6. Cấu trúc luận văn
2.2.4. Biện pháp 4: Giúp học sinh thấy được vai trò và ứng dụng của Hàm
Mũ, Hàm số Logarit trong các bài toán thực tế liên môn nhằm tạo hứng thú cho người học trong quá trình dạy học chủ đề này
a) Mục đích của biện pháp
Mỗi nội dung kiến thức toán học đều có ứng dụng để giải các bài toán thực tế. Quan trọng là phải khai thác được những hoạt động trong mỗi nội dung cụ thể để thực hiện nhiệm vụ dạy học.
Nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit có thể được đánh giá khá trừu tượng nhưng chúng ta lại không thể phủ nhận ứng dụng của chủ đề này trong các bài toán thực tế. Do đó, để tạo hứng thú cho người học thì GV cần tạo cơ hội cho HS tiếp cận các bài toán thực tế. Trong chương 1 Cơ sở lý luận cũng đã trình bày đến định hướng khai thác các bài toán thực tiễn liên môn nhằm tăng cường năng lực GQVĐ cụ thể là thành tố sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích.
b) Nội dung và cách thực hiện biện pháp
Từ những tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng, kiến thức đã học con người sử dụng để giải quyết những nhu cầu mới hơn, cao hơn nhằm giải quyết một số bài toán thực tiễn với mục đích cao nhất là chinh phục thế giới từ đó hình thành năng lực GQVĐ của cá nhân. Như vậy, có thể coi bài toán thực tế là cơ sở, là khởi nguồn để hình thành năng lực GQVĐ. Những bài toán thực tế chính là động cơ, là nhu cầu thiết thực để HS tìm ra những giải pháp giải quyết trên cơ sở kiến thức, kĩ năng vốn có của mình. Thông qua các bài toán thực tế, có thể khơi gợi sự hứng thú của HS trong quá trình học tập, khơi gợi sự tò mò, trải nghiệm, khám phá tìm hiểu thế giới xung quanh. Từ sự chủ động dung nạp kiến thức, sẽ tự kiến tạo được kiến thức, do đó kiến thức mang tính bền vững là điều kiện hình thành năng lực cho mình giúp HS thấy được vai trò và ứng dụng thực tiễn của
Hàm số Mũ, Hàm số Logarit nhằm tạo sự hứng thú, cũng như phát triển được nhiều năng lực thành tố trong đó có năng lực GQVĐ của HS.
Cách thực hiện biện pháp này như sau: - Đưa ra các dạng toán thực tế liên môn.
- Xây dựng cho HS các công thức có thể sử dụng trong dạng toán đó. - Cho HS tiếp xúc với các dạng toán cụ thể.
- Hướng dẫn phân tích bài toán.
- Đưa ra phương pháp và lời giải bài toán.
c) Ví dụ minh họa
Dạng 1: Bài toán thuộc lĩnh vực kinh tế
Ví dụ 2.21: Hãy tưởng tượng nếu cầm một khoản tiền 10.000.000 đồng
đến gửi ngân hàng, sau mỗi tháng ta sẽ nhận được 0,5% của số tiền vốn 10.000.000 đồng đó.
- Xây dựng công thức cho dạng toán này: Quá trình tích vốn và sinh lãi có thể quan sát trong bảng sau:
Tháng Tổng số vốn (đồng) Tổng lãi (nếu không rút)(đồng)
1 10.000.000 0,5%.10.000.000 = 50.000
2 10.000.000 50.000 + 0,5%.10.000.000 = 100.000 3 10.000.000 100.000 + 0,5%.10.000.000= 150.000
Ta quan sát thấy rõ ràng trong suốt quá trình trên tiền lãi ta có thêm hàng tháng là một hằng số, ngoài ra tiền vốn từ đầu đến cuối không hề thay đổi.
Nếu ta xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng số vốn gốc ban đầu là P0 với mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi đơn trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính tổng
giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. Chú ý, đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày. Ta theo dõi bảng thống kê sau:
Ở cuối kì Vốn gốc Tiền lãi Tổng vốn và lãi cộng dồn ở cuối kì 1 P0 P r0. P0P r0. P r0( 1) 2 P0 P r0. P0P r0. P r0. P0(2r1) 3 P0 P r0. P0P r0. 2 .P r0 P0(3r1) 4 P0 P r0. P0P r0. 3 .P r0 P0(4r1) … …. N P0 P r0. P0P r0. (n1) .P r0 P nr0( 1) Do đó, ta có thể tóm tắt lại công thức tính tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì như sau:
0(1 )
n
P P nr (1)
n
P là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì 0
P là vốn gốc r là lãi suất mỗi kì
Đó là lãi đơn, còn đối với bài toán lãi kép, các khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tư mỗi kì được tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lãi trong suốt thời gian đầu tư. Bài toán tổng quát như sau: Nếu ta đưa vào sử dụng số vốn ban đầu là P0với mong muốn đạt lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính Pn tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. Chú ý, đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày.
