Cho một tập hợpS⊂Ađể cho gọn ta sẽ ký hiệu: US−={u= (i, j):i∈/S, j∈S}, US+={u= (i, j):i∈S, j∈/S}, p−(S) = ∑ i∈S,pi<0 pi, p+(S) = ∑ i∈S,pi≥0 pi, d(US−) = ∑ u∈US− d(u).
Nếu p−(S)≥ p+(S)thì ta nóiSlà mộtkhu vực thừa; trái lại, nếu p−(S)< p+(S)
Ta hãy xét một sự phân hoạch tập hợp đỉnh của mạngG thành hai bộ phận rời nhauS1,S2sao choS1là một khu vực thừa,S2là một khu vực thiếu. Tập hợp cung có gốc trongS1, đầu kia trongS2 (U+
S1 hayUS−
2) gọi làthiết diện (S1,S2)của mạng G, và số
d(US−
1) +p−(S1) +p+(S2)
gọi là khả năng của thiết diện. Một thiết diện có khả năng nhỏ nhất gọi là thiết diện nhỏ nhất.
Định lí 2.3.3. Trị số của luồng tương thích lớn nhất bằng khả năng của thiết diện
nhỏ nhất.
Chứng minh. Trước hết, xét một thiết diện bất kỳ(S1,S2)và một luồng tương thích bất kỳX ={x(u)}. Ta cóσ(X) =σ1+σ2 với σ1= ∑ i∈S1,αi>0 αi(X), σ2 = ∑ i∈S2,αi>0 αi(X).
Ta thấyσ2là tổng số hàng nhận ở các trạm thu trongS2 nhỏ hơn hoặc bằng tổng số hàng có thể phát đi từ các trạm phát trongS2 cộng với tổng số hàng đưa từ ngoài S2 vào, bằng với đại lượng p−(S2) +d(US−), và σ1 ≤ p+(S1), cho nên trị số của một luồng tương thích bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn khả năng của một thiết diện. Mặt khác, nếuX là một luồng tương thích lớn nhất,S1là tập hợp các đỉnh thừa và đủ,S2 là tập hợp các đỉnh thiếu trong luồng đó, thì theo Bổ đề 2.3.1:
1) Các trạm thu trong S1, và các trạm phát trong S2 đều được thỏa mãn, tức là αi(X) = pivới mọi đỉnh ấy, cho nên σ1 =p+(S1)và
− ∑ i∈S2,αi<0 αi= p−(S2). 2) Các cungu∈US− 2 đều cóx(u) =d(u), các cungu∈US+ 2 đều cóx(u) =0, tức là chỉ có hàng đưa vàoS2(với số lượng bằngd(US−
2)) mà không có hàng đưa ra khỏi S2, cho nên
σ2= ∑
i∈S2,αi<0
αi+d(US−
2) = p−(S2) +d(US− 2).
Trường hợp riêng. Trong trường hợp bài toán luồng lớn nhất trong một mạng Ford-Fulkerson thì rõ ràng là mọi thiết diện(S1,S2)đều có1∈S1,n∈S2,p−(S1) =
p+(S2) =0, nên khả năng của thiết diện thu lại còn d(US−
2), tức là bằng tổng số hàng hóa có thể đưa từ ngoài vàoS2. Định lý 2.3.3 trong trường hợp cụ thể này đã được Ford và Fulkerson phát biểu và chứng minh từ năm 1956.