Hệ thống có 1 Server, quá trình đến là tổng quát nhƣng các thời gian đến trung gian tn độc lập, có cùng phân bố và có kỳ vọng chung là E[t1]. Thời gian phục vụ trong mỗi chu kỳ cũng độclập, cùng phân bố và có kỳ vọng chung E[s1]. Kendall ký hiệu hệ thống này là G/G/1 (cũng cókhi ký hiệu GI
/GI /1, ở đây I thay cho independence nghĩa là độc lập).
15 / 1 * 60 min 20 / 3 call h call h 2 2 s 4 4 0 4 0 15 ) 0.75 20 ) 1 1 0.75 25% 15 ) 2.25 ( ) 20(20 15) 1 1 ) W 0.2 20 15 15 15 ) 1 1 0.25; 0.25 0.079 20 20 q a b c L call d h e P P P
Ta sẽ đƣa ra 3 phƣơng pháp để phân tích các trƣờng hợp đặc biệt đối với quá trình sắp hàng G/G/1.
- Phƣơng pháp thứ nhất đƣợc gọi là phương pháp phương trình tích phân. Phƣơng pháp này đƣa bài toán tìm các phân bố giới hạn thời gian đợi
của khách hàng thứ n (khi n→∞) về bài toán giải phƣơng trình tích phân dạng Wiener - Hopf.
- Phƣơng pháp thứ 2 khảo sát chuỗi Markov nhúng (Embedded Markov Chain). Nếu quá trình đến là Poisson thì chuỗi Markov nhúng đƣợc xét là độ dài của hàng tại những thờiđiểm khi có một khách hàng vừa đƣợc phục vụ xong.
Nếu thời gian phục vụ có phân bố mũ và quá trình đến có phân bố tổng quát thì chuỗi Markov nhúng có đƣợc bằng cách kê khai kích thƣớc của hàng tại mỗi thời điểm khi có một khách hàng mới đến. Khi đó quá trình trở thành một chuỗi Markov với cấu trúc đặc biệt.
-Phƣơng pháp thứ 3 nghiên cứu các tính chất của biến ngẫu nhiên W(t) là thời gian một khách hàng phải đợi nếu anh ta đến hệ thống tại thời điểm t. Đại lƣợng này đƣợc gọi là thời gian đợi thực sự của khách hàng với giả thiết khách hàng đến hệ thống tại thời điểm t.
2.3.1. Phương pháp phương trình tích phân
Ký hiệu:
- Wn: là thời gian đợi của khách hàng thứ n (không bao gồm thời gian phục vụ).
- sn: là thời gian phục vụ khách hàng thứ n .
- tn: là thời gian đến trung gian của khách hàng thứ n và thứ n +1. tn = Tn+1-Tn
- Tn : là thời điểm khách hàng thứ n đến hệ thống,
với giả thiết W0 , s0 ,T0 đều bằng 0. Nghĩa là ta giả thiết rằng ngƣời thứ nhất đến tại thời điểm t = 0 và không có ai đứng chờ trƣớc anh ta.
