Trong khi điều kiện Euler dành cho nghiệm tối ưu địa phương yếu, thì điều kiện Weierstrass là điều kiện cần cho nghiệm tối ưu địa phương mạnh. Để phát biểu nó người ta dùng hàm Weierstrass:
ε(t, x,x, ξ˙ ) := L(t, x, ξ)−L(t, x,x˙)−(ξ−x˙)Lx˙L(t, x,x˙). (3.21) Định lý 3.5.1 (Điều kiện Weierstrass cho nghiệm cực tiểu mạnh)
Giả thiết rằng L khả vi liên tục trong miền U ⊂ R3,(t, x∗(t),x∗˙ (t)) ∈
U với mọi t ∈[t0, t1] và x∗(·) ∈C1[t0, t1] thỏa mãn phương trình Euler (3.6). Nếu x∗(·) là một nghiệm tối ưu địa phương mạnh của bài toán (3.3) thì nó phải thỏa mãn
Theo điều kiện Weierstrass (3.22) thì
L(t, x∗(t), ξ)−L(t, x∗(t),x˙∗(t), ξ))Lx˙(t, x∗(t),x˙∗(t), ξ)) ≥ 0. (3.23) Có nghĩa là: đồ thị của hàm L(t, x∗(t), .) : R → R nằm ở phía trên đường tiếp tuyến tạiξ = ˙x∗(t).Người ta dễ đặt ra câu hỏi: Để đạt được giá trị cực tiểu của tích phânRt1
t0 L(t.x∗(t),x∗˙ (t))dt,tại sao không chọn
˙
x∗(t) là điểm cực tiểu của L(t, x∗(t), .) với mọi t ∈ [t0, t1]? Điều đó có được không, vì như vậy thì không thể thỏa mãn điều kiện x∗(t0) = x0
và x∗(t1) = x1. Sở dĩ phải đòi hỏi (3.5.1) đúng với mọi ξ ∈ R là vì: trong không gian C[0,1], mặc dù kx(·)kCn rất nhỏ nhưng |x˙(t)| vẫn có thể lớn tùy ý.
Dễ thấy rằng: điều kiện Weierstrass (3.22) hiển nhiên được thỏa mãn nếu hàmL tựa chính qui, tức là L(t.x,·) lồi (theo biến thứ ba) với mọi
t và x.
Quay lại ví dụ 3.2.4, ta có x∗(t) = t, x˙∗(t) = 1 và
ε(t, x∗(t),x˙∗(t), ξ) = ξ3−1−(ξ −1)3
= (ξ−1)2(ξ + 2) <0 khi ξ < −2.
Như vậy, nghiệm x∗(t) = t không thỏa mãn điều kiện Weierstrass, nên nó không thể là nghiệm tối ưu địa phương mạnh của bài toán (3.7)
Để chứng minh định lí trên. K. Weierstrass đã sử dụng một loại hàm nhiễu đặc biệt: h(t, λ, ) := 0 cho t /∈ [τ, τ +] λ cho t = τ +λ, ξ ∈ R,
afin trên đoạn [τ, τ +λ] và [τ +λ, τ +],
(3.24)
gọi là biến phân Weierstrass. Hàm này có phần đồ thị (khác 0) là một hình tam giác, mà khi độ dài đáy tiến tới 0 thì tam giác đó tiến dần đến triệt tiêu (để hàm bị nhiễu x∗(·) +h(., λ, ) tiến dần đến x∗(·) theo chuẩn k.kCn), nhưng độ nghiêng x˙ = ξ của cạnh trên đoạn [τ, τ +λ]
không thay đổi. Như vậy, tam giác nhiễu đó càng giống một cái kim. Vì vậy, người ta còn gọi hàm nhiễu ấy là biến phân hình kim.
Với τ bất kì thuộc (t0, t1) và > 0, khảo sát
ϕλ := Z t1 t0 L(t, x∗(t) +h(t, λ, ),x˙∗(t) + ˙h(t, λ, ))dt ta có lim →0ϕ0(+0) = L(τ, x∗(τ),x˙∗(τ), ξ)−L(τ, x∗(τ),x˙∗(τ))−ξLx˙(τ, x∗(τ),x˙∗(τ)).
Do ϕ(+0) ≥ 0 (với mọi > 0) nên đẳng thức vừa rồi cho ta kết luận của Định lí 3.5.1 (xem [1], trang 54).