Kết quả hấp dẫn nhất của Nevanlinna trong lý thuyết duy nhất là Định lý năm điểm. Như các kết quả đẹp khác trong giải tích phức, không có phiên bản tương ứng của định lý này trong trường hợp thực. Để phát biểu định lý này, chúng ta giới thiệu một số kí hiệu.
Định nghĩa 1.4.1. ([7]) Giả sử f(z) và g(z) là hai hàm phân hình khác hằng và a ∈ C∪ {∞}. Chúng ta định nghĩa
Ef(a) ={(z, p) ∈ C×N|f(z) =a với bội p}, Ef(a) ={(z,1) ∈ C×N|f(z) =a với bội p}.
Nếu Ef(a) =Eg(a) (tương ứng, E¯f(a) = ¯Eg(a)), ta nói rằng f và g chia sẻ
giá trị a kể cả bội, viết tắt là CM (tương ứng, không kể bội, viết tắt là IM)
Định lý 1.4.1 (Định lý năm điểm Nevanlinna). Giả sử f(z) và g(z) là hai
hàm phân hình khác hằng trong mặt phẳng phức và a1, a2, a3, a4, a5 là 5 giá
trị phân biệt trong mặt phẳng phức mở rộng. Nếu f và g chia sẻ aj(j = 1,5)
IM thì f ≡ g.
Nhận xét 1.4.1. Số 5 là giá trị chặt trong định lý trên, ví dụ chúng ta nhận
xét rằng f(z) =ez và g(z) =e−z chia sẻ bốn giá trị 0,1,−1,∞ IM, nhưng
f 6≡g.
Định nghĩa 1.4.2. Cho m là một số nguyên dương hoặc vô cùng và a ∈
không vượt quá m, trong đó mỗi a−điểm được tính một số lần bằng bội của nó. Cũng như vậy, qua E¯
m)(a;f) ta ký hiệu tập hợp a−điểm phân biệt của f(z) với bội không vượt quá m.
Nếu với a ∈ C∪ {∞} nào đó mà Em)(a;f) = Em)(a;g), (tương ứng,
Em)(a;f) = Em)(a;g)) với m = ∞, thì ta thấy rằng f và g chia sẻ giá trị
a CM (tương ứng. IM).
Định lý 1.4.2 (Định lý 3.12). ([2]) Giả sử f(z) là hàm phân hình khác
hằng. Khi đó f(z) có thể được xác định duy nhất bởi q
= 5 + 2 k tập hợp Ek)(aj;f)(j = 1,2, ..., q) trong đó aj(j = 1,2, ..., q) là q số thực phân biệt, và 2 k
biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng 2
k.
Hệ quả 1.4.1. Nếu trong Định lí 1.4.2 chúng ta chọn q = 7,6 hoặc 5 thì
sự lựa chọn của k là 1,2 hoặc 3.