- Ở cuối kì thứ nhất ta có: + Tiền lãi nhận được: P r0.
1 0 0 0(1 )
P P P rP r
- Đo lãi nhập vào vốn đến cuối kì thứ hai ta có: + Tiền lãi nhận được: Pr1
+ Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ 2 là:
2
2 1 1 1( 1) 0( 1)(r 1) P (r 1)0
P P PrP r P r
- Một cách tổng quát thì sau n kì, tổng giá trị đạt được là 0(1 )n
n
P P r (2)
Trong đó, Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì 0
P là vốn gốc r là lãi suất mỗi kì
Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là:PnP0
Ví dụ 2.22: Anh N gửi ngân hàng 10 triệu đồng theo hình thức lãi kép. a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu được số tiền là bao nhiêu?
b) Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% một quý thì sau 2 năm người đó thu được số tiền là bao nhiêu?
Hướng dẫn phân tích bài toán
- GV: Sau khi đọc đề bài, bạn nào có thể xác định tiền lãi thu được thuộc
hình thức nào? (Lãi đơn hay lãi kép). Vì sao?
- HS: Bài toán trên là bài toán lãi kép. Vì các khoản tiền lời phát sinh từ
hoạt động đầu tư mỗi kì được tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lãi trong suốt thời gian đầu tư.
- GV: Vậy nếu là bài toán lãi kép, thì sẽ áp dụng công thức nào? Xác định
các thành phần đã có trong bài toán, bài toán yêu cầu chúng ta tính cái gì?
- HS: Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền anh N rút ra được từ ngân hàng sau
- GV: Muốn tìm được lãi suất trước hết ta phải xác định rõ các yếu tố
nào?
- HS: Ta phải xác định rõ: P0...;r...;n...?, từ đó thay vào công thức (2) tìm được Pn
Hướng dẫn giải
a) Ta có P0 10000000 đồng, n2 năm, lãi suất trong một năm là 7,56%
r một năm.
Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là: P2 10000000(1 7,56%) 2 11569000 đồng
b) Ta có: P0 10000000 đồng, n2 năm = 8 quý, lãi suất trong 1 quý là r1,65% một quý.
Áp dụng công thức (2), ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là: P2 10000000(1 1,65%) 8 11399000 đồng.
Lưu ý: Qua bài toán này cần chú ý cho HS:
- Thứ nhất, khi tính toán các yếu tố trong bài toán gửi tiền vào ngân hàng này các em cần lưu ý dữ kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: lãi đơn hay lãi kép... để từ đó xác định đúng công thức tính toán cho từng trường hợp.
- Thứ hai, nếu lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức (2).
Đây là một trong những bài toán rất phổ biến về tính lãi suất, tuy nhiên nhiều HS chưa thực sự biết cách tính lãi suất, chưa biết áp dụng công thức gì và tại sao lại áp dụng công thức đó để tính. Thậm chí khi học môn Công nghệ 12 yêu cầu HS tính tiền lãi suất phải trả góp mua bán xe nhiều HS không thể hoàn thành được bài toán này.
Ví dụ 2.23: Chị B gửi tiết kiệm 500.000.000 đồng vào ngân hàng A theo kì hạn 3 tháng và lãi suất 0,62% một tháng theo hình thức lãi kép.
a) Hỏi sau 5 năm chị B nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó.
b) Nếu với số tiền trên chị gửi tiết kiệm theo mức kì hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng thì 5 năm chị B nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó.
Hướng dẫn giải
a) - GV: Để tính số tiền chị B nhận về được sau 5 năm vậy bài toán này có thể áp dụng công thức lãi suất nào để tính và công thức tính là gì?
- HS: Bài toán này sử dụng hình thức lãi kép. Công thức số (2):
0(1 )n
n
P P r
- GV: Muốn tính được số tiền trước hết ta phải xác định được các yếu tố
liên quan trong bài, vậy đề bài cho chúng ta biết những yếu tố nào?
- HS: Từ đề bài chúng ta có thể tìm ra kì hạn, lãi suất mỗi kì hạn, số tiền
ban đầu.
- GV: Thời gian gửi là 5 năm và mỗi kì hạn là 3 tháng do đó có bao
nhiêu kì hạn và lãi suất mỗi kì hạn là bao nhiêu?
- HS: Do mỗi kì hạn là 3 tháng nên 5 năm ta có n20 kì hạn. Lãi suất mỗi kì hạn là r3.0,62% 1,86%
- GV: Khi đó ta thay vào công thức vậy số tiền chị B nhận được sau 5
năm là?
- HS: Áp dụng công thức (2) sau 5 năm chị B nhận được số tiền là:
20
500000000(1 1,86%) 722842104
n
P đồng
b) - GV: Bài toán này tương tự như phần (a). Đề bài chỉ thay đổi yếu tố nào?
