Trong các phần trên, ta thường dùng cách hàm biến phân chỉ khác
0 trên một khoảng nhỏ để gây nhiễu cục bộ. Vì vậy, điều kiện cần thu được cũng chỉ đưa ra đảm bảo mang tính chất cục bộ. Nghĩa là: trên từng khoảng đủ nhỏ thì nghiệm thỏa mãn điều kiện cần cũng đủ tốt. Song, cũng như trong cuộc sống hàng ngày, nhiều cái tốt diện hẹp gộp lại với nhau chưa chắc đã cho ra thành phẩm tối ưu trong diện rộng. Ví dụ sau đây sẽ minh họa điều đó.
Với hai điểm A và B cho trước trên bề mặt một quả cầu, ta phải tìm con đường ngắn nhất chạy trên mặt cầu và nối hai điểm đó. Khi hai điểm A và B đủ gần nhau thì đường nối ngắn nhất phải là đoạn
nằm giữa, thuộc giao của mặt cầu và mặt phẳng đi qua tâm cầu cùng hai điểm đó. Rõ ràng, đây là một điều kiện cần cực tốt, đến mức khi A
và B đủ gần thì nó chỉ cho một nghiệm duy nhất, chính là nghiệm tối ưu. Nhưng khi A và B nằm xa nhau, gần đối xứng qua tâm, thì ta bắt đầu lúng túng với khái niệm “nằm giữa”, bởi lẽ có hai đoạn cong khác nhau cùng ở trên mặt phẳng qua tâm và “nằm giữa” hai điểm đó. Trừ trường hợp A và B thực sự đối xứng qua tâm, còn lại một trong hai “ứng cử viên” mà điều kiện cần đưa ra không thể là đường nối ngắn nhất.
Làm thế nào để khắc phục tình trạng trên? Ta có thể thêm đòi hỏi sau đây vào điều kiện cần: Ngoài điểm B ra, đoạn nối cần tìm không có điểm nào đối xứng với A qua tâm cầu! Điều kiện này giúp loại bớt trường hợp xấu hơn.
Với kinh nghiệm này, ta có thể hiểu hơn phần nào về sự xuất hiện của điều kiện Jacobi, là điều kiện cần mang tính chất toàn cục quan trọng nhất cho nghiệm cực tiểu địa phương. Hãy để ý rằng: Biến phân dùng để chứng minh điều kiện này có thể khác 0trên gần khắp khoảng khảo sát [t0, t1]. Đặt K(x(·)) =δ2F(x∗(·), x(·)), (3.29)-(3.30) cho ta K(x(·)) = Z t1 t0 (A(t) ˙x2(t) +B(t)− d dtC(t)x 2 (t))dt ≥ 0 ∀x(·) ∈ L0. (3.31) Nếu tồn tại một biến phân x(·) ∈ L0 không tầm thường (;tức là
x(·) đồng nhất 0), cho giá trị cực tiểu 0 của K(·), nghĩa là nó gây ảnh hưởng ít nhất tới F(x∗(·)), thì x(·) phải thỏa mãn phương trình Euler sau: −d dt(A(t) ˙x) + B(t)− d dtC(t) x= 0. (3.32)
Người ta gọi đây là Phương trình Jacobi.
dạng
−A(t)¨x−A˙(t) ˙x+ (B(t)−C˙(t))x = 0.
Nếu thêm vào đó là điều kiện Legendre ngặt
A(t) = Lx˙x˙(t, x∗(t),x˙∗(t)) >0 ∀t ∈ [t0, t1] (3.33) được thỏa mãn thì ta có thể đưa (3.32) về dạng sau
¨
x−P(t) ˙x−Q(t)x= 0, trong đó (3.34)
P(t) =−A−1(t) ˙A(t), Q(t) =−A−1(t)(B(t)−C˙(t)).
Gọi Φ(., t0) là nghiệm của phương trình (3.34) với điều kiện ban đầu
Φ(t0, t0) = 0, Φ(˙ t0, t0) = 1
(ta biết rằng bài toán Cauchy này có duy nhất nghiệm). Một điểm
τ > t0 được gọi là điểm liên hợp của t0 nếu Φ(τ, t0) = 0.
