Trong mục này, ta xét bài toán điều khiển tối ưu với khoảng thời gian [t0, t1] cố định và trạng thái kết thúc x(t1) hoàn toàn tự do. Cụ thể là: F(x, u) := Z t1 t0 L(t, x(t), u(t))dt → inf, (3.39) ˙ x(t) = f(t, x(t), u(t))∈ Rn, (3.40) u(t) ∈ U ⊂ Rr, (3.41) x(t0) = x0 (3.42)
trong đó L và f liên tục theo mọi biến và khả vi liên tục theo x. So với mô hình tổng quát xem [1] trang 70 thì ở đây ta có
ϕ0(t, x) = x−x0, ϕ1(t, x) ≡ 0.
Để chứng minh Nguyên lí cực đại Pontryagin một cách đơn giản, ta sẽ sử dụng một giả thiết quan trọng là:
điều khiển tối ưu liên tục từng khúc.
như đã từng làm trong khi chứng minh Điều kiện Weierstrass cho nghiệm cực tiểu địa phương mạnh của bài toán biến phân (Định lí 3.5.1).
Định lý 3.9.1 (Nguyên lí cực đại Pontryagin)
Cho x∗(·), u∗(·) là một quá trình tối ưu của bài toán (3.39)-(3.42) và điều khiển tối ưu u∗(·) liên tục từng khúc. Lúc đó tồn tại một hàm vector p(·) sao cho:
a) hàm p(·) thỏa mãn phương trình liên hợp
˙
p(t) = −Hx(t, x∗(t), u∗(t), p(t),1)
= −fxT(t, x∗(t), u∗(t))p(t) +Lx(t, x∗(t), u∗(t)) (3.43)
và điều kiện hoành
p(t1) = 0; (3.44)
b) điều kiện cực đại
H(t, x∗(t), u∗(t), p(t),1) = sup
u∈U
H(t, x∗(t), u.p(t),1) (3.45)
được thỏa mãn hầu khắp trên [t0, t1].
Nhắc lại rằng
H(t, x, u, p,1) = (p| f(t, x, u))−L(t, x, u).
Kết luận trên là một trường hợp đặc biệt của mô hình tổng quát xem [1] trang 66. Ở đây không cần nhắc đến hai vector l0 vàl1. Đặc biệt, λ0 6= 0, vì giả sử λ0 = 0 thì p(·) phải là nghiệm của phương trình vi phân
˙
p(t) = −fxT(t, x∗(t), u∗(t))p(t), p(t1) = 0,
tức là p(t) ≡ 0, mâu thuẫn với điều kiện rằng các nhân tử Lagrange không đồng thời triệt tiêu, Vì vậy, có thể đặt λ0 = 1.
Kết luận
Luận văn đã trình bày điều kiện cần của bài toán cực trị, bắt đầu từ điện kiện cần Fermat cho bài toán tối ưu một hàm trơn đến bài toán cực trị có ràng buộc, cho các hàm mục tiêu trơn hoặc lồi trong không gian hữu hạn chiều. Đặc biệt, luận văn đã trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân (bài toán tối ưu trong không gian vô hạn chiều).
Trong luận văn đã trình bày các chứng minh chi tiết điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân cơ sở và bài toán biến phân Bolza, cùng với các chứng minh chi tiết Bổ đề Lagrange và Bổ đề Du Bois-Reymond.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Hoàng Xuân Phú (1997), Bài giảng cao học Lý thuyết các bài toán cực trị, Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] V. M. Alekseev, V. M. Tikhomirov, S. V. Formin (1979), Optimal Control, tiếng Nga: Nauka, Moscow.
[4] A. D. Ioffe, V. M. Tikhomirov (1974) Theory of Extremal Prob- lems, tiếng Nga: Nauka, Moscow; tiếng Anh (1979), North- Holland, Amsterdam.
[5] L. S. Pontryagin, V. G. Boltyasliĩ, R. V. Gamkrelidze, E. F. Mishchenko (1961), The mathematical Theory of Optimal Pro- cesses, tiếng Anh (1961), Fizmatgiz, Moscow; tiếng Nga (1962), Interscience, New York.
[6] Mike Mesterton-Gibbons (2009), STUDENT MATHEMATICAL
LIBRARY Volume 50 A Primer on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory.
[7] Richard Vinter (2000), Optimal Control, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin.