2 Bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan
2.4.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai
1. Phát biểu bài toán
Giả sử X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, A ⊂ X, B ⊂ Y, C là một nón trong Z. Xét S1, S2 : A ⇒ A, T : A×A ⇒ B là các ánh xạ đa trị. Cho ánh xạ đơn trị F :B ×A×A →Z.
Bài toán đặt ra là: Tìm a¯∈ S1(¯a) sao cho:
F(y, b,a¯) ∈ F(y,a,¯ ¯a) +C
với b ∈ S2(¯a), y ∈ T(b,¯a). Tức là
F(y, b,¯a) ≥C F(y,a,¯ ¯a),∀b ∈ S2(¯a), y ∈ T(b,¯a)
Ví dụ 2.13 Một công ty xuất nhập khẩu X chịu sự điều hành của ban giám đốc và hội đồng quản trị. Công ty X có tập các kế hoạch sản xuất là A. Gọi B là tập kế hoạch xuất nhập khẩu sản phẩm của công ty. Ứng với một kế hoạch của công ty thì tổng giám đốc sẽ đưa ra một tập các kế hoạch sản xuất tương ứng (được xác định bởi ánh xạ đa trị
S1 : A ⇒ A), còn Hội đồng quản trị đưa ra một tập các kế hoạch sản xuất của mình, công ty X sẽ có kế hoạch xuất nhập khẩu cho bởi ánh xạ đa trị T : A×A ⇒B.
Vấn đề đặt ra là: Tìm một kế hoạch sản xuất trong số các kế hoạch của tổng giám đốc ¯a ∈ S1(¯a) để tổn thất của công ty X là nhỏ nhất, với mọi kế hoạch sản xuất của Hội đồng quản trị và kế hoạch xuất nhập khẩu của công ty. Tức là nếu tổn thất của công ty là hàmF : B×A×A ⇒R
thì F(y, b,¯a) ≥C F(y,¯a,a¯),∀b ∈ S2(¯a), y ∈ T(b,a¯).
Dựa vào các định lý tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân (VR), ta suy ra định lý tồn tại nghiệm của bài toán tựa tối ưu loại hai sau đây. Lưu ý ta chỉ xét trường hợp A= B.
Định lý 2.4. Xét bài toán tối ưu loại hai như trên. Bài toán này có nghiệm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) A là tập lồi, compact, khác rỗng.
ii) S2−1(a) là tập mở trong A và S2(a) 6= ∅,∀a ∈ A.
iii) Tập {a ∈ A : a ∈ S1(a)} các điểm bất động của tập S1 là tập đóng
và co(S2(a)) ⊂S1(a).
iv) T(., b) là nửa liên tục dưới đôi với biến thứ nhất và F là (−C)-liên
tục theo biến thứ nhất và thứ ba.
v) T là F-tựa đơn điệu trong A đối với nón C.
Chứng minh. Quan hệ R xác định như sau:
R(a, b, y) xảy ra khi và chỉ khi F(y, b, a) ∈ F(y, a, a) +C. Nhận thấy bài toán tựa lồi tối ưu loại hai là trường hợp riêng của bài toán (VR) do đó ta có thể viết lại bài toán (VR) là:
Tìma¯∈ Asao cho¯a ∈ S1(¯a)vàF(y, b, a) ∈ F(y,¯a,¯a),∀b ∈ S(2)(¯a), y ∈ T(b,¯a). Theo giả thiết, F là C-liên tục theo biến thứ nhất và biến thứ ba nên ∀(aα, yα) → (a, y) và F(yα, b, aα) ∈ F(yα, aα, aα) + C thì
F(y, b, a) ∈ F(y, a, a) +C. Khi đó R(., b, .) là đóng đối với biến thứ nhất và thứ ba.
Ta có T là F-tựa đơn điệu trong A đối với nón C, tức là với mọi tập hữu hạn {a1, a2, . . . , ak} ∈ A và với mọi tổ hợp lồi a của {a1, a2, . . . , ak}
ta tìm được chỉ số i ∈ {1, . . . , k} sao cho F(y, ai, a) ∈ F(y, a, a) +C. Vậy
R là KKM.
Áp dụng Định lý 2.2 và Bổ đề 2.1 ta suy ra bài toán tựa tối ưu loại hai có nghiệm. Định lý trên là một trong những kết quả chính bài toán [8]. Nếu S2 = S thì định lý trên có thể được viết lại như sau:
Xét bài toán tối ưu loại hai như trên. bài toán này có nghiệm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) A là tập lồi, compact, khác rỗng.
ii) S2−1(a) là tập mở trong S và S(a) 6= ∅,∀a ∈ A.
iii) Tập {a ∈ A : a ∈ S(a)} tất cả các điểm bất động của tập S là tập đóng.
iv) T(., b) là nửa liên tục dưới đôi với biến thứ nhất và F là (−C)-liên tục theo biến thứ nhất và thứ ba.
v) F là T-tựa đơn điệu trong A đối với nón C. Khi đó ∃¯a ∈ S(¯a) sao cho F(y, b,a¯) ≥F(y,¯a,¯a)