2 Ph÷ìng ph¡p chi¸u gi£i b i to¡n c¥n b¬ng
2.3.1 T¼m cüc tiºu cõa h m chu©n Euclide tr¶n tªp nghi»m
b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u
Ð möc n y, s³ k¸t hñp Thuªt To¡n 2.2 vîi k¾ thuªt si¶u ph¯ng ct º thu ÷ñc thuªt to¡n cho b i to¡n t¼m cüc tiºu cõa h m chu©n Euclide tr¶n tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u M N EP(C, f) sau
min{kx−xgk : x ∈ Sf}, (2.22) ð â xg ∈ C l mët v²ctì cho tr÷îc v Sf l tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f). Ð möc n y, ta gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (1), (2), (3) luæn ÷ñc thäa m¢n.
Thuªt to¡n 2.3
B÷îc l°p thù k (k = 0,1,2, ...) câ xk ta thüc hi»n c¡c b÷îc sau: B÷îc 1. Gi£i b i to¡n quy ho¤ch lçi
min f(xk, y) + 1 ρ h(y)−h(xk)− h5h(xk), y−xki : ∀y ∈ C ,
ta thu ÷ñc nghi»m duy nh§t yk.
N¸u xk = yk l§y uk = xk v chuyºn sang B÷îc 4. Ng÷ñc l¤i, chuyºn sang B÷îc 2.
B÷îc 2. T¼m mk l sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t trong c¡c sè nguy¶n d÷ìng m thäa m¢n zk,m = (1−ηm)xk +ηmyk, ωk,m ∈ ∂2f(zk,m, zk,m), hωk,m, xk−yki ≥ 1ρ h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk −xki . (2.23) °t ηk = ηmk, zk = zk,mk, ωk = ωk,mk. B÷îc 3. L§y uk = PCk(xk) , vîi Ck = x ∈ C : hωk,, x −zki ≤ 0 . (2.24) B÷îc 4. X¡c ành hai nûa khæng gian sau
Bk = x : kuk −xk ≤ kxk −xk , (2.25)
Dk = x : hx−xk, xg −xki ≤ 0 . (2.26) V t½nh
xk+1 = PAk(xg), (2.27) vîi Ak = Bk ∩Dk∩C.
N¸u xk+1 = xk th¼ døng thuªt to¡n, khi â xk l nghi»m cõa b i to¡n
M N EP(C, f). Ng÷ñc l¤i, quay l¤i B÷îc l°p thù k vîi k ÷ñc thay êi bði
k + 1.
Nhªn x²t 2.3.1. N¸u ð B÷îc l°p thù k x£y ra xk+1 = xk th¼ xk l nghi»m cõa b i to¡n M N EP(C, f). Thªt vªy, thay x bði xk+1 trong (2.25) suy ra
uk = xk = xk+1, k¸t hñp (2.23) v (2.24) suy ra xk = yk n¶n xk l nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f). M Sf ⊆ Ak,∀k (i·u n y s³ ÷ñc chùng minh trong ành lþ d÷îi ¥y) n¶n tø (2.27) ta suy ra xk = xk+1 = PSf(xg), hay xk l nghi»m cõa b i to¡n M N EP(C, f).
X²t Bê · :
Bê · 2.3.2. Gi£ sû uk = PCk(xk) v x∗ l mët nghi»m b§t k¼ cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f). Khi â ta câ
kuk−x∗k2 ≤ kxk−x∗k2 − kuk −xkk2 −( ηkδ
ρkωkk)
2
kxk −ykk4,∀k. (2.28) Chùng minh. Bê · n y chùng minh t÷ìng tü Bê · 2.2.5.
K½ hi»u Hk = Hzk v dk = xk −yk. Theo Bê · 2.1.1 ta câ uk = PC∩Hk(xk). vîi x = PHk(xk) v x∗ ∈ C ∩Hk, n¶n tø Bê · 2.2.1 ta câ
kuk −xkk2 ≤ huk −xk, uk −x∗i, tø ¥y suy ra kuk−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 − kuk −xkk2. (2.29) Th¸ xk = PHk(xk) = xk − hω k, xk −zki kωkk2 ωk
v o (2.29) ta ÷ñc kuk −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 − kuk −xkk2 −2hωk, xk −x∗ihω k, xk −zki kωkk2 +hωk, xk −zki2 kωkk2 . Thay xk = zk +ηkdk v o b§t ¯ng thùc tr¶n ta nhªn ÷ñc kuk −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 − kuk −xkk2 + ηkhωk, dki kωkk 2 − 2ηkhω k, dki kωkk2 hωk, xk −x∗i. (2.30) = kxk −x∗k2 − kuk −xkk2 − ηkhωk, dki kωkk 2 − 2ηkhω k, dki kωkk2 hωk, zk−x∗i.
