Về mặt toán học, kênh truyền dẫn phân tập đa đường được biểu diễn thông qua đáp ứng xungh(τ , t) và H(j ω, t) [1].
4.1.2.1 Đáp ứng xung của kênh
Xung Dirac: Một xung được gọi là xung Dirac khi nó đồng thời thỏa mãn hai điều kiện
δ (t ) = 0∀t ≠ 0
+∞
∫δ (t) dt = 1
−∞
Về cơ bản, bất kì một tín hiệu nào trên miền thời gian cũng có thể được phân tích thành nhiều thành phần xung Dirac δ (t) .
X = ∑xnδ (τ −τn )N
n=1
Do đó sẽ dễ dàng hơn khi coi tín hiệu phát đi là một dãy các xung Dirac, và tín hiệu thu được là kết quả khi lần lượt truyền từng xung một cách luân phiên trên miền thời gian.
Đáp ứng xung: Đáp ứng xung của kênh là d y xung thu được ở máy thu khi máy phát gửi đi một xung cực ngắn gọi là xung Dirac δ (t) . Về mặt toán học, ta biểu diễn đáp ứng xung của kênhh(τ , t) như sau:
N
h (τ , t ) = ∑anδ (τ −τn )
n=1
Trong đó:
h(τ , t) : Đáp ứng xung của kênh tại các độ trễ τ khác nhau 62
: trễ truyền lan, là khoảng thời gian cần thiết để tín hiệu chuyển từ máy phát đến máy thu
N: chỉ số tuyến truyền dẫn, n 1,…N
τn : độ trễ của tuyến thứ n
an : hệ số suy hao của tuyến thứ n N: tổng số tuyến truyền dẫn
Hàm truyền đạt: Biến đổi Fourier của đáp ứng xung đối với biến τ cho ta hàm truyền đạt của kênh. Hay nói cách khác, hàm truyền đạt của kênh H(j ω, t) là đáp ứng kênh trên miền tần số:
+∞
H ( jω , t ) = ∫−∞h (τ , t )e
Với ω = 2π / f .
Trong thực tế, có sự dịch chuyển của máy thu so với máy phát trong quá trình truyền dẫn. Điều này làm cho phổ của tín hiệu nhận được bị dịch đi so với tần số trung tâm một khoảng fD
n
1842, nên được gọi là hiệu ứng Doppler:
Trong đó:
fDn : tần số Doppler trên tuyến thứ n
v : vận tốc chuyển động của máy thu so với máy phát
c : vận tốc ánh sáng
θ
v : góc dịch chuyển
Khi đó đáp ứng xung của kênh có thể được biểu diễn như một hàm phụ thuộc vào thời gian:
h (τ , t) = ∑an e
Với θn là pha ban đầu của tuyến truyền dẫn thứ n. Ở đây, cả hệ số đáp ứng xung h lẫn trễ truyền lan τ đều là các đại lượng phụ thuộc vào các thời điểm quan sát kênh. Ở các thời điểm khác nhau, một tuyến truyền dẫn có thể có các độ trễ khác nhau và nhận hệ số đáp ứng cũng khác nhau. Kênh có đáp ứng phụ thuộc vào thời điểm quan sát như vậy gọi là Kênh biến thiên theo thời gian(hay còn gọi là kênh Fading nhanh).
Hàm truyền đạt của kênh biến thiên theo thời gian lượng phụ thuộc thời gian:
+∞ N H ( jω , t ) = ∫−∞h (τ , t )ejωτ dτ = ∑an ej(2πf n=1 H ( jω, t) cũng là một đại Dn t+θ n ) e−jωtn (4.7)
4.1.2.2 Mô hình truyền tín hiệu
ôi trường truyền dẫn được giả thiết là không có can nhiễu tạp âm trắng. Mối quan hệ giữa tín hiệu phát x(t), tín hiệu thu y(t) và đáp ứng xung của kênh
được mô tả ở hình 4.4.
→x(t) h (τ , t)
H ( jω, t)
y(t)→
Hình 4.3 Mô hình truyền t n hiệu
Ở miền thời gian, tín hiệu thu được là tích chập của tín hiệu phát và đáp ứng xung của kênh:
Trong miền tần số, ta dùng phép nhân thay cho phép tích chập
Với ω = 2π
f