Định lý 3.7.1 (Điều kiện cần Jacobi)
Giả thiết rằng: L khả vi liên tục ba lần trong miền U ⊂ R3,
(t, x∗(t),x˙∗(t)) ∈ U với mọi t ∈[t0, t1],
hàm L khả vi liên tục hai lần trên [t0, t1] và thỏa mãn điều kiện Leg- endre ngặt (3.33). Nếu x∗(·) là nghiệm tối ưu địa phương yếu của bài toán (3.3) thì không thể tồn tại một điểm liên hợp của t0 trong khoảng
(t0, t1).
Có thể so sánh vai trò điểm liên hợp của t0 như điểm đối xứng qua
A của tâm cầu (trong ví dụ kể trên). Cho nên, điều kiện “không thể tồn tại một điểm liên hợp của t0 trong khoảng (t0, t1)” cũng giống như đòi hỏi “đoạn nối cần tìm không có điểm nào đối xứng với A qua tâm cầu (ngoài điểm B ra)”.
Chứng minh (tóm tắt): Giả sử ngược lại: tồn tại τ ∈(t0, t1) với
Do phương trình (3.34) chỉ có một nghiệm nên ˙ Φ(τ, t0) 6= 0. (3.36) Chọn h(t) = Φ(t, t0) cho t ∈[t0, τ], 0 cho t ∈[τ, t1].
Thực hiện tích phân từng phần rồi sử dụng (3.32) và (3.35), ta nhận được K(h(·)) = Z τ t0 (A(t) ˙Φ2(t, t0) + (B(t)−C˙(t))Φ2(t, t0))dt = Z τ t0 −d dt[A(t) ˙Φ(t, t0)] + (B(t)−C˙(t))Φ(t, t0) Φ(t, t0)dt = 0.
Để chỉ ra mâu thuẫn, dùng biến phân sau của hàm h(·) :
h(t, λ, τ, ) = h(t) cho t0 ≤ t ≤ τ −λ, afin trên [τ −λ, τ +], 0 cho t ≥ τ +,
với λ và là các thông số nguyên dương đủ nhỏ. Với
ϕ(λ) =K(h(., λ, τ, )),
có thể chỉ ra rằng
ϕ0(+0) = −A(τ) ˙Φ2(τ, t0)
(xem chi tiết trong [4], bản tiếng Anh: P. 133). Do điều kiện Legendre ngặt (3.33) và (3.36), ta có ϕ0(+0) < 0, nghĩa là tồn tại λ0 > 0 và
0 > 0 đủ nhỏ để K(h(., λ0, τ, 0)) < 0. Bây giờ ta chỉ cần “làm trơn”
h(., λ0, τ, 0) để nhận được h(·) ∈ L0 với K(h(·)) < 0. Điều này mâu
Ví dụ 3.7.2
F(x(·)) =
Z T
0
( ˙x2(t)−x2(t))dt → inf; x(0) = x(T) = 0.
Phương trình Euler cho bài toán này là x¨ +x = 0. Trước hết, xét trường hợp T = 2π. Tất cả các hàm có dạng xc(t) = c sint đều thỏa mãn phương trình này và điều kiện biên x(0) = x(2π) = 0. Tuy nhiên, không một hàm nào trong số đó là nghiệm tối ưu địa phương yếu, vì đối với chúng, phương trình (3.34) tương ứng đều là
¨
x+x= 0, x(0) = 0, x˙(0) = 1
và cho nghiệm Φ(t,0) = sint. Do Φ(π,0) = 0 nên π là điểm liên hợp của0, lại nằm trong khoảng(0,2π). Nghĩa là mọi xc(·) đều không thỏa mãn điều kiện cần Jacobi.
Trong trường hợp T < π, hàm x∗(t) ≡ 0 thỏa mãn phương trình Euler và điều kiện biên x(0) =x(T) = 0. Nó cũng thỏa mãn điều kiện cần Jacobi, vì mọi điểm liên hợp của 0 đều lớn hơn T. Trên thực tế, nó là tối ưu địa phương yếu, vì có thể chỉ ra rằng
F(x(·)) = Z T 0 ( ˙x2(t)−x2(t))dt = Z T 0 ( ˙x(t)−x(t) cott)2dt khi T < π và x(·) ∈ L0.