Tính đúng đắn của thuật tốn
Bổ đề 2.1. Thuật tốn tốn dị biên này quét qua mỗi điểm ảnh khơng quá một số lần nhất định.
Chứng minh: Do ảnh chỉ đƣợc quét một lần, những điểm khơng thuộc vào cạnh sẽ chỉ đƣợc quét qua đúng một lần. Với một điểm biên, số lần thủ tục Contour tracing quét qua nĩ đúng bằng số đƣờng biên chứa nĩ. Một điểm biên chỉ cĩ thể nằm trong tối đa bốn đƣờng biên (hình 2.20). Vì vậy, thuật tốn này quét qua những điểm khơng thuộc biên đúng 1 lần, những điểm biên khơng quá bốn lần.
Hình 2.25. Ví dụ 1 điểm biên P nằm trên 4 đường biên
Định lí 2.1. Thuật tốn dị biên này chạy trong thời gian tuyến tính.
Contour tracing là thủ tục phổ biến. Điểm biên đầu tiên đụng phải trong quá trình quét là điểm trên cùng bên trái nhất của đƣờng biên đĩ (do chiều quét). Ta gọi điểm này là điểm biên mở (opening pixel). Điểm biên mở của đƣờng biên ngồi của một thành phần (đối tƣợng) đƣợc gọi là điểm mở của đối tƣợng đĩ. Với thuật tốn này, mỗi đối tƣợng đƣợc gặp lần đầu tiên ở
Cĩ thể thấy rõ ràng mọi điểm đen đều đƣợc đánh nhãn theo thứ tự nhất định bởi thuật tốn. Để chứng minh tính chính xác của thuật tốn, ta cần phải chỉ ra tất cả điểm đen thuộc cùng một thành phần đều đƣợc đánh cùng một nhãn và mội điểm đen thuộc các thành phần khác nhau đều đƣợc đánh nhãn khác nhau.
Bổ đề 2.2. Mội điểm thuộc cùng một thành phần đƣợc đánh cùng một nhãn.
Chứng minh: Giả sử điểm mở của một thành phần đƣợc đánh nhãn C. Theo bƣớc 1 của thuật tốn, mọi điểm của đƣờng biên ngồi cũng đƣợc đánh nhãn C. Ta dùng quy nạp chứng mình mọi điểm cịn lại của thành phần này đều đƣợc đánh cùng một nhãn C. Giả sử điểm hiện tại là P, mọi điểm đen gặp trƣớc P trong quá trình quét đều đƣợc đánh nhãn C. Ta cần phải chứng minh
P cũng đƣợc đánh nhãn là C. Khơng mất tính tổng quát, coi nhƣ P khơng phải điểm thuộc đƣờng biên ngồi. Cĩ ba trƣờng hợp xảy ra:
Trường hợp 1: P khơng thuộc đƣờng biên trong. P cũng khơng thuộc đƣờng biên ngồi vậy P phải là điểm nằm giữa đối tƣợng. Lân cận trái Q của
P là một điểm đen. Do Q đƣợc gặp trƣớc trên đƣờng quét, theo giả thiết Q
đƣợc đánh nhãn là C. Theo bƣớc 3 của thuật tốn thì P cũng phải đƣợc đánh nhãn là C.
Trường hợp 2: P nằm trên đƣờng biên trong ∂ nhƣng khơng phải là điểm mở của ∂. Gọi Q là điểm mở của ∂, vậy Q phải đƣợc quét qua trƣớc P. Theo giả thiết quy nạp thì Q đƣợc đánh nhãn là C, theo bƣớc 2 của thuật tốn thì P cũng phải đƣợc đánh nhãn là C.
Trường hợp 3: P là điểm mở của một đƣờng biên trong nào đĩ. Vậy điểm lân cận trái Q trƣớc P là một điểm đen vì: Nếu Q là điểm trắng, P nằm trên đƣờng biên trong thì sẽ phải cĩ điểm U nằm ở dịng trên Q và trên P
(Hình 11). Điều này trái giả thiết P là điểm mở của . Vậy Q là điểm đen. Q
đƣợc quét tới trƣớc P nên Q đánh nhãn là C theo giả thiết quy nạp. Theo bƣớc 2 của thuật tốn thì P cũng đƣợc đánh nhãn C.
Hình 2.26. (A) Nếu P nằm trên đường biên trong ∂, điểm lân cận trái Q là điểm trắng thì ∂ phải cĩ điểm U trên Q và P. (B) Ngồi ra,
nếu đường kẻ dọc L qua Q khơng giao với phi trên Q thì Q là điểm nằm ngồi thành phần (đối tượng đang xét) và P là điểm thuộc đường biên ngồi.
Bổ đề 2.3. Mọi điểm thuộc các đối tƣợng khác nhau đƣợc đánh nhãn khác nhau.
Chứng minh: Từ bổ đề trƣớc, mọi điểm trong một thành phần đƣợc đánh cùng một nhãn với điểm mở của thành phần đĩ. Mặt khác, tại bƣớc 1 của thuật tốn đã đảm bảo rằng tại mỗi điểm mở của một thành phần đều đƣợc đánh nhãn mới. Vậy mỗi thành phần khác nhau sẽ cĩ nhãn khác nhau.
Từ bổ đề 2.2 và 2.3 ta cĩ định lí sau:
Định lí 2.2. Kết quả đánh nhãn cho các đối tƣợng của thuật tốn này là chính xác.
Tính hiệu quả của thuật tốn
Thuật tốn đƣợc đề cập ở trên cĩ một số ƣu thế. Thứ nhất, thuật tốn chỉ cần một lần quét qua ảnh. Các điểm thuộc đƣờng biên của đối tƣợng cĩ thể phải quét qua nhiều hơn một lần do thủ tục lần đƣờng biên, tuy nhiên cũng khơng vƣợt quá một số lần nhất định. Thứ hai, thuật tốn khơng địi hỏi cần bƣớc đánh nhãn lại. Khi một điểm ảnh đã đƣợc đánh số thứ tự, giá trị này sẽ khơng đổi. Thứ ba, kết quả ta cịn thu đƣợc tất cả các đƣờng biên và thứ tự
các điểm ảnh trong đƣờng biên. Thứ tƣ, kết quả chạy thử nghiệm cho thấy thời gian chạy của thuật tốn này nhanh hơn so với các thuật tốn cổ điển.
Thuật tốn này áp dụng hiệu quả trong các lĩnh vực mà ta cần phát hiện các đối tƣợng trong ảnh nhị phân và phân loại chúng dựa trên đặc điểm của đƣờng biên. Ví dụ cụ thể trong lĩnh vực phân tích và nhận dạng văn bản, thuật tốn này cĩ hiệu quả cao. Cơng việc nhận dạng văn bản cần phát hiện ra từng thành phần (ví dụ phân biệt các chữ cái, kí tự), sau đĩ nhận dạng từng đối tƣợng tìm đƣợc. Các đối tƣợng của ảnh cĩ tính thứ tự nhƣ trong ảnh đốt chấm (half-tone picture, ảnh tạo nên từ các đốt chấm kích cỡ khác nhau), các kí tự, dịng hay vùng text cần đƣợc phân loại trƣớc khi đƣa vào phân tích nhận dạng. Cĩ rất nhiều phƣơng pháp để phân loại đối tƣợng dựa trên đặc điểm đƣờng biên của nĩ.