2 Bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan
2.4.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân
1. Phát biểu bài toán tựa biến phân tổng quát
Giả sử X, Y, Z, W là các không gian véctơ tôpô, A ⊆X, B ⊆ X, E ⊆ W là các tập con khác rỗng. Cho S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ E, và G, H : B ×A×E ⇒ Y là các ánh xạ đa trị. Giả sử C : B ×A ⇒ Y là ánh xạ nón (tức là ∀(y, x) ∈ B ×A, C(y, x) là nón tròn Y .
Bài toán đặt ra là: Tìm ¯a ∈ A sao cho a¯ ∈ S1(¯a) và G(y,a, b¯ ) ⊆ H(y,a,¯ ¯a) +C(y,¯a),∀b ∈ S2(¯a) và y ∈ T(¯a, b).
2. Định lý tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức biến phân
Định nghĩa 2.1. Cho F : B ×A×A ⇒ Y, T : A×A ⇒ B là các ánh
xạ đa trị. Giả sử C : B ×A ⇒ Y là ánh xạ nón. Khi đó:
i) F được gọi là (T, C)-tựa lồi trên theo đường chéo với biến thứ
ba khi và chỉ khi với mọi tập hữu hạn {a1, a2, . . . , ak} ⊆ D, a ∈
co{a1, a2, . . . , ak},∃i ∈ {1,2, . . . , k} sao cho:
F(y, a, ai) ⊆F(y, a, a) +C(y, a),∀y ∈ T(a, ai)
ii) F được gọi là (T, C)-tựa lồi dưới theo đường chéo với biến thứ
ba khi và chỉ khi với mọi tập hữu hạn {a1, a2, . . . , ak} ⊆ D, a ∈
co{a1, a2, . . . , ak} tồn tại i ∈ {1, . . . , k} sao cho:
F(y, a, ai) ⊆ F(y, a, a)−C(y, a),∀y ∈ T(a, ai)
Tiếp theo ta xét các điều kiện để bài toán bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm có trong định lý sau. Lưu ý ta chỉ xét trường hợpA = B = E.
Định lý 2.5. Giả sử G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a)−C(y, a),∀(y, a) ∈ B ×A. Khi đó, bài toán bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) A là tập lồi, compact, khác rỗng.
ii) S1(.) là tập đóng, co(S2(a)) ⊆ S1(a) và S2−1(b) là mở trong A với
mọi a, b ∈ A.
iii) Với mỗib ∈ S2(a), tập {a ∈ A :G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a)+C(y, a),∀y ∈
T(b, a)} là tập đóng.
Chứng minh. Quan hệ R được xác định như sau:
R(a, b, y) xảy ra khi và chỉ khi G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a) +C(y, a). Bài toán (VR) có thể được viết lại như sau:
Tìm a¯ ∈ A sao cho G(y,¯a, a) ⊆ H(y,¯a,¯a) +C(y,a¯),∀b ∈ S2(¯a) và
y ∈ T(b,¯a). Khi đó, bài toán bao hàm thức biến phân là một trường hợp riêng của bài toán (VR).
Theo cách chứng minh của bổ đề 2.1 thì điều kiện i), ii), iii) của định lý chứng tỏ P(b) là tập đóng. Theo định nghĩa G là (T, C)-tựa lồi với biến thứ ba tương đương với R là KKM.
Vậy các điều kiện của định lý 2.2 được thỏa mãn, do đó bài toán bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm.
Định lý trên là một trong những kết quả chính trong bài toán [5]. Nếu cố định y ∈ A, ánh xạ G(., ., y) : B ×A×A ⇒ Y là −C liên tục trên, ánh xạ F(y, a, a) là −C liên tục trên và có giá trị compact thì điều kiện iii) của định lý trên được thỏa mãn.
Hệ quả 2.4. Giả sử ta có G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a) + C(y, a),∀(y, a) ∈
B×A. Khi đó, bài toán bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) A là tập lồi, compact, khác rỗng.
ii) S1(.) là tập đóng, co(S2(a)) ⊆ S1(a) và S2−1(b) là mở trong A với
mọi a, b ∈ A.
iii) Với mỗi y ∈ A, ánh xạ G(., ., y) : B ×A×A ⇒ Y là −C liên tục
trên, ánh xạ F(y, a, a) là C-liên tục trên và có giá trị compact.
iv) G là (T, C)-tựa lồi theo biến thứ ba.