Th¶m v o â, theo quy tc t½m ki¸m theo tia Armijo v sû döng t½nh
δ−lçi m¤nh cõa h m h ta câ:
hωk, dki = hωk, xk −yki ≥ 1 ρ h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk −xki ≥ δ ρkxk−ykk2.
M°t kh¡c, theo Bê · 2.2.1 ta câ x∗ ∈ Hk, n¶n hωk, zk −x∗i ≥ 0. Do â, tø (2.30) suy ra kuk −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 − kuk−xkk2 − ηkδ ρkωkk 2 kxk −ykk4.
ành lþ 2.3.3. Gi£ sû b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f) câ nghi»m v song h m
f li¶n töc theo c£ hai bi¸n tr¶n Ω. Khi â, n¸u c¡c gi£ thi¸t (2) (3) ÷ñc thäa m¢n th¼ d¢y
xk v
uk sinh bði Thuªt to¡n 2.3 hëi tö tîi nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n M N EP(C, f).
Chùng minh. Tø Bê · 2.3.2 ta suy ra kuk −x∗k ≤ kxk −x∗k vîi måi k v vîi måi x∗ ∈ Sf. Do â, theo ành ngh¾a cõa Bk, ta suy ra Sf ⊆ Bk vîi måi
k. Ta s³ chùng minh Sf ⊆ Dk b¬ng quy n¤p theo k.
Thªt vªy, vîi k = 0 th¼ D0 = Rn n¶n kh¯ng ành l óng. Gi£ sû Sf ⊆Dk vîi k ≥ 0, tùc l
hx∗ −xk, xg −xki ≤ 0,∀x∗ ∈ Sf.
Tø ¥y ta suy ra Sf ⊆ Ak. Theo ành ngh¾a xk+1 = PAk(xg), n¶n ta câ
hx∗ −xk+1, xk+1 −xgi ≤ 0,∀x∗ ∈ Sf.
i·u n y câ ngh¾a l x∗ ∈ Dk+1. V¼ vªy ta câ Sf ⊆ Dk vîi måi k. K¸t hñp vîi Sf ⊆Bk suy ra
Sf ⊆ Ak = Bk ∩Dk ∩C,∀k.
Theo biºu thùc x¡c ành cõa Dk, ta th§y xk = PDk(xg) vîi måi k. Bði v¼
xk+1 ∈ Dk, n¶n kxk−xgk ≤ kxk+1−xgk,∀k. (2.31) Tùc l kxk −xgk l d¢y sè khæng gi£m, m°t kh¡c xk+1 = PAk(xg) v Sf ⊆Ak n¶n kxk+1 −xgk ≤ kx∗ −xgk,∀k,
vîi måi x∗ ∈ Sf. Do â
xk l d¢y bà ch°n. K¸t hñp vîi (2.31) suy ra giîi h¤n limk→∞kxk −xgk tçn t¤i.
B¥y gií, ta s³ ch¿ ra kxk+1−xkk → 0khi k → ∞. Thªt vªy, v¼xk ∈ Dk v
xk+1 ∈ Dk, m Dk l tªp lçi n¶n xk+1+xk
2 ∈ Dk. Do xk = PDk(xg), n¶n theo t½nh ch§t lçi m¤nh cõa h m kxg −.k2 ta câ
kxg −xkk2 ≤ kxg − x k+1 +xk 2 k2 = kx k −xg 2 + xk+1 −xg 2 k2 = 1 2kxg −xk+1k2 + 1 2kxg −xkk2 − 1 4kxk+1 −xkk2. i·u n y ch¿ ra r¬ng 1 2kxk+1−xkk2 ≤ kxg −xk+1k2 − kxg −xkk2.
V¼ limk→∞kxk−xgk tçn t¤i n¶n ta suy ra kxk+1−xgk → 0 khi k → ∞. M°t kh¡c ta câ,
kxk −ukk = kxk −xk+1 +xk+1 −ukk ≤ kxk −xk+1k+kxk+1−ukk
V¼ xk+1 ∈ Bk, n¶n theo ành ngh¾a cõa Bk, ta ÷ñc
kxk+1 −ukk ≤ kxk−xk+1k.
Do vªy ta câ
kxk −ukk ≤ kxk−xk+1k+kxk+1−xkk,
k¸t hñp i·u n y vîi kxk+1 −xkk → 0 ta suy ra kuk−xkk → 0 khi k → ∞. B¥y gií ta s³ ch¿ ra b§t k¼ iºm tö n o cõa d¢y
xk công l nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f).
