2 THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI QUY HOẠCH PHÂN
2.2.1. Cơ sở của phương pháp
Từ bài toán (LFP) đã cho, lập hai bài toán quy hoạch tuyến tính một mục tiêu, tương ứng với tử số (bài toán cực đại) và mẫu số (bài toán cực tiểu:
(P) max{p(x) = cTx+α :Ax ≤ b, x ≥ 0} và Q) min{q(x) =dTx+β :Ax ≤ b, x≥ 0}.
Hai định lý sau liên kết các nghiệm của bài toán (LFP), bài toán (P) và bài toán (Q) và sẽ được sử dụng trong phương pháp giải đề xuất.
Định lý 2.1 Giả sử x0 là một nghiệm tối ưu của bài toán (P). Nếu
trong quá trình giải bài toán (Q) theo thuật toán đơn hình, xuất phát từ
nghiệm chấp nhận được ban đầu x0, ta thu được dãy nghiệm cơ sở chấp
nhận được xn sao cho f(xk) ≤ f(xk+1) với mọi k = 0,1,2, ..., n− 1 và
f(xn)≥ f(xn+1), thì xn là một nghiệm tối ưu của bài toán (LFP).
Chứng minh. Rõ ràng xn là một nghiệm chấp nhận được của bài toán
(LFP). Giả sử u là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của bài toán (LFP). Điều này kéo theo q(u) ≤ q(xn) hoặc q(u) > q(xn).
a) Trường hợp q(u) ≤ q(xn) : Do f(xk) ≤ f(xk+1) với mọi k = 0,1,2, ..., n − 1, f(xn) ≥ f(xn+1) và (Q) là bài toán cực tiểu, cho nên
f(xn)≥ f(u). Vì thế, xn là một nghiệm tối ưu của bài toán (LFP). b) Trường hợp q(u) > q(xn) : Do f(xk) ≤ f(xk+1) với mọi k = 0,1,2, ..., n − 1, f(xn) ≥ f(xn+1) và (Q) là bài toán cực tiểu, cho nên có thể kết luận rằng f(xn) ≥ f(u). Vì thế, xn là nghiệm tối ưu của bài toán (LFP).
Vậy trong cả hai trường hợp xn đều là nghiệm tối ưu của bài toán
Định lý 2.2 Giả sử x0 là một nghiệm tối ưu của bài toán (P). Nếu trong quá trình giải bài toán (Q) theo thuật toán đơn hình, xuất phát từ
nghiệm chấp nhận được ban đầu x0, ta thu được dãy nghiệm cơ sở chấp
nhận được xn sao cho f(xk)≤ f(xk+1) với mọi k = 0,1,2, ..., n và xn+1
là một nghiệm tối ưu của bài toán (Q), thì xn+1 là một nghiệm tối ưu
của bài toán (LFP).
Chứng minh. Rõ ràng xn+1 là một nghiệm chấp nhận được của bài
toán (LFP). Giả sử v là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của bài toán (LFP). Do xn+1 là một nghiệm tối ưu của bài toán (Q), cho nên
q(v) ≥ q(xn+1). Bây giờ do f(xk) ≤ f(xk+1) với mọi k = 0,1,2, ..., n và
xn+1 là một nghiệm tối ưu của bài toán (Q), cho nên ta có thể kết luận rằng f(xn+1) ≥ f(v). Vì thế, xn+1 là nghiệm tối ưu của bài toán (LFP)
và định lý được chứng minh.