2 THUẬT TOÁN CẢI TIẾN GIẢI QUY HOẠCH PHÂN
3.1.1. Ký hiệu và kết quả chuẩn bị
Quy hoạch phân thức tổng quát được mô tả dưới dạng bài toán: (P) min{f(x) = p(x)
q(x) : x∈ X},
hàm giá trị thực liên tục của x ∈X. Hơn nữa ta giả thiết
q(x) >0 với mọi x ∈X. (3.1)
Do f(x) là hàm liên tục trên tập compact X nên bài toán (P) có nghiệm. Ký hiệu S là tập nghiệm tối ưu của bài toán (P).
Jagannathan (1966) đã đưa ra kết luận sâu sắc về mặt lý thuyết cho mối quan hệ giữa quy hoạch phân thức phi tuyến và quy hoạch tham số phi tuyến. Ông nghiên cứu mối quan hệ giữa bài toán (P) và bài toán sau đây, phụ thuộc λ:
(P(λ)) min{p(x)−λq(x) : x ∈ X}
và đã chứng minh định lý quan trọng sau.
Định lý 3.1 (Định lý Jagannathan) Giả sử y ∈ X. Khi đó y là một
nghiệm tối ưu của (P) khi và chỉ khi y là một nghiệm tối ưu của bài
toán:
min{p(x)−f(y)q(x) : x ∈X} = min{p(x)− p(y)
q(y)q(x) : x ∈X}. Bài toán P(λ) có nghiệm với mọi λ ∈ R, bởi vì tập X là compact (đóng, bị chặn) trong Rn và các hàm p(x), q(x) liên tục trên X. Ta có thể xác định:
F(λ) = min{p(x)−λq(x) : x∈ X}.
Dinkelbach (1968) đã đưa ra phương pháp, dựa trên định lý Ja- gannathan để giải các bài toán phân thức phi tuyến, trong đó hàm q(x)
lõm và hàmp(x) lồi. Dinkelbach đã chứng minh được sự hội tụ của thuật toán cho trường hợp này. Có thể mô tả thuật toán gốc của Dinkelbach như sau:
Bước 1. Chọn x1 là một điểm chấp nhận được bất kỳ của X và
λ1 = f(x1). Đặt k = 1 và chuyển sang Bước 2.
Bước 2. (Bài toán con) Dùng một thuật toán bất kỳ của quy
hoạch lồi giải bài toán con sau đây:
SUB(k): F(λk) =min{p(x)−λkq(x) : x∈ X}
Bước 3. Nếu F(λk) = 0 thì dừng thuật toán vàxk là một nghiệm tối ưu của (P). Trái lại, đặt λk+1 = f(xk+1), k := k + 1 và chuyển tới Bước 2.
Hình 3.1. Sơ đồ khối thuật toán Dinkelbach