Rõ ràng Wn+ snlà khoảng thời gian khách hàng thứ n ở trong hệ thống
(thời gian chờ +thời gian phục vụ). Do đó, nếu tn>Wn+ snthì khi khách hàng thứ n +1 đến sẽ không có ai trong hàng vì vậy thời gian đợi Wn+1= 0 . Trƣờng hợp tn≤Wn+ sn thì thời gian đợi là Wn+ sn− tn. Tóm lại
( 1) 0 0 0 n n n n n n n n n n W s t if W s t W if W s t (2.5) Kí hiệu: Un = sn – tn và Z+ = max (Z,0) (2.6) Thì Wn+1 = (𝑊𝑛 + 𝑠𝑛 − 𝑡𝑛)+ = ( Wn + Un )+ (2.7)
𝑈𝑛 𝑛=1∞ là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố với U. Giả sử
Fn(x)là hàm phân bố của 𝑊𝑛và g(x) là hàm mật độ phân bố của U. Vì Wn và Un
là các biến ngẫu nhiên độc lập, do đó với mọi x ≥ 0:
𝐹𝑛 +1 𝑥 = 𝑃 𝑊𝑛+1 < 𝑥 = 𝑃 max(𝑊𝑛 + 𝑈𝑛; 0) < 𝑥 = 𝑃 𝑊𝑛 + 𝑈𝑛 < 𝑥
= −∞∞ 𝑃 𝑊𝑛 + 𝑈𝑛 < 𝑥 𝑈𝑛 = y g(y)dy = 𝑦≤𝑥𝐹n(x-y)dy (2.8)
Vì ngƣời thứ nhất đến hệ thống tại thời điểm t = 0 và không đợi nên
F1(x) = 1 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 0
0 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0 (2.9) Mặt khác: Fn(x) = 0 với mọi x <0, với mọi n = 0,1, 2,...Do đó
F1(x) − F2 (x) ≥ 0, ∀x∈ R.
Fn(x) - Fn+1(x) = 𝑦≤𝑥 𝐹𝑛−1(x − y) − 𝐹𝑛(x − y) g( y)dy
Bằng qui nạp ta chứng minh đƣợc, với mọi n
Fn(x) - Fn+1(x) ≥ 0, ∀x∈R. (2.10)
Dãy hàm 𝐹𝑛(x) 𝑛=1∞ không tăng, không âm nên hội tụ về hàm F(x) ,∀x∈
R. Chuyển qua giới hạn của đẳng thức (2.8) ta đƣợc:
F (x) = 𝑦≤𝑥𝐹(x-y)g(y) dy (2.11) Đặt z= x-y ta đƣợc:
Từ đây ta có một số nhận xét nhƣ sau: [5] (i) Với mọi x < 0, F(x) = 0 .
(ii) Nếu E[U ] = −∞∞𝑥 𝑔 𝑥 dx ≥ 0, thì F(x) = 0, ∀x∈R< 0
(iii) Nếu E[U ] = −∞∞𝑥 𝑔(𝑥)dx<0 thì F(x) là hàm phân bố (là hàm không giảm, liên tục trái và thoả mãn:
lim
𝑥→−∞𝐹 𝑥 = 0 , lim
𝑥→∞𝐹 𝑥 = 1
Thời gian từ lúc một khách hàng rời khỏi hệ thống và hệ thống trở thànhrỗng cho đến khi có một khách hàng tiếp theo đến hệ thống gọi là chu kỳ rỗi của hệ thống. Ký hiệu chu kỳ rỗi thứ n là in . [8]
Nếu E[U]<∞ thì hệ thống đạt đƣợc trạng thái ổn định và thời gian đợi trung bình trong hàng
Wq= E[ 𝑈2]
−2E[𝑈] - E [ 𝑖12]
2E [𝑖1] (2.13)
trong đó i1 là chu kỳ rỗi đầu tiên.
Nhận xét: Nếu ta tính đƣợc moment cấp1 và cấp 2 của thời gian rỗi i1
thì công thức (2.13) cho ta tính đƣợc thời gian đợi trung bình của hàng Wq. Dựa vào "kết quả nhỏ" sẽ cho phép tính đƣợc các số đo hiệu năng còn lại
L, Lq và W .
2.3.2. Hàng đợi M/G/1
Ta giả thiết quá trình đến Poisson tốc độ λ, nghĩa là quá trình đến trung gian tn có phân bố mũ tốc độ λ. Quá trình phục vụ 𝑠𝑛 đƣợc xét một cách tổng quát nhƣng giả thiết thời gian phục vụ trong các chu kỳ là độc lập với nhau và có cùng luật phân bố.