Thªt vªy, gåi x l iºm tö b§t k¼ cõa d¢y
xk . º ìn gi£n v· m°t k½ hi»u, khæng gi£m t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû xk hëi tö v· x khi k → ∞. X²t 2 tr÷íng hñp câ thº x£y ra sau:
Tr÷íng hñp 1. Câ væ h¤n c¡c sè k sao cho uk = xk x£y ra ð B÷îc 1. Trong tr÷íng hñp n y, rã r ng xl nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ngEP(C, f). Tr÷íng hñp 2. Ch¿ câ húu h¤n c¡c sè k sao cho uk = xk x£y ra ð B÷îc 1. Khi â, theo c¡ch x¡c ành cõa uk trong thuªt to¡n, chóng ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng
uk = PCk(xk) vîi måi k. p döng Bê · 2.3.2 vîi x∗ ∈ Sf, ta câ
kuk−x∗k2 ≤ kxk−x∗k2 − ηkδ ρkωkk 2 kxk−ykk4,∀k. Tø ¥y suy ra ( ηkδ ρkωkk) 2kxk−ykk4 ≤ (kxk −x∗k − kuk −x∗k)(kxk −x∗k+kuk −x∗k).
Theo b§t ¯ng thùc tam gi¡c kxk −x∗k − kuk − x∗k ≤ kxk −ukk v tø b§t ¯ng thùc tr¶n ta nhªn ÷ñc ηkδ ρkωkk 2 kxk −ykk4 ≤ kxk −ukk kxk −x∗k+kuk −x∗k ,∀k. Do d¢y
xk bà ch°n n¶n theo Bê · 2.2.3, d¢y
yk bà ch°n v do â d¢y
zk công l d¢y bà ch°n. Tø ¥y suy ra
ωk l d¢y bà ch°n. K¸t hñp i·u n y vîi d¢y
uk bà ch°n v kuk−xkk → 0 khik → ∞, n¶n chuyºn qua giîi h¤n hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ta thu ÷ñc limkηkkxk −ykk = 0.
Ta x²t hai kh£ n«ng sau:
Kh£ n«ng 1. lim supkηk > 0. Tø ¥y suy ra tçn t¤i d¢y con
xki ⊆
xk ,
yki ⊆
yk sao cho limikxki − ykik = 0. Do â, bèn d¢y
xki ,
uki ,
zki hëi tö tîi còng mët iºm x. B¬ng c¡c lþ luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta nhªn ÷ñc x l nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f).
Kh£ n«ng 2. lim supkηk = 0. Bði v¼ d¢y
xk bà ch°n n¶n theo Bê · 2.2.3 ta suy ra d¢y
yk bà ch°n. Do â, khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû yk hëi tö v· iºm y. Bði v¼ yk l nghi»m cõa b i to¡n CP(xk), n¶n ta câ
f(xk, yk) + 1 ρ h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk−xki ≤ ≤ f(xk, y) + 1 ρ h(y)−h(xk)− h5h(xk), y −xki ,∀y ∈ C.
Do t½nh li¶n töc cõa h m f tr¶n C ×C v t½nh kh£ vi li¶n töc cõa h m h
tr¶n C n¶n chuyºn qua giîi h¤n b§t ¯ng thùc tr¶n khi k → ∞ ta thu ÷ñc
f(x, y) + 1
ρ[h(y)−h(x)− h5h(x), y−xi] ≤
≤ f(x, y) + 1
ρ[h(y)−h(x)− h5h(x), y−xi],∀y ∈ C. (2.32) M°t kh¡c, theo quy tc t¼m ki¸m theo tia Armijo th¼ vîi sè mk−1 ph£i tçn t¤i ωk,mk−1 ∈ ∂2f(zk,mk−1, zk,mk−1) sao cho
hωk,mk−1, xk−yki < 1 ρ
h(yk)−h(xk)− h5h(xk), yk−xki
.
Chuyºn qua giîi h¤n khi k → ∞ ta suy ra zk,mk−1) hëi tö v· x,ωk,mk−1 hëi tö v· ω ∈ ∂2f(x, x), do â b§t ¯ng thùc cuèi còng ð tr¶n trð th nh
hω, x−yi ≤ 1
ρ[h(y)−h(x)− h5h(x), y −xi]. (2.33) Do ω ∈ ∂2f(x, x) n¶n
°c bi»t l , hω, x−yi ≥ −f(x, y). K¸t hñp vîi (2.33) ta thu ÷ñc f(x, y) + 1 ρ[h(y)−h(x)− h5h(x), y −xi] ≥ 0. (2.34) Tø (2.32) v (2.34) ta suy ra 0 ≤ f(x, y) + 1 ρ[h(y)−h(x)− h5h(x), y−xi],∀y ∈ C.
Do â x l nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f). V¼ kuk −xkk → 0, ta suy ra måi iºm hëi tö cõa d¢y
uk công l nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f).
