Cho một mạngG= (A,U,d(u))và một hệ yêu cầu{pi}, trị số của một luồng tương thích trong G được gọi làkhả năng của mạng đối với hệ yêu cầu đã cho. Trong thực tế, nhiều khi nảy ra vấn đề sau đây: có thể làm tăng khả năng của mạng bằng cách thêm một cung mới, hay bằng cách tăng khả năng thông qua d(u) của một cung nào đó được không?
Để trả lời câu hỏi đó, ta cần đưa vào một số khái niệm. ChoX={x(u)}là một luồng tương thích lớn nhất. Ta nói một đỉnh i của G là thừa nếu nó là một trạm phát chưa thỏa mãn hay nếu có một dây chuyền chưa bão hòa đi từ một trạm phát chưa thỏa mãn đến nó; thiếu, nếu nó là một trạm thu chưa thỏa mãn hay nếu có một dây chuyền chưa bão hòa đi từ nó đến một trạm thu chưa thỏa mãn; đủ trong mọi trường hợp khác. Do đặc trưng của luồng tương thích lớn nhất (Định lý 2.1.3), ta thấy ngay rằng tính thừa, thiếu hay đủ của mỗi đỉnh là hoàn toàn xác định. Hơn
nữa có thể chứng minh rằng tính thừa, thiếu, đủ không phụ thuộc luồng tương thích lớn nhất, mà là hoàn toàn xác định khi cho biết mạngG= (A,U,d(u))và các yêu
cầu pi. Để cho gọn, ta qui ước nói rằng một đỉnh thừa là “mạnh” hơn đỉnh thiếu
hay đủ, đỉnh đủ là “mạnh” hơn đỉnh thiếu.
Bổ đề 2.3.1.
(1) Mọi trạm thu thừa hay đủ, mọi trạm phát thiếu hay đủ, đều được thỏa mãn.
(2) Nếuulà một cung nối một đỉnh bất kỳ với một đỉnh mạnh hơn thìx(u) =0.
Nếuulà một cung nối một đỉnh bất kỳ với một đỉnh yếu hơn thìx(u) =d(u).
Chứng minh. Kết luận (1) hoàn toàn rõ ràng. Để chứng minh điểm (2), ta xét một cungu= (i,j)với chẳng hạni thừa hay đủ, j thiếu. Theo định nghĩa, có một dây chuyền chưa bão hòa µ đi từ j tới một trạm thu chưa thỏa mãnk(µ có thể thu lại một đỉnh). Nễux(u)<d(u)thì cungusẽ tạo nên với µ một dây chuyền chưa bão hòa từitớik, vàisẽ là đỉnh thiếu, trái với giả thiết. Vậy phải cóx(u) =d(u).
Định lý sau đây trả lời câu hỏi đã nêu ở trên.
Định lí 2.3.2. Giả sử ta thayd(u)của một cungu= (i, j)bằngd0(u)>d(u).
(1) Nếui thừa, j thiếu thì khả năng của mạng tăng lên;
(2) Nếui đủ, j thiếu thì khả năng của mạng không đổi, nhưng trong mạng mới đỉnhitrở thành thiếu, và mọi đỉnh thiếu vẫn là thiếu, đỉnh thừa vẫn là thừa.
Chứng minh. (1) Nếu i thừa, j thiếu thì theo định nghĩa có một dây chuyền chưa bão hòa từ một trạm phát chưa thỏa mãn tớii, và một dây chuyền chưa bão hòa j tới một trạm thu chưa thỏa mãn. Khi ta thayd(u) =d0(u)thìx(u)<d0(u)và do đó usẽ tạo nên với hai dây chuyền kia một dây chuyền chưa bão hòa từ một trạm phát chưa thỏa mãn tới một trạm thu chưa thỏa mãn. Như vậy, X không còn là luồng tương thích lớn nhất nữa, tức là khả năng của mạng tăng lên.
trạm thu chưa thỏa mãn, và khi ta thay d(u)bằng d0(u)thì dây chuyền đó sẽ tạo nên vớiumột dây chuyền chưa bão hòa từi tới một trạm thu chưa thỏa mãn, cho nênisẽ trở thành thiếu và định lý được chứng minh xong.
Qui tắc thực hành. Trên thực tế, muốn xác định các đỉnh thừa, thiếu, đủ có thể
tiến hành như sau: đánh dấu (+) tất cả các trạm phát chưa thỏa mãn, đánh dấu
(−)tất cả các trạm thu chưa thỏa mãn. Khi một đỉnh i đã được đánh dấu(+) thì đánh dấu(+)cho mọi đỉnh j sao cho: (i,j)∈U,x(i,j)<d(i, j), hoặc(j,i)∈U, x(j,i)>0. Khi một đỉnh i đã được đánh dấu(−)thì đánh dấu (−)cho mọi đỉnh j sao cho:(j,i)∈U,x(j,i)<d(j,i), hoặc (i,j)∈U,x(i, j)>0. Cho đến bao giờ không thể tiếp tục được nữa thì các đỉnh đã đánh dấu(+)là đỉnh thừa, dấu(−)là đỉnh thiếu, các đỉnh khác là đỉnh đủ.