E [t1]= 1
λ, E [t12 ] = λ2 Do đó cƣờng độ lƣu thông
ρ = E[s1 ]
E[t1]=λE [s1 ] ⇒ E 𝑠1 = 𝜌
𝜆,
-E [U1 ] = E [t1 - s1 ] = 1
λ−ρλ=1−λρ> 0
E[U21]= E[(s1-t1)2]= E[s12] - 2E[s1]λ1 +𝛌2𝟐 = E [s12] + 2(1−𝛌𝟐ρ)
Mặt khác, vì quá trình đến là Poisson nên khoảng thời gian từ một thời điểm bất kỳ đến lúccó một khách hàng tiếp theo đến hệ thống luôn có phân bố mũ. Do đó thời gian từ lúc một khách hàng rời khỏi hệ thống và hệ thống trở thành rỗng cho đến khi có một khách hàng tiếp theo đến hệthống (chu kỳ rỗi của hệ thống) cũng có phân bố mũ tốc độ λ.Vậy
E [i1 ] = λ1; E [i1
2
] = 𝛌2𝟐
Thay vào công thức (2.13) ta đƣợc công thức Pollaczek - Khinchin (P- K)cho hàng M /G/1. Wq = E 𝑠12 +2(1−ρ ) 𝛌𝟐 2(1−ρ ) λ - 2 𝛌𝟐 2 λ =λ E 𝑠1 2 2(1−ρ) (2.14) W = Wq + E [s1 ] (2.15)
Từ "kết quả nhỏ" suy ra các số đo hiệu năng còn lại.
2.3.3. Các trường hợp đặc biệt của hàng đợi M/G/1
1) Hàng M /M /1:
Quá trình đến Poisson với tốc độ đến λ, thời gian phục vụ có phân bố mũ tốc độ μ. E [s1 ] = μ2 ; E 𝑠12 = 2 μ2 ; = λμ (2.16)Wq = 2𝜆 𝜇 2 2(1−𝜆 𝜇) = 𝜆 𝜇 (𝜇 −𝜆) (2.17) W= Wq + 𝜇1 = 𝜇 (𝜇 −𝜆)𝜆 + 1𝜇 = 𝜇 (𝜇 −𝜆)1 (2.18)
L = 𝜆W = 𝜆
𝜇 −𝜆; Lq= 𝜆Wq= 𝜆2
𝜇 (𝜇 −𝜆) (2.19) 2) Hàng M / D/1:
Quá trình đến Poisson với tốc độ đến λ, thời gian phục vụ không đổi tốc độ μ. E [s1 ]= 1μ ; var [s1 ]= E 𝑠12 - E [s1 ]2=0 ⇒E 𝑠12 = 1 μ2 ; = λμ (2.20) Wq= λ μ 2 2(1−λμ)=2μ(μ−λ)λ (2.21) W= Wq + 1𝜇 = 2𝜇 (𝜇 −𝜆)𝜆 + 1𝜇 = 2𝜇 (𝜇 −𝜆)2𝜇 −𝜆 (2.22) L = 𝜆W =2𝜇 (𝜇 −𝜆)𝜆2 + 𝜇𝜆; Lq= 𝜆Wq=2𝜇 (𝜇 −𝜆)𝜆2 (2.23) 3) Hàng M / Ek/1:
Quá trình đến Poisson với tốc độ đến λ, thời gian phục vụ ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Erlang- k với tốc độ μ.
E [s1 ] = μ1= λ𝑘 0 ; var [s1 ]= 𝑘 λ02 = 1 kμ2⇒E 𝑠12 = 1 kμ2 + 1 μ2; = λμ (2.24) Wq= λ (k +1) 𝑘 μ 2 2(1−μλ)= (k+1)λ 2kμ(μ−λ) (2.25) W= Wq + 1μ = 2kμ(μ−λ)(k+1)λ + μ1 (2.26) L = W =(k+1)λ2 2kμ(μ−λ) + λ μ; Lq= Wq=(k+1)λ2 2kμ(μ−λ) (2.27) Nhận xét:
1. Thời gian đợi trung bình mà một khách hàng phải mất ở hàng đợi là số đo trễ xẩyra ở hệ thống sắp hàng. Ta có
𝑊𝑞𝑀 / 𝐷/1≤𝑊𝑞𝑀 / 𝐸𝑘/1≤𝑊𝑞𝑀 / 𝐸/1 (2.28) Khi k = 1 : 𝑊𝑞𝑀 / 𝐸𝑘/1=𝑊𝑞𝑀 / 𝑀/1
Khi k →∞: lim𝑘→∞𝑊𝑞𝑀 / 𝐸𝑘/1 =.𝑊𝑞𝑀 / 𝐷/1
2. Xét hệ toạ độ trực chuẩn Oxy. Trên trục hoành ta chọn các hoành độ
nguyên k = 1, 2,..., trục tung chọn đơn vị là λ
làhyperbol 𝑘+1
2𝑘 = 1 2 + 2𝑘1 đạt cực đại bằng 1 khi k = 1 và tiệm cận đến 1
2 khi k →∞.
