Chương này đã trình bày nội dung bài toán luồng lớn nhất trên mạng, một dạng mở rộng của bài toán luồn lớn nhất trên mạng giao thông Ford -Fulkerson, nêu điều kiện cần và đủ để có luồng lớn nhất và thuật toán tìm luồng lớn nhất trên mạng. Cuối chương giới thiệu định lý quan trọng cho biết trị số của luồng lớn nhất bằng khả năng của thiết diện nhỏ nhất.
Chương 3
Bài toán luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng
Chương này đề cập tới bài toán luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng, nêu tiêu chuẩn tối ưu và trình bày phương pháp thu hẹp chính tắc giải bài toán. Nội dung chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu tham khảo [2] và [5].
3.1 Phát biểu bài toán
Ở Chương 2 ta đã xét một bài toán về vận chuyển với tên gọi bài toán luồng lớn nhất trên mạng (maximum flow problem in a network), theo khả năng thông qua của các tuyến đường và yêu cầu của các trạm. Ở đây, ta sẽ chú ý thêm yếu tố thứ ba nữa là cước phí vận chuyển trên các đoạn đường. Cụ thể, ta xét bài toán sau đây, thường gọi là bài toán luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng (minimum cost flow problem in a network), mà thực chất là bài toán vận tải mạng.
Cho một mạngG= (A,U,d(u))với một hệ yêu cầu {pi}, thỏa mãn điều kiện ∑ipi = 0 (cân bằng phát, thu). Bài toán vận tải có thể đặt ra trong trường hợp ∑ipi 6=0 (không cân bằng phát, thu). Khi đó chỉ cần thêm vào mạng một đỉnh 0
(đánh số 0) với yêu cầu p0 = −∑ipi và nối đỉnh0 với mọi đỉnh khác bằng một cung có giá cước0thì sẽ trở về trường hợp cân bằng phát, thu.
Để cho đơn giản và dễ hiểu, ta giả thiếtd(u) = +∞ với mọiu∈U, tức là chỉ xét “bài toán vận tải cổ điển”, còn trường hợp tổng quát thì chỉ nói qua ở phần cuối. Về ký hiệu, ta sẽ viếtdi j,ci j,xi j thay cho d(u),c(u),x(u)với cungu= (i, j).