2 Bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan
2.4.3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát
1. Phát biểu bài toán tựa cân bằng tổng quát
Giả sử X, Y, Z, W là các không gian véctơ tôpô, A ⊆X, B ⊆ X, E ⊆ W là các tập con khác rỗng. Cho S1 : A ⇒A, S2 :A ⇒ E,, T : A×A ⇒ Zvà F : B×A×A ⇒Y là các ánh xạ đa trị.
Bài toán đặt ra là: Tìm¯a ∈ A sao cho¯a ∈ S1(¯a)và 0 ∈ F(y,a, b¯ ),∀b ∈ S2(¯a) và y ∈ T(¯a, b).
2. Định lý tồn tại nghiệm
Định nghĩa 2.2. Cho F : B × A × A ⇒ Y, T : A × A ⇒ B là
hạn {a1, a2, . . . , ak},∃ai ∈ {a1, a2, . . . , ak} sao cho 0 ∈ F(y, a, ai),∀y ∈ T(a, ai.
Xét trường hợp A = B, định lý sau cho ta điều kiện để bài toán cân bằng có nghiệm.
Định lý 2.6. Bài toán tựa cân bằng tổng quát có nghiệm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) A là tập lồi, compact, khác rỗng.
ii) S1(.) là tập đóng, co(S2(a)) ⊆ S1(a) và S2−1(b) là mở trong A với
mọi a, b ∈ A.
iii) Với mỗi b ∈ S2(a), tập {a ∈ A : 0 ∈ F(y, a, b)∀y ∈ T(b, a)} là tập
đóng.
iv) F : B ×A×A ⇒ Y là T-KKM.
Chứng minh Xét quan hệ R được xác định như sau:
R(a, b, y) xảy ra khi và chỉ khi0 ∈ F(y, a, b). Ta viết lại bài toán (VR) như sau:
Tìm a¯ ∈ A sao cho a¯ ∈ S1(¯a) và 0 ∈ F(y,a, b¯ ),∀b ∈ S2(¯a) và y ∈ T(b,¯a). Khi đó bài toán tựa cân bằng tổng quát là trường hợp riêng của bài toán quan hệ biến phân (VR).
Theo cách chứng minh của Bổ đề 2.1 thì điều kiện i), ii), iii) của định lý chứng tỏ P(b) là tập đóng. Định lý 2.2 được thỏa mãn và do đó bài toán tựa cân bằng tổng quát có nghiệm.
Nếu mỗi điểm cố định b ∈ A, tập {a ∈ A : 0 6∈ F(y, a, b)} với
Kết luận
Luận văn đã trình bày chi tiết các kết quả chính trong bài báo "An abstrct problem in variational analysis" cảu tác giả D.T.Lục [7]. Cụ thể là:
1. Trình bày chi tiết bài toán quan hệ biến phân và liên hệ với các bài toán khác của Lý thuyết Tối ưu.
2. Phát biểu và chứng minh các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân.
3. Áp dụng định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân vào các bài toán trong lý thuyết tối ưu.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] N. B. Minh, N. X. Tấn, "Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị". Nhà xuất bản Giáo dục (2006).
[B] Tài liệu tiếng Anh
[2] F. E. Browder, "The fixed point theory of multi valued mappings in topological vecto space", Math. Ann. 177 (1968)238−301
[3] K. Fan, "A generalization of Tychonoffs fixed point theorem", Math. Ann. 142(1961)305−310.
[4] A. Guerggio and N. X. Tan, "On general vector quasi- optimization problems", Mathematical Methods of Operator Re- search 35(2002)347−358.
[5] N. X. Hai, P.Q. Khanh, "The solution existense of general varia- tional inclusion problem", J. Math. Anal. Appl. 328(2007).1268 − 1277.
[6] S. Kakutani, "A generalization of Brouwers fixed point theorem", Duke Math. J. 8(1944)457−459.
[7] D. T. Luc, "An abstract problem in variational analysis", J. Optimiza-tion Theory Appl. 138(2008)65−76.
[8] D. T. Luc, N. X. Tân, "Existence conditions in variational inclusions with constraints", Optimization 53(2004) no. 5−6,505−515.