3. Hệ số λ
2μ(μ−λ)lớn nếu λ gần bằng μ. Nhƣ vậy khi tốc độ đến gần với tốc độ phục vụthì hàng đợi tăng lên nhanh chóng tỉ lệ nghịch với hiệu số hai tốc độ.
1 2
Hình 2.1: Đồ thị biểu diễn tốc độ phục vụ
2.3.4. Phương pháp chuỗi Markov nhúng áp dụng cho hàng G/M /1
Xét hệ thống sắp hàng có 1 server, các chu kỳ thời gian phục vụ sn độc lập cùng có phân bố mũ tốc độ μ. Quá trình đến là độc lập, tổng quát, có cùng phân bố và thời gian đến trung gian là biến ngẫu nhiên có hàm phân bố H(u).
Ta xét chuỗi Markov nhúng là số khách hàng trong hàng tại những thời điểm khi có khách hàng mới đến hệ thống.
Gọi q là trạng thái của hệ thống khi có 1 ngƣời mới đến và gọi q'là trạng thái sau khi có 1 ngƣời tiếp theo đến :
q'= q +1−N
1 2
k
λ μ(μ − λ)
Trong đó N là số khách hàng đƣợc phục vụ trong chu kỳ giữa hai lần đến. Vì phân bố mũ có tính chất "không nhớ" nên số khách hàng N đƣợc phục vụ trong chu kỳ giữa 2 lần đến chỉ phụ thuộc vào độ dài của khoảng và q mà không phụ thuộc vào phạm vi phục vụ mà khách hiện tại đã đƣợc nhận phục vụ. Với các giả thiết này công thức (2.29) xác định chuỗi Markov có xác suất chuyển P= [ pij] thỏa mãn [6]: pij=P 𝑞′ = j⎤ 𝑞 = y =Wn+1 0 𝑛ế𝑢 𝑗 > 𝑖 + 1 𝑃 N = i + 1 − j 𝑛ế𝑢 𝑖 + 1 ≥ 𝑗 ≥ 1 (2.30) Đặt ak= P{N = k} thì pij= 0 𝑛ế𝑢 𝑗 > 𝑖 + 1 𝑎𝑖+1−𝑗 𝑛ế𝑢 𝑖 + 1 ≥ 𝑗 ≥ 1 (2.31)
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ và từ giả thiết thời gian phục vụ có phân bố mũ với tốc độ μ có thể chứng minh đƣợc:
ak= 𝑒−μu 𝑢𝑘μ
k
𝑘!
∞
0 dH(u) (2.32)
trong đó H(u) là hàm phân bố của chu kỳ đến trung gian.
Cuối cùng các xác suất chuyển pi0 ( j = 0 ) là xác suất mà tất cả i ngƣời trong hàng đã đƣợc phục vụ trƣớc khi có ngƣời mới đến.
pi0=1- ∞𝑗 =1pij= 1- a0- a1 -…- ai (2.33) Vậy ma trận xác suất chuyển
P= 𝑟0 𝑎0 𝑟1 𝑎1 0 0 𝑎0 0 0 … … 0 … … 𝑟2 𝑎2 𝑟3 𝑎3 𝑎1 𝑎0 𝑎2 𝑎1 0 … . 𝑎0 … . … … … … … … … … … … . … . . . . ⎤ (2.34)
trong đó ri= 1−a0 – a1−…−ai.
