Kỹ thuật này phù hợp với kỹ thuật GFLP cĩ thể đƣợc tiếp tục mở rộng để hỗ trợ vị trí của nhiều nhãn mỗi đối tƣợng đồ họa của một bản vẽ đồ thị. Các thuật tốn trình bày ở đây chỉ định vị trí nhãn trong một trang khơng lặp lại. Nĩ giải quyết vấn đề MLP. Đồ thị đầu tiên phù hợp với Gm đƣợc tạo ra. Tiếp theo, các biểu đồ phù hợp Gm đƣợc chuyển thành một đồ thị Flowbased Gflow(s, t, Vf, Vc, Ef). Gf được chuyển đổi sang một đồ thì st bằng cách giới
thiệu hai nút s và t. Nút s đƣợc kết nối với mỗi nút trong Vf, và nút t đƣợc kết nối với mỗi nút trong Vc, đƣợc thể hiện trong hình 2.13.
Hình 2.13. Đồ thị Flowbased
Sau cùng năng lực để mỗi cạnh của đồ thị dịng Gflow đƣợc gán theo cách sau:
Mỗi cạnh biểu đồ phù hợp cĩ chứa ban đầu.
Mỗi cạnh (c, t) của Gflowđến nút mục tiêu cĩ sức chứa
Mỗi cạnh (s, v) đến nút nguồn cĩ số lƣợng tƣơng đƣơng với số lƣợng nhãn gắn liền với các tính năng đồ họa của đồ thị đầu vào đƣợc đại diện bởi nút v trong Gm.
Rõ ràng là một luồng lớn nhất của đồ thị Gflow sẽ tạo ra một phân nhãn cardinality tối đa đối với các bộ nhãn đƣợc mã hĩa trong đồ thị phù hợp. Kỹ thuật phức tạp cĩ thể giải quyết vấn đề luồng cực đại trong O(nmlog n) thời gian, trong đĩ n là số đỉnh và m là số cạnh của đồ thị luồng. Kỹ thuật này đƣợc tĩm tắt trong thuật tốn dƣới.
Thuật tốn Flow-based
Đầu vào: Một bản vẽ Γ, một tập hợp các đối tƣợng đồ họa F trong Γ đƣợc gán nhãn, một số M (f) nhãn cho mỗi đối tƣợng đồ họa vào f trong F.
Đầu ra: Nhãn đƣợc gán khơng chồng chéo
1. Tìm thấy một tập hợp các vị trí nhãn cho mỗi tính năng đồ họa trong các bản vẽ.
2. Sắp xếp vị trí nhãn chồng lên nhau thành các nhĩm. 3. Tạo ra các đồ thị phù hợp Gm.
4. Cải thiện đồ thị Gm xuống mức thấp biểu đồ luồng Gflow. 5. Gán các năng lực để mỗi cạnh của Gflow.
6. Đánh giá tới cạnh của Gflow.
7. Tìm các chi phí thấp nhất luồng cực đại của đồ thị Gflow. 8. Gán nhãn theo kết quả của Bƣớc 7.
Hình 2.14. Bản vẽ với vị trí hai nhãn mỗi cạnh bởi thuật tốn Flow-based
Hầu hết các bƣớc tốn thời gian của thuật tốn trên là việc phát hiện sự chồng chéo giữa các vị trí nhãn và phù hợp tạo bằng cách chạy một thuật tốn chi phí thấp nhất luồng cực đại trên đồ thị dịng chảy. Rõ ràng thời gian cần
các vị trí nhãn. Vì vậy, việc thực hiện các thuật tốn ở trên cĩ liên quan chặt chẽ đến kích thƣớc của tập ban đầu của các vị trí nhãn.
Một điểm quan trọng cần nhấn mạnh là khung vừa miêu tả cĩ thể tính chi phí của một nhiệm vụ liên quan đến nhãn uu tiên, gần với tiêu chuẩn thẩm mỹ. Từ khi gán nhãn cuối cùng khơng chồng chéo, ta cĩ thể giả định rằng khơng cĩ chi phí gắn liền với vị trí tƣơng đối của bất kỳ cặp nhãn đƣợc gán.
Mỗi cạnh trong đồ thị song phƣơng Gm kết nối một đối tƣợng đồ họa cho một vị trí nhãn của đối tƣợng mà thuộc về một số nhĩm. Chi phí cho vị trí nhãn l của đối tƣợng đồ họa f đƣợc bao gồm nhƣ trọng số của cạnh (f, l)
trong đồ thị phù hợp. Sau đĩ, bằng cách gán cho các cạnh của nút nguồn và nút mục tiêu cân bằng khơng, ngƣời ta cĩ thể tìm thấy một phân nhãn cardinality chi phí thấp nhất lƣợng tối đa cho sự giảm vấn đề MLP bằng cách giải quyết vấn đề chi phí thấp nhất luồng cực đại cho đồ thị luồng Gflow.
Hình 2.15. Một bản vẽ vịng trịn với ba nhãn cho mỗi cạnh và nút được định vị bằng thuật tốn Flow-based trên. Các ơ màu trắng
là các nhãn cạnh và các hộp đen là nút nhãn