Khi nghiên cứu sự phân tích hàm phân hình, năm 1977 F.Gross([5]) khởi xướng lý thuyết xác định duy nhất trong tình huống tổng quát hơn, bằng
cách đưa ra khái niệm tập xác định duy nhất khi xét nghịch ảnh của các tập hợp những phần tử phân biệt (kể cả bội). Ông đặt ra câu hỏi tồn tại hay không tập hữu hạn S sao cho điều kiện hai hàm chỉnh hình f và g thoả mãn f−1(S) =g−1(S) sẽ kéo theo f ≡g?
Định nghĩa 1.6.1. Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng và S ⊆
C∪ {∞}. Chúng ta định nghĩa Ef(S) =∪a∈S{z :f(z) = a}, trong đó mỗi không điểm của f − a với bội m được tính m lần. Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa Ef(S), trong đó mỗi không điểm của f −a được tính không kể bội.
Định nghĩa 1.6.2. Tập S ⊂ C∪ {∞} được gọi là một tập xác định duy nhất các hàm phân hình (tương ứng, chỉnh hình), nếu với hai hàm phân hình khác hằng tuỳ ý f và g, điều kiện Ef(S) = Eg(S) suy ra f ≡ g. Để ngắn gọn, ta gọi tập S là URSM (tương tự, URSE). Tương tự, chúng ta định nghĩa tập xác định duy nhất không kể bội.
Sau khi ý tưởng mới về tập xác định duy nhất ra đời, các nhà nghiên cứu đã có gắng tìm các tập xác định duy nhất và đặc trưng của chúng. Năm 1996, Li ([20]) lần đầu tiên chỉ ra rằng lực lượng của URSE ít nhất là 5, trong khi Yang-Yi ([2]) cho rằng lực lượng của URSM ít nhất là 6. Cho đến nay người ta đã tìm được các URSE với 7 phần tử ([21]) và URSM với 11
phần tử ([6]), đó là các URSE và URSM nhỏ nhất đã được biết.
Gần đây Lahiri([12]) đưa ra khái niệm tập xác định duy nhất có trọng số.
Định nghĩa 1.6.3. ([12]) Giả sử k là một số nguyên không âm hoặc vô hạn. Với a ∈ C∪ {∞}, ký hiệu Ek(a;f) là tập hợp tất cả các a−điểm của
f, trong đó mỗi a−điểm có bội m được tính m lần nếu m ≤ k, và k + 1
nếu m > k. Nếu Ek(a;f) =Ek(r;g), ta nói rằng f và g chia sẻ giá trịa với trọng số k.
Từ định nghĩa suy ra rằng, nếu f và g chia sẻ giá trị a với trọng số
k, thì z0 là một a−điểm của f với bội m(≤ k) nếu và chỉ nếu nó là một
a−điểm của g với bội m(≤ k), và z0 là một a−điểm của f với bội m(> k)
nếu và chỉ nếu nó là một a−điểm của g với bội n(> k), trong đó m không nhất thiết bằng n.
Ta viết f và g chia sẻ (a, k) nghĩa là f và g chia sẻ giá trị a với trọng số k. Rõ ràng nếu f và g chia sẻ (a, k) thì f và g chia sẻ (a, p) với mọi số nguyên p mà 0≤ p < k. Do đó f và g chia sẻ giá trị a IM hoặc CM nếu và chỉ nếu f và g chia sẻ (a,0) hoặc (a,∞), tương ứng.
Định nghĩa 1.6.4. Giả sử S ⊂ C ∪ {∞}, ta định nghĩa Ef(S, k) là
Ef(S, k) = ∪a∈SEk(a;f), trong đó k là một số nguyên không âm hoặc vô cùng.
Một tập S mà với nó, hai hàm phân hình f, g, thỏa mãn Ef(S, k) =
Eg(S, k) trở nên đồng nhất, gọi là một tập xác định duy nhất trọng số k của các hàm phân hình. Do đó rõ ràng Ef(S,∞) = Ef(S) vàEf(S,0) = Ef(S). Sử dụng khái niệm chia sẻ tập hợp có trọng số, các nhà nghiên cứu đã đưa những kết quả với điều kiện chia sẻ CM của URSM (tương tự, URSE) về điều kiện chia sẻ với trọng số nhỏ nhất là 2.