Hệ thống đạt trạng thái ổn định khi ρ< 1 hay ∞𝑘=0𝑘𝑎𝑘 >1 Phân bố dừng Π = [π0 ,π1,π2 ,...] có dạng π = (1−ξ0 )ξ 0 𝑖 ; i = 0,1,2,... (2.35) trong đó ξ0 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình
f (ξ0 )= ξ0 (0<ξ0<1) với f(ξ)= ∞𝑘=0𝑎𝑘ξ𝑘 (2.36)
Thời gian đợi W
Nếu ρ < 1thì hệ thống đạt trạng thái ổn định, khi đó hàm phân bố độ dài của hàng cũng đạt đến phân bố ổn định. Với điều kiện này ta xét thời gian đợi W .
Xác suất không phải đợi là r0 = 1−ξ0 .
Nếu khách hàng đến và đã có n ≥ 1 khách hàng ở trong hàng thì anh ta phải đợi với tổng số n lần phục vụ có phân bố độc lập và cùng phân bố mũ trƣớc khi đến lƣợt anh ta.
Ta biết rằng tổng của n phân bố mũ độc lập tham số μ là phân bố Erlang-
n tham số μ . Do đó P 𝑊 < t ⎤ có n người trong hàng = 𝑢 𝑛τn −1 (𝑛−1)! t 0 eμτd , n≥ 1 (2.37) Mặt khác: P có n ngƣời trong hàng = π= 1 − ξ 0 ξ0n, 𝑛 ≥ 1 (2.38) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta đƣợc
W(t) =P 𝑊 < t
= ∞𝑛=1P 𝑊 < t ⎤ có n người trong hàng P có n ngƣời trong hàng .+ π0 =(1 − ξ0) 𝑢𝑛τ n −1 (𝑛−1)! t 0 e−μτd +(1 − ξ0). W(t)=(1 − ξ0) + ξ0( 1 − e−μt(1−ξ0) ) (2.39)
2.3.5. Các cận trên của thời gian đợi trung bình của hàng
nhỏ".Tuy nhiên trong trƣờng hợp tổng quát chƣa có qui tắc tính E[i1] và E[𝑖12]
G/G/1
Thay cho công thức tính chính xác ngƣời ta tìm các cận trên và cận dƣới của chúng. Ở đây ngƣời ta nêu một vài cận trên cho Wq
Vì số hạng E[𝑖1
2]
E[𝑖1]≥ 0 nên Wq≤ E[𝑈.2]
−2E[𝑈] (2.40)
-Mặt khác ta còn có thể chứng minh đƣợc là: −2E[U]Wq ≤ var[U] và − 2E[U] > 0 do đó Wq≤ var [𝑈]
−2E[𝑈] (2.41) 3. Khi cƣờng độ lƣu thông ρ→ 0 thì thời gian rỗi i1 tiến đến 0. Điều này làm cho E[𝑖12]
tiến đến 0 nhanh hơn E[i1]. Do đó [E[𝑖1
2] E[𝑖1] ] →0 vì vậy [ [ [ ( [ [ [ 1 1 1 1 1 lim 2 [ 2 [ 2 [ 2(1 ) 0 1 1 v u v t v s v t v s v U W q E U E u E u ar ] ar ]+ ar ] ar ]+ ar ]) ar ] ] ] ] (2.42)
2.4. Một số bài toán tổng quát trong siêu thị
Bài toán 1:
Trong một ngày siêu thị mở cửa phục vụ trong thời gian là t giờ, tại bãi đỗ xe của siêu thị có n vị trí đỗ xe ô tô, mỗi vị trí chỉ đỗ đƣợc duy nhất 1 xe. Cứ trung bình t’giây thì có một xe đến mua hàng, thời gian khách vào mua
hàng chính là thời gian mà ô tô của khách đỗ tại bãi gửi xe. Yêu cầu của bài toán là mô phỏng lại hoạt động của bãi đỗ xe trong một ngày làm việc.