- HS: Đề bài thay đổi kì hạn từ 3 lên 6 tháng, khi đó số kì hạn và lãi suất mỗi kì hạn là hay đổi.
+ Do mỗi kì hạn là 6 tháng nên 5 năm có n10 kì hạn. + Lãi suất mỗi kì hạn là r6.0,65% 3,9%
+ Số tiền nhận được là:
10
500000000(1 3,9%) 733036297, 4
n
P đồng.
Hình thức lãi suất vẫn là lãi kép, tuy nhiên bài toán này chị B lại không rút lãi ở các kì hạn trước.
Ví dụ 2.24: Một người gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)?
Phân tích bài toán
- GV: Ta xác định giả thiết đề bài cho biết những yếu tố nào?
- HS: Số tiền ban đầu P0 60000000 đồng, theo hình thức lãi kép với lãi suất r7,56% một năm và giá trị đạt được sau n năm gửi là 280.000.000 đồng.
+ Để tìm thời gian gửi trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2)
Hướng dẫn giải
- Ta có Pn 120.000.000đồng, P0 60.000.000đồng, r7,56% một năm. - Áp dụng công thức (2): sau n năm gửi, người gửi thu được tổng số tiền là:
0 1 0 0 (1 )n (1 )n n log n n r P P P P r r n P P 1 7,56% 120.000.000 log 9,51 60.000.000 n năm.
Vậy sau khoảng 10 năm người đo sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số vốn 60 triệu đồng ban đầu.
Phương pháp giải chung của dạng toán lãi suất như sau:
- Trước hết phải xác định bài toán sẽ thuộc hình thức lãi suất nào, lãi đơn hay lãi kép để từ đó sử dụng công thức tính cho đúng.
- Xác định các yếu tố cần có: số tiền ban đầu, số kì hạn, lãi suất mỗi kì hạn... - Áp dụng công thức để tính.
Dạng 2: Tăng trưởng mũ – Ứng dụng trong đời sống xã hội
Như bài toán ở Dạng 1: Nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là 0
P với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép thì sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là P0(1r)n
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r
m và số tiền thu được n năm là (hay sau nm kì) là:
. 0(1 r )m n
P
m
Hiến nhiên khi tăng số kì m trong một năm thì số tiền thu được sau n năm cũng tăng theo. Tuy nhiên như ta thấy sau đây, nó không thể tăng lên vô cực được.
Thế thức tính lãi khi m → +∞ gọi là thể thức lãi kép liên tục.
Như vậy với số vốn ban đầu là P0 với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì ta chứng minh được rằng sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: .
0. n r
n
P P e (3) Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.
Ví dụ 2.25: Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% trên năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là?
- GV: Để xác định được số tiền thu về vậy trước hết ta cần xác định hình thức lãi suất của bài toán là hình thức nào?
- HS: Hình thức lãi kép liên tục.
- GV: Vậy trước hết cần xác định những yếu tố nào?
- HS: Cần xác định số tiền gửi ban đầu, số năm gửi, lãi suất gửi. - GV: Bài toán này khác bài toán lãi suất kép như thế nào? - HS: Khác nhau là ta có lãi suất gửi theo năm.
- GV: Vậy khi đó sẽ thu được số tiền sau 2 năm là bao nhiêu? - HS: Sau 2 năm số tiền thu được là:
2.8%
2 1000000000. 117,351087
P e triệu đồng.
Không chỉ toán học hay bài toán kinh tế, mà ứng dụng của Hàm số Mũ, Hàm số Logarit cũng được áp dụng để tìm hiểu hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng trường dân số, cũng được tính theo công thức (3).
Dạng 3: Bài toán về dân số.
Gọi:
-P0 là dân số của năm lấy làm mốc tính. - Pn là dân số sau n năm.
- r là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng năm.
• Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau: - Công thức Pn P e0. n r. (3) dùng công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ. - Công thức Pn P0(1r)n(2) dùng công thức tính lãi kép.
Ví dụ 2.26: Năm 2001, dân số nước ta khoảng 78690000 người. Theo công thức tăng trưởng mũ, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm luôn là 1,7% thì ước tính dân số Việt Nam năm sau sẽ là 0,017. 0,017.
78690000.e r 7,869.e r (chục
triệu người). Để phần nào thấy được mức độ tăng nhanh của dân số; ta xét hàm số 0,017.
( ) 7,869. r
f x e
• Đồ thị của hàm số y f x( ) cho thấy khoảng 30 năm sau (tức là khoảng năm 2031), dân số nước ta sẽ vào khoảng 131 triệu người, tức là tăng gấp rưỡi. Chính vì vậy, các em hiểu bùng nổi dân số là khái niệm dùng rất phổ biến hiện nay, để thể hiện việc dân số tăng quá nhanh, có cơ cấu dân số trẻ, thời gian tăng gấp đôi rút ngắn. Những vấn đề đặt ra cho các nhà hoạch định chính sách như kế hoạch hóa dân số, việc làm, phân bố dân cư, nhập cư, di dân... sao