2 THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI QUY HOẠCH PHÂN
2.2.4. Bài toán cực tiểu
Cùng với bài toán cực đại, ta xét bài toán cực tiểu hàm phân tuyến tính:
(LFP) min{f(x) = c
Tx+α
dTx+β :Ax ≤ b, x ≥ 0},
Bài toán cực tiểu được đưa về bài toán cực đại bằng cách đổi dấu tử số của hàm mục tiêu ban đầu:
fmin = min f(x) = c Tx+α dTx+β:Ax 6 b,x > 0 = −max f(x) = −cTx−α dTx+β :Ax 6 b,x> 0 .
Áp dụng phương pháp đã trình bày trên để tìm cực đại hàm g(x).
Từ đó cho ta lời giải của bài toán ban đầu. Để minh họa ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 2.6 Xét bài toán cực tiểu (LFP):
f(x) = p(x) q(x) =
2x1 −x2−1
x1+x2+ 1 −→ min,
với ràng buộc x ∈S, trong đó:
S ={x∈ R2 : −2x1+ 7x2 ≤ 28,3x1−x2 ≤ 15,2x1+x2 ≥ 2, x1, x2 ≥ 0}.
Tập chấp nhận được S được vẽ ở Hình 2.3.
Hình 2.3. Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.6
Ta đưa bài toán cực tiểu min{f(x) : x ∈ S} về bài toán cực đại
max{g(x) : x ∈S} với
g(x) =−f(x) = −p(x) q(x) =
−2x1 +x2 + 1
x1 + 2x2 + 1 −→max.
(P) max{−2x1+x2+ 1 : x∈ S},
(Q) min{x1 + 2x2 + 1 : x ∈S}.
Dùng thuật toán đơn hình giải (P), ta được nghiệm tối ưu
x0 = (0,4)T với giá trị tối ưu −p(x0) = 5 và giá trị tương ứng
g(x0) = 5
9 ≈ 0,555555.
Theo Bước 3 của phương pháp đã trình bày, chọn x0 làm nghiệm cơ sở ban đầu, giải bài toán (Q) theo thuật toán đơn hình, ta thu được liên tiếp hai nghiệm chấp nhận được của (Q):
a) x1 = (0,2)T với q(x1) = 5và giá trị tương ứng g(x1) = 3
5 = 0,6.
b) x2 = (1,0)T với q(x2) = 2 và giá trị tương ứng g(x2) = −0,5.
Do g(x1) = 0,6 > g(x2) = −0,5 và theo Bước 4a) của phương
pháp đã trình bày, nghiệm tối ưu của bài toán max{g(x) : x ∈ S} là
x∗ = (x∗1, x∗2) =x1 = (0,2)T với giá trị mục tiêu tối ưu gmax = 0,6.
Từ kết quả này suy ra nghiệm tối ưu của bài toán cực tiểu:
x∗1 = 0, x∗2 = 2 với giá trị mục tiêu tối ưu fmin = −gmax = −0,6.
Tóm tắt chương. Chương này đã trình bày các thuật toán cải tiến giải quy hoạch phân tuyến tính (LFP) nhờ đưa về một hay hai bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) và nêu một số ví dụ minh họa cho các thuật toán đã trình bày.
Chương 3
TIẾP CẬN THAM SỐ GIẢI
QUY HOẠCH PHÂN THỨC PHI TUYẾN
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu của A. Jeflea (2003) về tiếp cận tham số giải bài toán phân thức phi tuyến: Thuật toán Dinkelbach, thuật toán Dinkelbach rút gọn cho phép giải gần đúng các bài toán tham số và sự hội tụ của các thuật toán. Áp dụng cách tiếp cận tham số giải bài toán phân thức tuyến tính (LFP). Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [6].