Bài toán 2:
Siêu thị có một bãi đậu xe với số lƣợng n vị trí đỗ xe. Nếu tất cả các vị trí đều có xe thì bãi đậu xe sẽ thông báo không nhận thêm xe và khi đó phải tìm vị trí đậu xe ở ngoài khu vực của siêu thị. Thời gian khách hàng đi từ bãi đậu xe vào đến siêu thị đƣợc ƣớc tính khoảng t
siêu thị có m xe đẩy cho khách mua hàng và m’ giỏ hàng xách tay cho các khách hàng mua sắm nhỏ (số lƣợng mua hàng nhỏ hơn 10 loại hàng hóa). Phục vụ siêu thị có x quầy thu ngân, trong đó quầy số 1 là quầy phục vụ các khách hàng mua nhanh với một số lƣợng hàng tối thiểu (nhỏ hơn 10 loại hàng hóa).
Luồng khách hàng (xe ô tô) đến mua hàng đƣợc phân bố trong khoảng thời gian trung bình từ tn giây. Nếu bãi xe có chỗ trống thì khách hàng sẽ vào đậu xe và mua hàng.
Nếu ngƣời mua hàng mua nhiều hơn 10 loại hàng hóa thì họ sẽ lấy xe đẩy, trong trƣờng hợp ngƣợc lại, họ chỉ lấy giỏ hàng xách tay. Sau khi ngƣời mua hàng lấy xe đẩy hay giỏ xách tay, có thể coi số hàng họ mua là những con số ngẫu nhiên trong miền giá trị từ 5 đến 100 loại hàng.
Thời gian mua hàng của 1 khách hàng đƣợc tính bằng tỷ lệ số lƣợng hàng đƣợc mua nhân với thời gian chi phí cho 1 món hàng là tm giây.
Khi mua hàng xong, ngƣời khách hàng sẽ đến quầy thu ngân để trả tiền, quầy thu ngân sẽ mất thời gian tƣơng ứng cho việc thanh toán của 1 khách hàng là 2 giây cho mỗi món hàng và cộng thêm một khoảng thời gian T giây cho một khách hàng.
Sau khi mua hàng xong, khách hàng sẽ mất thời gian từ tt giây cho
việc ra khỏi siêu thị để lên xe ô tô và ra khỏi bãi đậu xe. Các yêu cầu đặt ra:
1. Xây dựng mô phỏng mô hình làm việc của siêu thị trong thời gian của 1 ca làm việc liên tục (8 tiếng đồng hồ).
2. Đƣa ra các con số đặc trƣng của siêu thị này: hệ số sử dụng của các loại xe đẩy, giỏ hàng, của các quầy thu ngân.
GPSS World có một ƣu điểm là tính trong suốt với các dẫn chứng cụ thể nhƣ sau:[5]
- Đầu tiên, nếu chúng ta mô phỏng theo dạng "hộp đen" (Black-Box), chúng ta không thể quan sát bên trong hộp này có những thành phần gì, chúng hoạt động ra sao, tƣơng tác với nhau thế nào. Điều này dẫn đến việc chúng ta không thể kiểm soát đƣợc hộp đen ngay tại thời điểm làm việc, cũng nhƣ không thể dự đoán đƣợc hành vi của nó trong tƣơng lai. Đó là điều không ai muốn.
- Thứ hai, chỉ thật sự có lợi cả về mặt mục tiêu cũng nhƣ về vấn đề thời gian khi và chỉ khi chúng ta mô phỏng thành công. Trên cơ sở đó, khi có sự thay đổi nhân lực, những thành viên mới đến làm việc sẽ hiểu đƣợc và tiếp quản đƣợc những công việc đã làm, cũng nhƣ phát triển tiếp sau này.
- Thứ ba, một vấn đề nhỏ nhƣng có ý nghĩa khi mô phỏng. Đó là làm sao