Tìm điều kiện chia hết

II. Cỏc tài liệu hỗ trợ:

3. Tìm điều kiện chia hết

* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Giải: n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n n3 – n2 n + 3 3n2 - 3n + 2 3n2 – 3n 2 Ta có: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + 22 n −n

Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B ⇔ n2 – n ∈Ư(2)

⇔2 chia hết cho n(n – 1) ⇔2 chia hết cho n Ta có bảng: n 1 -1 2 -2 n – 1 0 -2 1 -3 n(n – 1) 0 2 2 6 Loại T/m T/m Loại

Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B

• VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1 Giải: n5 + 1  n3 + 1⇔n5 + n2 – n2 + 1  n3 + 1 ⇔n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) ⇔ n3 + 1 ⇔(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1) ⇔n – 1 n2 – n + 1 ⇒n(n – 1) n2 – n + 1 Hay n2 – n n2 – n + 1 ⇒(n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1 ⇒ 1n2 – n + 1 Xét hai trờng hợp: + n2 – n + 1 = 1 ⇒ n2 – n = 0 ⇔n(n – 1) = 0 ⇔n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài

+ n2 – n + 1 = - 1 ⇔ n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn

• VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7 Giải:

Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1

- Nếu n = 3k (k ∈N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k8 – 1 = 7 Nếu n = 3k + 1(k ∈N) thì 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2. BS7 + 1

⇒2n - 1 không chia hết cho 7

- Nếu n = 3k +2(k ∈N) thì 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3

⇒2n - 1 không chia hết cho 7 Vậy 2n - 17⇔ n = 3k (k ∈N)

2. Bài tập

Bài 1: Chứng minh rằng:

a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ Giải

a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Với n chẵn, n = 2k ta có: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Với n lẻ, n = 2k +1, ta có: n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bài 2: Chứng minh rằng

a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dơng n Giải: Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1). Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1 Xét các trờng hợp: + Với n = 2k⇒A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 + Với n = 2k +1 ⇒A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8 Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a ± 1 để chứng minh A9 Vậy A8.9 hay A72

Bài 3: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a2 – 1 chia hết cho 24 Giải:

Vì a2 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻ⇒a2 là số chính phơng lẻ

⇒a2 chia cho 8 d 1

⇒ a2 – 1 chia hết cho 8 (1)

Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3⇒ a không chia hết cho 3

⇒a2 là số chính phơng không chia hết cho 3⇒a2 chia cho 3 d 1

⇒ a2 – 1 chia hết cho 3 (2) Mà (3,8) = 1 (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ a2 – 1 chia hết cho 24 Bài 4: Chứng minh rằng:

Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6 -1 chia hết cho 7 Giải:

Bài toán là trờng hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:

- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p - Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chia hết cho p

Thật vậy, ta có a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)

- Nếu a = 7k ±1 (k ∈N) thì a3 = ( 7k ± 1)3 = BS7 ± 1 ⇒ a3 - 17

- Nếu a = 7k ±2 (k ∈N) thì a3 = ( 7k ± 2)3 = BS7 ± 23 = BS7 ± 8⇒ a3 - 17 - Nếu a = 7k ±3 (k ∈N) thì a3 = ( 7k ± 3)3 = BS7 ± 33 = BS7 ± 27⇒ a3 + 17 Ta luôn có a3 + 1 hoặc a3 – 1 chia hết cho 7. Vậy a6 – 1 chia hết cho 7

Bài 5: Chứng minh rằng:

Nếu n là lập phơng của một số tự nhiên thì (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504 Giải:

Ta có 504 = 32 . 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một Vì n là lập phơng của một số tự nhiên nên đặt n = a3

Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504 Ta có: + Nếu a chẵn⇒ a3 chia hết cho 8

Vậy A8 , 19 9a ∀n∈N (1)

+ Nếu a7 ⇒a37 ⇒ A7

Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 17⇒(a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma)

Vậy A7 , ∀ ∀n∈N (2) + Nếu a3 ⇒a39⇒ A9

Nếu a không chia hấe cho 3 ⇒ a = 3k ±1⇒ a3 = ( 3k ± 3)3= BS9±1

⇒a3 – 1 = BS9+1 – 1 9 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 9 Vậy A9 , ∀ ∀n∈N (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒A9 , ∀ ∀n∈N

Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 c/ 3 3 4