B÷îc l°p thù k (k=0,1,2,..). Câ xk ta thüc hi»n c¡c b÷îc sau: B÷îc 1. Gi£i b i to¡n quy ho¤ch lçi m¤nh

min f(xk, y) + 1 ρ h(y)−h(xk)− h5h(xk), y−xki : y ∈ C ,

thu ÷ñc nghi»m duy nh§t yk.

N¸u f(xk, yk) + 1ρh(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk −xki

≥ 0, th¼ døng thuªt to¡n, xk l  mët nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f). Ng÷ñc l¤i, thüc hi»n B÷îc 2.

B÷îc 2.(Quy t­c t¼m ki¸m theo tia Armijo). T¼m sè nguy¶n d÷ìng mk nhä nh§t trong c¡c sè nguy¶n d÷ìng m thäa m¢n.

               zk,m = (1−ηm)xk +ηmyk, ωk,m ∈ ∂2f(zk,m, zk,m), hωk,m, xk−yki ≥ 1ρ h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk −xki . (2.11) B÷îc 3. °t ηk = ηmk, zk = zk,mk, ωk = ωk,mk, v  °t Ck = x ∈ C : hωk,, x −zki ≤ 0 ,

t½nh xk+1 = PCk(xk), rçi chuyºn sang B÷îc l°p thù k vîi k ÷ñc thay b¬ng

k + 1.

Nhªn x²t 2.2.4.

• N¸u thuªt to¡n døng l¤i ð B÷îc 1 cõa B÷îc l°p thù k, tùc l ,

f(xk, yk) + 1 ρ h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk −xki ≥0, th¼ f(xk, y) + 1 ρ h(y)−h(xk)− h5h(xk), y −xki ≥ 0,∀y ∈ C.

Do â theo Bê · 1.3.3, xk l  nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f).

• ωk 6=,∀k, thªt vªy, ð ¦u B÷îc 2 ta câ xk 6= yk. Theo quy t­c t¼m ki¸m theo tia Armijo v  do h m h lçi m¤nh vîi h» sè δ, ta câ

hωk, xk −yki ≥ 1 ρ h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk−xki ≥ δ ρkxk −ykk2. M°t kh¡c ta câ hωk, xk −yki ≤ kωkkkxk−ykk.

K¸t hñp vîi b§t ¯ng thùc tr¶n ta thu ÷ñc:

kωkk ≥ δ

ρkxk−ykk > 0,∀k

• º ¡p döng quy t­c t¼m ki¸m theo tia Armijo, ð B÷îc l°p thù k, vîi méi sè nguy¶n d÷ìng m, ta kiºm tra b§t ¯ng thùc

hωk,m, xk −yki ≥ 1

ρ

h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk −xki

vîi mët d÷îi ¤o h m n o â m  ta t¼m ÷ñc ωk,m ∈ ∂2f(zk,m, zk,m). N¸u b§t ¯ng thùc n y ÷ñc nghi»m óng th¼ m l  sè c¦n t¼m. Ng÷ñc l¤i, ta t«ng m

l¶n mët ìn và v  kiºm tra l¤i b§t ¯ng thùc tr¶n vîi ωk,m ∈ ∂2f(zk,m, zk,m) ùng vîi sè nguy¶n d÷ìng m mîi. Bê · sau ¥y s³ ch¿ ra r¬ng, vîi méi b÷îc