B¥y gií ta ch¿ ra
xk hëi tö v· s = PSf(xg). Gi£ sû x∗ l mët iºm tö b§t k¼ cõa d¢y
xk . Khi â, tçn t¤i d¢y con
xkj cõa d¢y
xk sao cho
xkj →x∗ khi j → ∞. Theo chùng minh tr¶n ta câ x∗ ∈ Sf v tø ành ngh¾a cõa s ta suy ra ks−xgk ≤ kx∗ −xgk= lim j kxkj −xgk ≤ lim sup k kxk −xgk ≤ ks−xgk (v¼ xk+1 = PAk(xg) v s ∈ Sf ⊆Ak vîi måi k). Do vªy limkxk −xgk = ks−xgk= kx∗ −xgk.
Bði v¼ x∗ ∈ Sf, s = PSf(xg) v v¼ Sf l tªp lçi âng n¶n h¼nh chi¸u cõa
xg l¶n Sf l duy nh§t, ta suy ra x∗ = s, do â xk → s khi k → ∞. M
kuk −xkk → 0 n¶n ta rót ra ÷ñc uk → s khi k → ∞.
Mët tr÷íng hñp ri¶ng r§t quan trång cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f) l b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n câ d¤ng nh÷ sau:
T¼m x∗ ∈ C : hF(x∗), x−x∗i ≥ 0,∀x ∈ C,
ð â F : Ω → Rn.
Gi£ sû F l to¡n tû li¶n töc tr¶n Ω v gi£ ìn i»u tr¶n C theo tªp nghi»m
SF cõa b i to¡n V IP(C, F).
B¬ng c¡ch °t f(x, y) =hF(x), y−xi v chån h(x) = kxk2 th¼
∂2f(x, x) ={F(x)},h5h(x), y)i = 2hx, yi.
Do â Thuªt to¡n 2.3 trð th nh Thuªt to¡n chi¸u si¶u ph¯ng ct º t¼m h¼nh chi¸u cõa xg tr¶n tªp nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
M N V IP(C, F). Thuªt to¡n 2.4.
B÷îc khði t¤o. L§y x0 = xg ∈ C v chån c¡c tham sè ρ > 0, η, σ ∈ (0,1).
B÷îc l°p thù k (k = 0,1,2, ...). Câ xk, thüc hi»n c¡c b÷îc sau: B÷îc 1. T½nh yk = PC(xk − ρ2F(xk)).
N¸u yk = xk, th¼ l§y uk = xk v chuyºn sang B÷îc 4. Ng÷ñc l¤i, thüc hi»n B÷îc 2.
B÷îc 2. T¼m mk l sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t trong c¡c sè nguy¶n d÷ìng
m thäa m¢n zk,m = (1−ηm)xk+ ηmyk, hF(zk,m), xk −yki ≥ 1 ρkyk −xkk2. (2.35) °t ηk = ηmk, zk = zk,mk. B÷îc 3. T½nh uk = PCk(xk) , vîi Ck = x ∈ C : hF(zk,), x −zki ≤ 0 . (2.36)
B÷îc 4. X¡c ành hai nûa khæng gian sau Bk = x : kuk −xk ≤ kxk −xk , (2.37) Dk = x : hx−xk, xg −xki ≤ 0 . (2.38) T½nh xk+1 = PAk(xg), (2.39) vîi Ak = Bk ∩Dk∩C.
N¸u xk+1 = xk th¼ døng thuªt to¡n, khi â xk l nghi»m cõa b i to¡n
M N V IP(C, F). Ng÷ñc l¤i, quay l¤i B÷îc l°p thù k vîi k ÷ñc thay êi bði
k + 1.
p döng ành lþ 2.2.6 v o Thuªt to¡n 2.4 ta câ c¡c h» qu£ sau.
H» qu£ 2.3.4. Gi£ sû b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(C, F) câ nghi»m v to¡n tû F li¶n töc tr¶n Ω, gi£ ìn i»u tr¶n C theo tªp nghi»m
SF cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc V IP(C, F), khi â vîi méi nghi»m x∗ ∈ SF
ta câ kuk−x∗k2 ≤ kxk−x∗k2− kuk−xkk2− ηkδ ρkF(zk)k 2 kxk−ykk4,∀k, (2.40) ð â Hk = x ∈ Rn : hF(zk), x −zki ≤ 0 v xk = PHk(xk).
H» qu£ 2.3.5. Gi£ sû b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(C, F) câ nghi»m v to¡n tû F li¶n töc tr¶n Ω, gi£ ìn i»u tr¶n C theo tªp nghi»m
SF cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc V IP(C, F), khi â c¡c d¢y
xk v d¢y
uk