Câu hỏi tự nhiên là điều gì xảy ra trong trường hợp đặc biệt, khig = f0 trong Định lý 1.4.1. Đề tài về chia sẻ giá trị của các hàm phân hình và đạo hàm của chúng được phát triển và nghiên cứu đầu tiên bởi Rubel-Yang([16]). Tương tự Định lý năm điểm của Nevanlinna, vào đầu năm 1977, Rubel-Yang([16]) đã chứng minh rằng, nếu hàm chỉnh hình khác hằng tuỳ ý f và đạo hàm bậc nhất f0 của nó có chia sẻ hai giá trị a và b CM, thì f = f0.
Hai năm sau, Mues-Steinmetz([4]) chứng minh rằng, thực ra trong kết quả của Rubel-Yang thậm chí còn không cần bội. Về sau người ta chỉ ra rằng, nói chung kết luận của Rubel-Yang hoặc của Mues-Steinmetz không còn đúng nữa, nếu f và f0 chỉ chia sẻ một giá trị. Do đó một câu hỏi đặt ra là kết luận nào có thể còn đúng nếu f và f0 chỉ chia sẻ một giá trị, nếu có thêm hạn chế về cấp tăng của f. Theo hướng này, vào năm 1996 một giả thuyết nổi tiếng đã được đề xuất bởi Bruck ([24]). Kể từ đó giả thuyết này
và các kết quả tương tự của nó đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Ta sẽ đề cập đến vấn đề này ở sau. Bây giờ chúng ta nhắc lại định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.5.1. ([27]) Cho n0j, n1j, ..., nkj là các số nguyên không âm. Biểu thức
Mj[f] = (f)n0j(f(1))n1j...(f(k))nkj,
gọi là một đơn thức vi phân sinh bởi f có bậc d(Mj) = k P i=0 nij và có trọng số ΓMj = k P i=0 (i+ 1)nij. Tổng P[f] = t P j=1
bjMj[f]gọi là một đa thức vi phân sinh bởi f, có bậc
¯
d(P) = max{d(Mj) : 1≤ j ≤t}và trọng sốΓ(P) = max{ΓMj : 1 ≤ j ≤ t}
trong đó T(r, bj) =S(r, f) với j = 1, t.
Các số d(P) = min{d(Mj) : 1≤ j ≤ t} và k (đạo hàm cấp cao của f
trong P[f]) tương ứng được gọi là bậc dưới và bậc của P[f].
P[f] gọi là thuần nhất nếu d¯(P) = d(P). Ngoài ra P[f] được gọi là
đa thức vi phân tuyến tính sinh bởi f nếu d¯(P) = 1
Ta cũng dùng ký hiệu
µ = Q = max{ΓMj −d(Mj) : 1 ≤j ≤ t}
= max{n1j + 2n2j +...+knkj : 1 ≤ j ≤t}.
Vì mở rộng của đạo hàm là đa thức vi phân, nên sẽ rất thú vị khi nghiên cứu mối quan hệ giữa hàm phân hình và đa thức vi phân của nó khi chúng chia sẻ những giá trị nào đó, hoặc các hàm nhỏ.